1、 1 北京市西城区 2016-2017 学年高一数学下学期期末考试试题 试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 本卷总分 17 18 19 20 21 22 分数 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 已知数列 na 满足 1 3a? , 1 2nnaa? ? ， 那么 4a? （ ） （ A） 24 （ B） 18 （ C） 16 （ D） 12 2. 不等式 1 2x 的解集为（ ） （ A） 1 , )2? （ B） 1( ,0) , )2? ? （ C） 1( , 2?
2、（ D） 2, )? 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为 （ ） （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 4. 设直线 l 经过两点 (2,1), ( 1,3)AB? ，则直线 l 下方的半平面（含直线 l ）可以用不等式表示为（ ） （ A） 2 3 7 0xy? （ B） 2 3 7 0xy? （ C） 2 3 1 0xy? （ D） 2 3 1 0xy? 5. 在区间 1,3? 上随机取一个实数 x，则 x 使不等式 | | 2x 成立的概率为（ ） 开始 S= 0， i =0 S 20 2S S i? i=i+1 结束 输出 i 是 否 2 （ A） 14
3、 （ B） 13 （ C） 12 （ D） 34 6. 下表是某校 120 名 学生 假期 阅读时间 (单位 : 小时 )的频率分布表，现 用分层抽样的方法从 10,15) ， 15,20) ， 20,25) ， 25,30) 四组 中抽取 20 名学生了解其阅读内容，那么 从这四组 中依次抽取的人数是 （ ） （ A） 2， 5， 8， 5 （ B） 2， 5， 9， 4 （ C） 4， 10， 4， 2 （ D） 4， 10， 3， 3 分组 频数 频率 10,15) 12 0.10 15,20) 30 a 20,25) m 0.40 25,30) n 0.25 合计 120 1.00 7
4、. 在 ABC? 中，若 3a? ， 2c? ， 1cos 3B? ，则 ABC? 的面积为（ ） （ A） 33（ B） 233（ C） 263（ D） 4638. 以下茎叶图记录了甲、乙两 个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况 乙 队 记录中有一个数 字 模糊，无法确认， 假设这个数字具有随机性，并在图中以 m 表示那么在 3 次比赛中，乙队 平均得分超过甲队平均得分的概率是 （ ） （ A） 35 （ B） 45 （ C） 710 （ D） 910 9. 若关于 x 的不等式 22 1xax? ? 对于一切 (1, )x? ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） （ A） ( ,4
5、? （ B） 4, )? （ C） ( ,6? （ D） 6, )? 10. 在 ABC? 中，角 ,ABC 对边的边长分别为 ,abc，给出下 列四个结论： 1 以 1 1 1,abc为边长的三角形一定存在； 2 以 ,abc为边长的三角形一定存在； 3 以 2 2 2,abc为边长的三角形一定存在； 4 以 ,2 2 2a b b c c a? ? ?为边长的三角形一定存在 . 那么，正确结论的个数为（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 . 甲队 乙队 7 89 0 3 m 8
6、2 3 3 11. 函数 2( ) 4f x x?的定义域是 _. 12. 在等差数列 na 中 , 245aa?，则 3a? _. 13. 随机抽取某班 6 名学生，测量他们的身高（单位： cm），获得身高数据依次为： 162， 168，170， 171， 179， 182，那么此班学生平均身高大约为 cm；样本数据的方差为 . 14. 设 x ， y 满足约束条件2,1,1 0,yxxyy?则 3z x y? 的最大值是 _. 15. 有 4 张卡片，上面分别写有 0， 1， 2， 3. 若从这 4 张卡片中随机取出 2 张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是 _. 16. 在 数列 na
7、 中 ， 3 12a? ， 11 5a ? ，且任意连续三项的和均为 11，则 2017a ? _；设 nS 是 数列 na 的前 n 项和，则使得 100nS 成立的 最大整数 n? _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 13 分） 在等差数列 na 中 , 1 2a? , 3516aa? . （） 求数列 na 的通项公式； （）如果 2a ， ma ， 2ma 成等比数列，求正整数 m 的值 . 18（本小题满分 13 分） 4 北京是我国严重缺水的城市之一 .为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的
8、 2000 名同学中，随机调查了 40 名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量 分为 6 组： 2,4) ， 4,6) ， 6,8) ， 8,10) ， 10,12) ， 12,14 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 . （） 给出图中实数 a 的值； （）根据样本数据，估计小明所在学校 2000 名同学家庭中 ,月均用水量低于 8 吨的约有多少户； （） 在月均用水量大于或等于 10 吨的样本数据中， 小明 决定随机抽取 2 名同学家庭进行访谈，求这 2 名同学中恰有 1 人所在家 庭的月均用水量属于 10,12) 组的概率 . 19（本小题满分 13 分） 在 AB
9、C? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 2a? , 1cos 4C? . （）如果 3b? ,求 c 的值； （）如果 26c? ，求 sinB 的值 . 20 （本小题满分 13 分） 已知数列 na 的前 n 项和 2 4nS n n? ，其中 *n?N . （） 求数列 na 的通项公式； （）设 21nanb ?，求数列 nb 的前 n 项和 nT ； （）若对于任意正整数 n ，都有1 2 2 3 11 1 1nna a a a a a ?+ + + ，求实数 ? 的最小值 . 21 （本小题满分 14 分） 4 8 6 10 14 2 月均用水量 / 吨 频 率组 距0
10、.075 0.025 0.225 0.100 12 a 5 已知函数 2( ) ( 2 1)f x a x a x b? ? ? ?， 其中 a ， b?R . （） 当 1a? ， 4b? 时，求函数 ()fx的零点； （ ） 如果函数 ()fx的图象在直线 2yx? 的上方，证明： 2b? ； （） 当 2b? 时，解关于 x 的不等式 ( ) 0fx? 22 （本小题满分 14 分） 在无穷数列 na 中， 1ap? 是正整数，且满足1, ,25 , .n nnnna aaaa? ?当 为 偶 数当 为 奇 数（）当 3 9a? 时，给出 p 的值；（结论不要求证明） （）设 7p? ，
11、数列 na 的前 n 项和为 nS ，求 150S ； （）如果存在 *m?N ，使得 1ma? ，求出符合条件的 p 的所有值 . 北京市西城区 2016-2017 学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案及评分标准 2017.7 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 1. A 2. B 3. B 4. B 5. D 6. A 7. C 8. D 9. C 10. C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 11. 2,2? ； 12. 52 ； 13. 172， 45； 6 14. 73 ； 15. 59 ； 16. 4， 29. 注
12、：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 17.（本小题满分 13 分） （） 解：设等差数列 na 的公差为 d , 则 3 5 12 6 1 6a a a d? ? ? ?, ? 3 分 又因为 1 2a? ， 解得 2d? . ? 5 分 所以 1 ( 1) 2na a n d n? ? ? ?. ? 7 分 （） 解：因为 2a ， ma ， 2ma 成等比数列， 所以 2 22mma a a? ， ? 10 分 即 2(2 ) 4 4mm? ， m ?N ， 解得 4m? . ? 13 分 18.（本小题满分 13 分）
13、（ ）解：因为各组的频率之和为 1，所以 月均用水量 在区间 10,12) 的频率为 1 ( 0 . 0 2 5 2 0 . 0 7 5 0 . 1 0 0 0 . 2 2 5 ) 2 0 . 1? ? ? ? ? ? ?， 所以，图中实数 0.1 2 0.050a ? ? ? . ? 3 分 （ ）解：由图可知 , 样本数据中月均用水量低于 8 吨 的频率为 ( 0 .0 2 5 0 .0 7 5 0 .2 2 5 ) 2 0 .6 5? ? ? ?， ? 5 分 所以 小 明 所 在 学 校 2000 名 同 学 家 庭 中 , 月 均 用 水 量 低 于 8 吨 的 约 有0.65 20
14、00 1300?(户 ). ? 7 分 （） 解：设 “ 这 2 名同学中恰有 1 人所在家庭的月均用水量属于 10,12) 组”为事件 A， 由图可知 , 样本数据中月均用水量在 10,12) 的户数为 0.050 2 40 4? ? ?.记这四名 同学家庭 分别为 , , ,abcd , 月均用水量在 12,14 的户数为 0.025 2 40 2? ? ?.记这两名 同学家庭 分别为 ,ef, 则选取的 同学家庭 的所有可能结果为： ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,a b a c a d a e a f b c
15、 b d 7 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,b e b f c d c e c f d e d f e f共 15 种， ? 9 分 事件 A 的可能结果为： ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),a e a f b e b f( , ), ( , ), ( , ), ( , ),c e c f d e d f共 8 种， ? 11 分 所以 8()15PA? . ? 13 分 19.（本小题满分 13 分） （） 解：由余弦定理 2 2 2 2 c o sc a b a b C?
16、? ? ， ? 3 分 得 2 14 9 2 2 3 ( ) 1 64c ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 4c? . ? ? 5 分 （） 解：（方法一）由 1cos 4C? ， (0,)C? ，得 2 15s in 1 c o s4CC? ? ?. ? 7 分 由正弦定理 sin sinacAC? ，得 sin 1 0sin8aCA c?. ? 10 分 所以 2 36c o s 1 s in 8AA? ? ?. 因为 A B C? ? ? ， 所以 sin sin( )B A C?sin c o s c o s sinA C A C? ? 12 分 1 0 1 3 6 1 5()8 4 8 4? ? ? ? ?104?. ? 13 分 （方法二） 由 1cos 4C? ， (0,)C? ，得 2 15s in 1 c o s4CC? ? ?. ? 7 分 由余弦定理 2 2 2 2 c o sc a b a b C? ? ? ， 得 2 12 4 4 2 2 ( )4bb? ? ? ? ? ? ?， 解得 4b? ，或 5b? （舍） . ? 10 分 由正弦定理 sin sinbcBC? ，得 sin 1 0sin4bCB c?. ? 13 分 20.（本小题满分 13 分） （）
