1、 江苏省常州教育学会学业水平测试江苏省常州教育学会学业水平测试 20192020 学年度第二学期（期末）学年度第二学期（期末） 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1从 5 名男生和 4 名女生中，选出男女各 1 名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A9 B10 C20 D40 2若 32 6 nn AC，则 n 的值为 A4 B5 C6 D7 3同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数” 为事件 A， “两颗骰子的点数之积为奇数”为事件 B，则 P(BA) A 1
2、 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 4某年级有 6 个班级，3 位数学教师，每位教师任教 2 个班级，则不同分法的种数有 A15 B45 C90 D540 5函数 2 2 ( ) ex xx f x 的大致图象是 6对某同学 7 次考试的数学成绩 x 和物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的， 利用最小二乘法得到线性回归方程为y 0.5xa，若该生的数学成绩达到 130 分，估计他的物理成绩大约是 A114.5 B115
3、 C115.5 D116 7已知函数 3 ( )31f xaxx的极大值与极小值的差为 4，则实数 a 的值为 A1 B 1 4 C 1 4 D1 8我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形” 若将这些数字依次排列构成数列 1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，则此数列的第 2020 项为 A 3 63 C B 4 63 C C 3 64 C D 4 64 C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对
4、的得 3 分，有选错的得 0 分 9下列求导数运算不正确的是 A(sin )cosxx B 2 ln2 (log) x x C 2 ln1 ln () xx xx D 2121 (e)2e xx 10已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(105，100)，其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是 附：随机变量服从正态分布 N(， 2 )，则 P()0.6826， P(22)0.9544，P(33)0.9974 A该市学生数学成绩的期望为 105 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.99 D该市学生数学成绩不及格
5、的人数和优秀的人数大致相等 11已知复数 8i 2i z ，其中 i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A复数 z 的实部为 3 B复数 z 的虚部为 2i C复数 z 的模为13 D复数 z 的共轭复数32iz 12由 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的 个数是 A 4113 9488 AAAA B 4143 9498 ()AA AA C 54143 109498 ()AAA AA D 54143 109598 ()AAA AA 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 2 1 ()nx x 的展开式中第 5
6、项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中常数项 为 第 8 题 14有一个活动小组有 6 名男生和 4 名女生，从中任选 3 名学生，至多选中 2 名男生的概率 为 15已知函数( )eln x f xax，若曲线( )yf x在1x 处的切线方程为yxb，则 a b 16已知随机变量 X 的分布列如下表所示： 、 X 1 0 1 P a b c 若 a2b3c，则 E(X)为 ；若 b 1 2 ，V(X)的最大值为 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本题满分 10 分） 已知 22 (815
7、)(56)izmmmm,其中 i 是虚数单位，m 为实数 （1）当 z 为纯虚数时，求 m 的值； （2）当复数 zi 在复平面内对应的点位于第二象限时，求 m 的取值范围 18 （本题满分 12 分） 江苏省从 2021 年开始，高考取消文理分科，实行“312”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目， 某校为了解高一年级学 生对“1”的选课情况，随机抽取了 100 名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到 的 22 列联表 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 b m 女生 c 20 40 总计 100 （1）求 m，b，c 的值； （
8、2） 请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理 由 附：对于 22 列联表 类 1 类 2 合计 类 A a b ab 类 B c d cd 合计 ac bd abcd 有 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd P( 2 0 Kx) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （本题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )(1)ln 2 f xxmxmx，mR （1）若 m1，求函数
9、( )f x在区间 1 e ，e上的最小值； （2）若 m0，求函数( )f x的单调增区间 20 （本题满分 12 分） 已知 2 012 (1)n n n xaa xa xa x，nN （1）当7n时，求 1357 aaaa的值； （2）求 012 35(21) n aaana 21 （本题满分 12 分） 常州别称龙城，是一座有着 3200 多年历史的文化古城常州既有春秋淹城、天宁寺等 名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游为合 理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中 2 3 的人计划只游览中华恐龙园，另外 1
10、 3 的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺每位游 客若只游览中华恐龙园，得 1 分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得 2 分假设每位首 次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率 （1）有 2 名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这 2 名游客都是既游 览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率； （2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的概率分布和数学期望 22 （本题满分 12 分） 已知函数( )()exf xxab，a，bR （1）若 a1，求关于 x 的不等式( )(0)f xf的解集； （2
11、）若 1 eab ，讨论函数( )f x的零点个数 江苏省常州教育学会学业水平测试 20192020 学年度第二学期（期末） 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1从 5 名男生和 4 名女生中，选出男女各 1 名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A9 B10 C20 D40 答案：C 考点：分步计数原理 解析：5420，故选 C 2若 32 6 nn AC，则 n 的值为 A4 B5 C6 D7 答案：B 考点：排列公式与组合公式 解析：由 32 6 nn AC得 (1) (1)(2)6 2 n
12、n n nn ，解得 n5，故选 B 3同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数” 为事件 A， “两颗骰子的点数之积为奇数”为事件 B，则 P(BA) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 答案：A 考点：条件概率 解析： 1 ( ) 2 P A ， 91 ( ) 364 P B ， 1 ( )1 4 () 1 ( )2 2 P B P B A P A ，故选 A 4某年级有 6 个班级，3 位数学教师，每位教师任教 2 个班级，则不同分法的种数有 A15 B45 C90 D540 答案：C 考点：组合 解析： 222 642 15 6 190C
13、C C ，故选 C 5函数 2 2 ( ) ex xx f x 的大致图象是 答案：A 考点：利用导数研究函数的性质 解析： 2 2 ( ) ex xx f x ， 2 2 ( ) ex x fx ，列表如下： x (，2) 2 (2，2) 2 (2，) ( )fx 0 0 ( )f x 递减 递增 递减 故选 A 6对某同学 7 次考试的数学成绩 x 和物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的， 利用最小二乘法得到线性回归方程
14、为y 0.5xa，若该生的数学成绩达到 130 分，估计他的物理成绩大约是 A114.5 B115 C115.5 D116 答案：B 考点：线性回归方程 解析：100 x ，100y ，所以0.51000.5 10050ayx， 0.5 13050115y ，故选 B 7已知函数 3 ( )31f xaxx的极大值与极小值的差为 4，则实数 a 的值为 A1 B 1 4 C 1 4 D1 答案：A 考点：利用导数研究函数的极值 解析： 3 ( )31f xaxx， 2 ( )33fxax，令( )0fx，解得 1 x a ， 11 ()()ff aa 111111 ()()3()()()3()
15、4aa aaaaaa 解得 a1，故选 A 8我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形” 若将这些数字依次排列构成数列 1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，则此数列的第 2020 项为 A 3 63 C B 4 63 C C 3 64 C D 4 64 C 答案：A 考点：二项式定理 解析：第 2020 项是第 64 行的第 4 个数字，即为 3 63 C，故选 A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，
16、部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9下列求导数运算不正确的是 A(sin )cosxx B 2 ln2 (log) x x C 2 ln1 ln () xx xx D 2121 (e)2e xx 答案：ABC 考点：导数的运算 解析：选项 A，(sin )cosxx ，故 A 错误； 选项 B， 2 1 (log) ln2 x x ，故 B 错误； 选项 C， 2 ln1 ln () xx xx ，故 C 错误； 选项 D 错误，故本题选 ABC 10已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(105，100)，其中 第 8 题 90 分为及格线，120 分为优秀
17、线，下列说法正确的是 附：随机变量服从正态分布 N(， 2 )，则 P()0.6826， P(22)0.9544，P(33)0.9974 A该市学生数学成绩的期望为 105 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.99 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案：AD 考点：正态分布 解析：期望为 105，选项 A 正确；方差为 100，标准差为 10，选项 B 错误；该市 85 分以上 占 97.72%，故 C 错误；根据对称性可判断选项 D 正确，故选 AD 11已知复数 8i 2i z ，其中 i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A复数 z
18、的实部为 3 B复数 z 的虚部为 2i C复数 z 的模为13 D复数 z 的共轭复数32iz 答案：AC 考点：复数 解析： 8i 32i 2i z ，故实部为 3，虚部为 2， 22 3213z ，32iz ，故 AC 正确 12由 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的 个数是 A 4113 9488 AAAA B 4143 9498 ()AA AA C 54143 109498 ()AAA AA D 54143 109598 ()AAA AA 答案：ABD 考点：排列 解析：如果个位是 0，有 4 9 A个，如果个位不是 0，有 1
19、13 488 AAA个，故 A 正确； 由于 1343 8898 AAAA，故 B 正确；由于 544 1099 AAA，故 C 错误；由于 5414334113 10959889488 ()41AAA AAAAAAA，故 D 正确故选 ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 2 1 ()nx x 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中常数项 为 答案：45 考点：二项式定理 解析： 46 10 nn CCn， 5 20 2 10 2 1 1 ()() r rrrr rnn TCxC x x ， 5 2008 2 rr， 802 1
20、01 0 45C xC 14有一个活动小组有 6 名男生和 4 名女生，从中任选 3 名学生，至多选中 2 名男生的概率 为 答案： 5 6 考点：概率 解析： 30 64 3 10 5 1 6 C C P C 15已知函数( )eln x f xax，若曲线( )yf x在1x 处的切线方程为yxb，则 a b 答案：0 考点：利用导数研究函数的切线 解析：( )eln x f xax，( )ex a fx x ，(1)e1fa， e1 b ，ab0 16已知随机变量 X 的分布列如下表所示： 、 X 1 0 1 P a b c 若 a2b3c，则 E(X)为 ；若 b 1 2 ，V(X)的
21、最大值为 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 答案： 4 11 ， 1 2 考点：随机变量的均值与方差 解析：由 a2b3c，1abc ，解得 6 11 a ， 3 11 b ， 2 11 c ， 6324 ()101 11111111 E X ， b 1 2 时， 1 2 ac，()101E Xabcac ， 2222 ()( 1)01E Xabcac ， 222 ()()()()V XE XEXacac ，把 1 2 ac代入得， 2 11 ()(2) 22 V Xc， 1 4 c 时，V(X)有最大值，为 1 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明
22、过程或演算步骤 17 （本题满分 10 分） 已知 22 (815)(56)izmmmm,其中 i 是虚数单位，m 为实数 （1）当 z 为纯虚数时，求 m 的值； （2）当复数 zi 在复平面内对应的点位于第二象限时，求 m 的取值范围 解： （1）因为 z 为纯虚数，所以 2 2 815035 23560 mmmm mmmm 或 且 综上可得，当 z 为纯虚数时 m5； （2）因为 22 i(815)i(56)zmmmm 在复平面内对应的点位于第二象限， 2 2 81 5053 32(56)0 mmmm mmmm 或 或 ，即 m2 或者 m5， 所以 m 的取值范围为(，2)(5，) 1
23、8 （本题满分 12 分） 江苏省从 2021 年开始，高考取消文理分科，实行“312”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、 历史中选择一个科目且只能选择一个科目， 某校为了解高一年级学 生对“1”的选课情况，随机抽取了 100 名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到 的 22 列联表 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 b m 女生 c 20 40 总计 100 （1）求 m，b，c 的值； （2） 请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理 由 附：对于 22 列联表 类 1 类 2 合计 类 A a b ab 类 B c d c
24、d 合计 ac bd abcd 有 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd P( 2 0 Kx) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解： （1）随机抽取的 100 名学生中女生为 40 人，则男生有 1004060 人， 所以 m60，b10，c20； （2）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： 则 K2的观测值： 2 2 100 (50 20 10 20) 12.7 70 30 60 40 K ， 因为 12.7
25、7.879， 所以有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关 19 （本题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )(1)ln 2 f xxmxmx，mR （1）若 m1，求函数( )f x在区间 1 e ，e上的最小值； （2）若 m0，求函数( )f x的单调增区间 解： （1）m1 时， 2 1 ( )ln 2 f xxx， (1)(1) ( ) xx fx x ，x 1 e ，e， 令( )0fx得1x （舍去）或者1x ，列表如下： 所以，当 x1 时，函数( )f x的最小值为 1 (1) 2 f， （2） (1)() ( ) xxm fx x ，x0 当 m1 时，对任意 x0，
26、都有( )0fx恒成立(当且仅当 x1 时，( )0fx) 则函数( )f x在区间(0，)上单调递增； 当 m1 时，令( )0fx，得 x1 或 xm； 则函数( )f x在区间(0，1)，(m，)上单调递增； 当 0m1 时，令( )0fx，得 xm 或 x1； 则函数( )f x在区间(0，m)，(1，)上单调递增； 综上可得， 当 m1 时，函数( )f x的单调增区间为(0，)； 当 m1 时，函数( )f x的单调增区间为(0，1)，(m，)； 当 0m1 时，函数( )f x的单调增区间为(0，m)，(1，) 20 （本题满分 12 分） 已知 2 012 (1)n n n x
27、aa xa xa x，nN （1）当7n时，求 1357 aaaa的值； （2）求 012 35(21) n aaana 解： （1）当 n7 时， 727 0127 (1) xaa xa xa x， 令 x1，有 7 01234567 2aaaaaaaa， 令 x1，有 01234567 0aaaaaaaa， 得 7 1357 22()aaaa，所以 6 1357 264aaaa， （2）由题意， i in aC，可得 in i aa ，i0，1，2，3，n， 记 012 35(21)(21) in Saaaiana， 则 210 (21)2() 153 nn i Snaniaaaa 012
28、 (21)(21)(23)2() 1 in nanananiaa 所以 012 2(22)() n Snaaaa， 令 x1 得， 012 2n n aaaa， 所以 012 35(21)(21)(1)2 n in aaaianaSn 21 （本题满分 12 分） 常州别称龙城，是一座有着 3200 多年历史的文化古城常州既有春秋淹城、天宁寺等 名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游为合 理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中 2 3 的人计划只游览中华恐龙园，另外 1 3 的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺每位游
29、 客若只游览中华恐龙园，得 1 分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得 2 分假设每位首 次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率 （1）有 2 名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这 2 名游客都是既游 览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率； （2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的概率分布和数学期望 解： （1）由题意，每位游客只游览中华恐龙园的概率为 2 3 ，既游览中华恐龙园又参观天宁 寺的概率为 1 3 记两位游客中一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件A， 则P(A) 1 3
30、 ， 另一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件 B，则 P(B) 1 3 ， 所以“这 2 名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件 AB， 因为游客是否参观天宁寺相互独立，所以 P(AB)P(A)P(B) 111 = 339 ， 答：“这 2 名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率为 1 9 ， （2）随机变量 X 的可能取值为 3，4，5，6， 330 3 218 (3)( ) ( ) 3327 P XC， 221 3 214 (4)( ) ( ) 339 P XC， 112 3 212 (5)( ) ( ) 339 P XC， 003 3 211 (6)( ) (
31、) 3327 P XC， X 的概率分布为： 所以 E(X) 8421 3456 279927 4 答：X 的数学期望为 4 22 （本题满分 12 分） 已知函数( )()exf xxab，a，bR （1）若 a1，求关于 x 的不等式( )(0)f xf的解集； （2）若 1 eab ，讨论函数( )f x的零点个数 解： （1）a1 时，( )(1)exf xxb，( )(2)exfxx， 当 x2 时，( )0fx， 所以( )f x在区间(2，)上单调递增， 由( )(0)f xf得 x0； 当 x2 时，(1)e0 x x， 此时( )()e1(0) x f xxabbbf ， 综
32、上可得，不等式( )(0)f xf的解集为(0，)； （2） 1 eab 时， 1 ( )()ee xa f xxa ，( )(1)exfxxa，令( )0fx得 x a1，列表如下： 所以，当 xa1 时，函数( )f x的极小值为 11 (1)ee aa fa ； 当 11 (1)ee0 aa fa 即1a 时，对任意 xR，都有 ( )(1)0f xfa 恒成立，从而函数( )f x无零点， 当 11 (1)ee0 aa fa 即1a 时，对任意 xR，都有 ( )(1)0f xfa 恒成立（当且仅当 x0 时，( )0f x ） ，从而函数( )f x的 零点个数为 1， 当 11 (
33、1)ee0 aa fa 即1a时， 在区间a1， a上， 函数( )f x图象是连续不断的一条曲线， 其中(1)0fa 1 ()e0 a fa ， 函数( )f x在区间a1，)上单调递增， 所以函数( )f x在 区间(a1，)上的零点个数为 1； 在区间4a， a1上， 函数( )f x图象是连续不断的一条曲线， 其中(1)0fa 3 (4 )e (5 ee) aa faa，即 3 ( ) t h tte，1t ， 3 ( )(31)0 t h tet，所以 3 ( ) t h tte在区间(，1上单调递减，由 a1 得 3 ( )( 1)eh ah ，即 33 ee a a ，所以 33 (4 )e (5 ee)e ( 5ee)0 aaa faa ，又因为函数( )f x 在区间(，a1上单调递减，所以函数( )f x在区间(，a1)上的零点 个数为 1；从而函数( )f x的零点个数为 2 综上可得，当1a 时，函数( )f x无零点，当1a 时，函数( )f x的零点个数 为 1，当1a时，函数( )f x的零点个数为 2
