1、第1页，共36页 相似三角形 第一讲 预备知识， “平行线型”相似 一、成比例线段 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ac bd =，那么这四条选段 a，b，c，d 叫做成 比例线段，简称比例线段. 比例的基本性质 如果 ac bd =，那么adbc=. 如果adbc=（a，b，c，d 都不等于 0） ，那么 ac bd =. 比例的合比性质 ac bd = abcd bd =； ac bd = ac badc = . 比例的等比性质 如果 acm bdn =（0bdn+） ，那么 acma bdnb + = + . 1. 若 bccaab k a
2、bc + =，则k =_. 二、平行线等分线段定理 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相 等. 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论 2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰. 第2页，共36页 2. 如图，已知四边形 ABCD 中，DABABC90，点 M 为 CD 的中点，连接 AM，BM. 求证：AMBM. 三、平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. 预
3、备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线） 相交， 所构成的三角形与原三角形相似. （平行线型相似） M BC A D 第3页，共36页 3. 如图，点 F 在线段 BC 上（不与 B，C 重合） ，AC 与 BD 交于点 E，若 ABEFCD，AB2，CD3， 则 EF_. 4. 如图，已知 AD 为ABC 的角平分线. 求证： BDAB DCAC =. （文字描述为：三角形内角平分线定理 三角形内角平线分对边与两邻边成比例） F E A B C D D BC A 第4页，共36页 5. 如图，已知ABCD 的对角线相交于点 O，过 O 任作一条直线与 CD，BC 的延长线
4、分别交于 F，E，设 BCa，CDb，CEc，则 CF_.（用含 a，b，c 的代数式表示） 6. 如图，在正ABC 的边 BC，CA 上分别有点 E，F，且满足 BECFa，ECFAb（ab） ，若 BF 平 分 AE，则 a b 的值为_. 四、黄金分割 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图） ，如果 ACBC ABAC =，那么称线段 AB 被点 C 黄金分 割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比. E O D B C A F F M A E BC C AB 第5页，共36页 7. 实数 a，n，m，b 满足anmb，这四个数
5、在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B（如图） ，若 2 AMBM AB=， 2 BNAN AB=，则称 m 为 a，b 的“大黄金数” ，n 为 a，b 的“小黄金数” ，当2ba= 时，a，b 的大黄金数与小黄金数之差mn=_. 8. 如图是一张矩形纸片， 点 E 在 AB 边上， 把BCE 沿直线 CE 对折， 使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处， 连接 DF. 若点 E，F，D 在同一条直线上，AE2，则 DF_，BE_. nmba NABM F CD E A B 第6页，共36页 9. 如图，在四边形 ABCD 中，AC90，DE，BF 分别平分ADC，ABC，并交线段 AB
6、，CD 于 点 E，F（点 E，B 不重合）. 在线段 BF 上取点 M，N（点 M 在点 BN 之间） ，使 BM2FN. 当点 P 从点 D 匀速运动到点 E 时，点 Q 恰好从点 M 匀速运动到点 N. 记 QNx，PDy，已知 6 12 5 yx，当 Q 为 BF 中点时， 24 5 y. （1）判断 DE 与 BF 的位置关系，并说明理由； （2）求 DE，BF 的长； （3）若 AD6. 当 DPDF 时，通过计算比较 BE 与 BQ 的大小关系. 连接 PQ，当 PQ 所在直线经过四边形 ABCD 的一个顶点时，求所有满足条件的 x 的值. P C N M F D E AB Q
7、第7页，共36页 10. 已知正方形 ABCD，点 M 为 AB 的中点. （1）如图 1，点 G 为线段 CM 上的一点，且90AGB=，延长 AG，BG 分别与边 BC，CD 交于点 E，F. )求证：BECF=； )求证： 2 BEBC CE=； （2）如图 2，在边 BC 上取一点 E，满足 2 BEBC CE=，连接 AE 交 CM 于点 G，连接 BG 并延长交 CD 于 点 F，求 CF BC 的值. 图 1 图 2 E F G M B CD A E F G M B CD A 第8页，共36页 第二讲 相似三角形的定义、判定及性质， “子母型”相似 一、定义、判定及性质 定义 对
8、应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）. 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线） 相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 判定定理 1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似. 简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理 2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相 等，那么这两个三角形相似. 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理 3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三
9、角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似. 简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 特殊地，两个直角三角形相似的判定. 定理 （1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似. （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似. 此外，与直角三角形全等的判定定理类比，可引出直角三角形相似的另一个判定定理. 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理 （1）相似三角形对应边成比例，对应角相等； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似
10、三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 第9页，共36页 二、 “子母型”相似 如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上（不与端点重合） ， （1）若ACDB，则ACDABC； （2）若ACBADC，则ACDABC； （3）若 ADAC ACAB =，则ACDABC； （4）若ACDABC，则 2 ACAD AB=. 1. 如图，点 D 是等边ABC 外一点，ADB30，BD 交 AC 于点 E，2 7CE =，过 A 作 AGAD 于点 A，分别交 BD，BC 于点 F，G. BG 的长为_； 若3 3AD=，则等边ABC 的边长为_. D AB C F G
11、D A BC E 第10页，共36页 2. 如图，在ABC 中，ABAC6，D 为 BC 边上一点，E 为线段 AD 上一点， 2BEDBACCED= ，ADBD，则 CE 的长为_. 3. 如图，AC 是ABCD 的对角线，且 ACAB，在 AD 上截取AHAB=，连接 BH 交 AC 于点 F，过点 C 作 CE 平分ACB 交 BH 于点 G，且2GF =，3CG =，则AC =_. 4. 在ABC 中，AB5，4 5BC =，A2C. 则 AC 的长为_. 5. 如图，已知 AH 为ABC 的高，BH3，CH2，BAC45，则 AH_. E A D BC H D E A B G C F
12、 A C B A H CB 第11页，共36页 6. 如图，ABC 中，C90 ，E、F 的分别是 AC、BC 边上的动点，D 是ABC 外一点，ADB135 ， EDF90 ，DEDF，若 AC18，BC25，则 AEBF_. 7. 如图，在ABC 中，BAC90，点 D 在边 AC 上，点 E 在线段 BD 上，DEDC，ABDBCE， 若 AD7，DE11，则 BC_. 8. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，AEB2FBC，CECF14，DF6，则 BE_. E D A C B F E D A B C F DA E C B 第12页，共36页 9. 【基
13、础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB. 求证： 2 ACAD AB. 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA. 若 BF4，BE3， 求 AD 的长. 【拓展提高】 （3） 如图 3， 在菱形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是ABC 内一点， EFAC， AC2EF， 1 2 EDFBAD， AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长. 图1 D A BC 图2 A EB C F D 图3 F E B D A C 第13页，共36页 10. 在ABC 中，P 为边 AB 上一点. （
14、1）如图 1，若ACPB，求证： 2 ACAP AB=； （2）若 M 为 CP 的中点，AC2. 如图 2，若PBMACP，AB3，求 BP 的长； 如图 3，若ABC45，ABMP60，直接写出 BP 的长. 图1 P B C A 图2 M B C A P 图3 M B C A P 第14页，共36页 三、射影定理特殊的“子母型”相似 从一个点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影. 如图 1，AAMN，垂足A就是 点 A 在直线 MN 上的正射影. 如果点 A 是 MN 上的点，那么 A 在 MN 上的正射影就是它本身. 一条线段在直线上的正射影是指线段的两个端点在这条直
15、线上的正射影间的线段. 如图 2，线段 AB 的两个 端点 A 和 B 在直线 MN 上的正射影分别是A和B，线段 A B是线段 AB 在直线 MN 上的正射影. 点和的正射影简称为射影. 图 1 图 2 射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上 的射影与斜边的比例中项. 如图，已知 RtACB 中，ACB90，CDAB 于 D，则 2 DCDA DB=， 2 ACAD AB=， 2 BCBD BA=. 11. 在 RtABC 中，BAC90，点 P 是 BC 上一点，且 APAB，则 2 BP BC AB _. N MA A NM BA A
16、 B D B A C P BC A 第15页，共36页 12. 如图，在 RtABC 中，ABC90 ，M 是 BC 的中点，连接 AM ，过点 B 作 BPAM，P 为垂足，连 接 CP 并延长交 AB 于点 Q. 若 AB n BC =，则 tanBPQ 的值为_.（用含 n 的式子表示） 13. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，连接 AE、DE，则 DE AE 的最小值为_. Q P M A B C D A B C E 第16页，共36页 三、阿氏圆问题“子母型”的应用 探究如下问题 （1）如图，点 D 在线段 AB 上，AD1，AB4，平面内是否存在点 C，使得A
17、CDABC，若存在， 请找出所有符合条件的点 C，若不存在，请说明理由； （2）如图，在ABC 中，AC2，AB4，在线段 AB 上是否存在点 D，使得ACDABC，若存在， 请找出点 C，若不存在，请说明理由； （3）平面内到两个定点的距离之比为常数 k（k1）的点的轨迹是圆，这个圆被称作阿氏圆. 14. 如图， O 是正方形 ABCD 的内切圆， AB4，点 P 是O 上一动点，则 2 2 APDP+的最小值为_. D AB BA C O C D A B P 第17页，共36页 15. 如图，在明面直角坐标系 xOy 中，一次函数 3 3 4 yx= +的图象分别与 x 轴、y 轴交于点
18、A、B，点 M 是 OA 的中点，将线段 OM 绕点 O 逆时针旋转得到OM，旋转角为 （090） ，连接M A、M B， 则 2 3 M AM B+的最小值为_. 16. 如图，在ABC 中，AB2AC，BC4，则ABC 的面积的最大值为_. x y A B M O M B C A 第18页，共36页 第三讲 旋转相似一拖二，瓜豆原理 一、旋转相似一拖二 将一个三角形绕其一个顶点旋转一定角度（旋转角 满足 0 360 且 180 ）并放大（或缩小），再 连接对应点后会得到另一组相似三角形. （简述为：旋转相似一拖二） 如图，ABCADEABDACE（可用 SAS 判定相似）. 1. 如图，A
19、BC 与DEF 均为等边三角形，O 为 BC 和 DE 的中点，则 AF BD _. 2. 在平面直角坐标系中，(1,0)A，(0,3)B，过点 B 作直线 BCx 轴，点 P 是直线 BC 上的一个动点，以 AP 为边在 AP 右侧作 RtAPQ，使APQ90 ，且:1: 3AP PQ =，连接 AB，BQ，则ABQ 的周长 的最小值为_. E A B C D F E A O B C D x y C Q B AO P 第19页，共36页 3. 如图，已知 AC 为正方形 ABCD 的对角线，点 P 是平面内不与点 A，B 重合的任意一点，连接 AP，将 线段 AP 绕点 P 顺时针旋转 90
20、 得到线段 PE，连接 AE，BP，CE. （1）求证：APEABC； （2）当线段 BP 与 CE 相交时，设交点为 M，求 BP CE 的值以及BMC 的度数； （3）若正方形 ABCD 的边长为 3，AP1，当点 P，C，E 在同一直线上时，求线段 BP 的长. M E C D A B P备用图 C D B A 第20页，共36页 4. 已知锐角MBN的余弦值为 3 5 ，点 C 在射线 BN 上，25BC =，点 A 在MBN内部，且90BAC=， BCAMBN=，过点 A 的直线 DE 分别交射线 BM，射线 BN 于点 D，E，点 F 在线段 BE 上（点 F 不与 点 B 重合）
21、 ，且EAFMBN=. （1）如图 1，当 AFBN 时，求 EF 的长； （2）如图 2，当点 E 在线段 BC 上时，设BFx=，BDy=，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数的定 义域； （3）连接 DF，当ADF 与ACE 相似时，请直接写出 BD 的长. 图 1 图 2 备用图 M N D E F A C B M N F D A C B E M N A C B 第21页，共36页 二、瓜豆原理旋转相似的运用 观察下列图形中动点 Q 如何运动？并尝试推广（比如：点 Q 在线段 OP 上且 1 3 OQOP=，点 Q 如何运动？ 点 Q 在 OP 的延长线上，OQ2OP，点 Q 如何
22、运动？） 。 （1）点 O 为定点，点 P 在定直线 l 上运动，点 Q 为线段 OP 的中点，点 Q 如何运动？ （2）点 O 为定点，点 P 在定圆M 上运动，点 Q 为线段 OP 的中点，点 Q 如何运动？ 以下讨论的均为 OQ 在 OP 绕点 Q 顺时针旋转 的方向. （3）点 O 为定点，点 P 在定直线 l（定圆M）上运动，OQOP，且 1 2 OQOP=，则点 Q 如何运动？ （4）点 O 为定点，OQOP，且 1 2 OQOP=，若点 P 的运动路径为英文单词 path，则点 Q 的运动路径什 么？ l Q O P Q M O P l Q O P Q M O P Q O P 第
23、22页，共36页 （5）点 O 为定点，POQ 且 1 2 OQOP=，点 P 在定直线 l（定圆M）上运动，OQOP，则点 Q 如 何运动？ 瓜豆原理 若点 O 为定点，POQ 为定角 ， OQ OP 为定值 k，则点 Q 与点 P 的运动方式相同. 需注意的是 OQ 始终在 OP 绕点 O 顺时针旋转 的方向上（或 OQ 始终在 OP 绕点 O 顺时针旋转 的方向 上），即线段 OQ 是由 OP 有向旋转并放缩得来. 5. 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC8，BC6，点 D 是以 A 为圆心，4 为半径的圆上的一动点， 连接 BD，M 为 BD 的中点，则线段 CM 长度的最大
24、值为_. l Q OP Q M O P M BC A D 第23页，共36页 6. 正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为 边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为_. 7. 如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，90AC= =，BDBE，3ADBC=，5CE =,点 P为线段AB上的动点， 连接DP， 作PQDP， 交直线BE与点Q， 当点P从A点运动到AC的中点时, 线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为_. 8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是对角线 AC 上一动点，连接
25、BE，以 BE 为边作 RtBEF， 90BEF=，EF2BE，连接 DF，当BFD 最大时，CE 的长为_. G E D A B C F Q E D C B A P F D A C B E 第24页，共36页 第四讲 “一线三等角型”相似，锐角三角函数，其他相似 一、 “一线三等角型”相似 B BPEBQFEAF， APEFQA. MAEMBFEMF， 且M是AB的中点， AMEBFMMFE. PAEPBFEPF， APEBFP. = 30 E F F P F M AB AB E E A P Q B BPEBQFEAF， APEFQA. MAEMBFEMF， 且M是AB的中点， AMEBFM
26、MFE. PAEPBFEPF， APEBFP. = 45 E F F P F M AB AB E E A P Q B BPEBQFEAF， APEFQA. MAEMBFEMF， 且M是AB的中点， AMEBFMMFE. PAEPBFEPF， APEBFP. = 60 E F F P F M AB AB E E A P Q 第25页，共36页 B BPEBQFEAF， APEFQA. MAEMBFEMF， 且M是AB的中点， AMEBFMMFE. PAEPBFEPF， APEBFP. = 90 E F F P F M AB AB E E A P Q B BPEBQFEAF， APEFQA. MA
27、EMBFEMF， 且M是AB的中点， AMEBFMMFE. PAEPBFEPF， APEBFP. = 120 E F F P F M AB AB E E A P Q B BPEBQFEAF， APEFQA. MAEMBFEMF， 且M是AB的中点， AMEBFMMFE. PAEPBFEPF， APEBFP. = 135 E F F P F M AB AB E E A P Q 第26页，共36页 1. （1）如图 1，ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，将图形沿线段 DE 所在的直线翻 折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处. 求证：BF CFBD CE=； （2）如
28、图 2，按图 1 的翻折方式，若等边ABC 的边长为 4，当:3:2DF EF =时，求 sinDFB 的 值； （3）如图 3，在 RtABC 中，A90 ，ABC30 ，2 3AC =，点 D 是 AB 边上的中点，在 BC 的下方作射线 BE，使得CBE30 ，点 P 是射线 BE 上一个动点，当DPC60 时，求 BP 的长. 图1 E D A BC F 图2 C B F E A D E 图3 P D A B C 第27页，共36页 2. 如图，在ABC 中，A120，ABAC2，D 为 BC 的中点，E，F 分别是边 AB、AC 上的动点， EDF120 ，连接 EF. （1）当点
29、E 为 AB 的中点时，求DEF 的面积； （2）设 BEx，CFy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当 7 24 DEF ABC S S = 时，求 AE CF 的比值. F A D CB E 第28页，共36页 3. 如图，ABC 和DEF 是两个全等的等腰三角形，BC、EF 为底边，点 D 在 BA 的延长线上，点 E 是 BC 的中点，EF 交 AC 于点 G. （1）求证：BDECEG； （2）连接 DG，DGDA. 求证：DEAC； 若 EG1，求 FG 的长. G F D E B C A 第29页，共36页 4. 如图，在矩形 ABCD 中，
30、已知 AB3，BC4，点 P 是边 BC 上一动点（点 P 不与点 B，C 重合），连 接 AP，作点 B 关于直线 AP 的对称点 M，连接 MP，作MPC 的角平分线交边 CD 于点 N. 则线段 MN 的最小值为_. 5. 如图，ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内一点，使得APBBPCCPA，且 PA8， PC6，则 PB_. N M DA B C P P A BC 第30页，共36页 6. 在四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，AD 上的点，连接 CE，CF 并延长，分别交 DA，BA 的延 长线于点 H，G. （1）如图 1，若四边形 ABCD 是菱形， 1
31、2 ECFBCD=，求证： 2 ACAH AG=； （2）如图 2，若四边形 ABCD 是正方形，45ECF=，BC4，设 AEx，AGy，求 y 与 x 的函数 关系式； （3）如图 3，若四边形 ABCD 是矩形，:1:2AB AD=，CGCH，45GCH=，请求tanAHG的 值. 图 1 图 2 图 3 E H B D C A F G E H G BC DA F F E G H A BC D 第31页，共36页 二、其他相似 9. 如图， 已知 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 AB、 BC 上， BEBF， 连接 CE， 作 BHCE 于 H， 连接 DH， FH. 求证：DH
32、FH. 10. 如图，在ABCD 中，AMBC，ANCD，M，N 为垂足，若 AB13，BM5，MC9，则 MN 的长为 _. 11. 已知，四边形 ABCD 为平行四边形，连接 AC，过点 C 作 CMAB 于 M，CNAD 于 N. 求证： 2 AB AMAD ANAC+=. 12. 如图，在ABCD 中，A90，AB2AD，E、F 分别是 AD、DC 的中点，CE 与 BF 交于点 G， 若ABGE180，则 cosA 的值为_. F H D A BC E N CB M AD M N C D B A G F B A E C D 第32页，共36页 13. 如图，三角形 ABC 和AGF
33、都是等腰直角三角形，BACAGF90，边 AF、AG 分别与边 BC 交 于点 D、E，若 AB2，CDx，BEy，则 y 关于 x 的函数表达式为_. 14. 如图，ABBD，CDBD，AB6，CD4，BD14，点 P 在 BD 上运动，当以点 P，C，D 为顶点的 三角形与ABP 相似时，PB 的长为_. 三、位似 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P所在的直线都经过同一点 O，且有OPkOP=（0k ） ，那 么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心. 实际上，k 就是这两个相似多边形的相似比. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 k
34、（0k ） ，所对应的图形 与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k. 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点坐标分别是(0,0)O(6, 0)A，(6, 4)B，(0, 4)C. 已知矩 形 OA B C与矩形 OABC 位似，位似中心是原点 O，且矩形 OA B C的面积等于矩形 OABC 面积的 1 4 ，则点B的坐标为_. ED F A B C G C A BD P x y C B A O 第33页，共36页 四、锐角三角函数 （一）定义 如图，在 RtABC 中，ACB90，如果锐角 A 确定，那么A 的对边与邻边的比、对边与斜边之比、邻 边与斜边之比便随
35、之确定. A 的对边与邻边之比，叫做A 的正切（tangent） ，记作tanA，即tan A A A = 的对边 的邻边 . A 的对边与斜边之比，叫做A 的正弦（sine） ，记作sinA，即sin A A = 的对边 斜边 . A 的邻边与斜边之比，叫做A 的余弦（cosine） ，记作cosA，即cos A A = 的邻边 斜边 . （二）性质 1. 如图，tanA的值越大，梯子越陡；sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡. 我们用正切来描述山坡的坡度. 例如，有一山坡在水平方向上每前进 100m 就升高 60 米（如图） ，那么山坡 的坡度就是 603 tan 100
36、5 =. 2. 22 sincos1AA+=， sin tan cos A A A =. 3. 对于锐角 A 而言，tanA随 A 的增大而增大；sinA随 A 的增大而增大；cosA随 A 的增大而减小. A的邻边 A的对边 B A C 60m 100m 第34页，共36页 （三）30，45，60角的三角函数值 sin cos tan 30 45 60 （四）拓展：正弦定理与余弦定理 正弦定理（law of sines） 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等. 若ABC 中，BCa，ACb，ABc，则2 sinsinsin abc R ABC =（R 为ABC 的外接圆半径）. 余弦定
37、理（law of cosines） 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍. 若ABC 中，BCa，ACb，ABc， 222 222 222 2cos, 2cos, 2cos. abcbcA bacacB cababC =+ =+ =+ 则 余弦定理的推论 若ABC 中，BCa，ACb，ABc， 222 222 222 cos, 2 cos, 2 cos. 2 bca A bc acb B ac abc C ab + = + = + = 则 sin cos tan 120 3 2 1 2 3 135 2 2 2 2 1 150 1 2 3 2 3 3
38、 三角 函数 三 角 角 函 数 值 a c b B C A 三角 函数 三 角 角 函 数 值 第35页，共36页 （五）锐角的正弦的应用胡不归模型 【问题引入】 如图，已知沙地的行进速度为 1m/s，沙地边界处的快速通道的行进速度 2m/s，点 AB1000m，BHAH， BH500m，求从点 A 到点 B 所需的最短时间. （可从快速通道上的任意一点 P 直接进入沙地） 【问题简化】 如图，已知点 B 为直线外一定点，点 A 为直线 l 上一定点，点 P 在直线 l 上运动，求 1 2 APPB+的最小值. 【问题解决】 由 1 2 联想到在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所
39、对的直角边等于斜边的一半. 如图，得解. 【总结】胡不归模型 条件：系数不相等折线段的两个端点是定点，折点在直线上运动，在直线上的那条线段系数更小； 求：此系数不等的折线段的最小值； 方法：先通过正弦将“系数不等的折线段”转化为“系数相等的折线段” ，再利用“垂线段最短”求解. 500m 1000m 速度2m/s 速度1m/s 快速通道 沙地 H A B P l AP B l 30 Q AP B 第36页，共36页 16. 如图，已知 RtABC 中，ACB90，BAC30，延长 BC 至点 D，使 CDBC，连接 AD. （1）求证：ABD 是等边三角形； （2）若 E 为线段 CD 的中点
40、，且 AD4，点 P 为线段 AC 上一动点，连接 EP，BP. 求 1 2 EPAP+的最小值； 求2BPAP+的最小值. 17. 如图，二次函数 2 23yxx=+的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，过点 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 10 10 PCPD+的最小值为_. 18. 如图，点 B，C 是O 上两点，120BOC=，分别过 B，C 作O 的切线，两切线相交于点 A，点 E 为 BC上的动点， F， G 分别为线段 AB， AC 上的动点， 若O 的半径为3， 则2EFEG+的最小值为_. EC A DB x y A C BDO P A CB O F E G
