1、 1 2016-2017 学年度第二学期教学质量检查 高一数学 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 0tan( 390 )? 的值为（ ） A 33? B 33 C 3? D 3 2.某高级中学共有学生 1500 人，各年级学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取45 名学生，则在高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为（ ） 高一 高二 高三 人数 600 500 400 A 12， 18， 15 B 18， 12， 15 C 18， 15， 12 D 15， 15， 15 3.远古时期，
2、人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在人们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上 打结，满六进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A 36 B 56 C 91 D 336 4.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ） A只有一次投中 B两次都不中 C.两次都投中 D至少投中一次 5.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒，绿灯持续时间为 45 秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等街 15 秒才出现绿灯的概率为（ ） A 310 B 710 C. 3
3、8 D 58 6.在平行四边形 ABCD 中， AB a? ， AC b? ， 2DE EC? ，则 BE 等于（ ） A 13ba? B 23ba? C. 43ba? D 13ba? 2 7.某程序框图如图，该程序运行后输出的 S 值是（ ） A 8 B 9 C. 10 D 11 8.已知角 ? 终边上一点 P 的坐标为 (,3)aa（ 0a? ），则 cos sinsin cos? 的值是（ ） A 2 B -2 C. 12 D 12? 9.直线 10x ky? ? ? （ kR? ）与圆 22 4 2 2 0x y x y? ? ? ? ?的位置关系为（ ） A相交 B相切 C. 相离
4、D与 k 的值有在 10.已知函数 ( ) sin ( )4f x x ? ? ?（ 5922?， 0 ?）是偶函数，且 (0) ( )ff? ，则（ ） A ()fx在 3( , )88?上单调递减 B ()fx在 3( , )88?上单调递增 C. ()fx在 (0, )4? 上单调递增 D ()fx在 (0, )4? 上单调递减 11.已知在 ABC? 中， O 是 ABC? 的垂心，点 P 满足： 113222O P O A O B O C?，则ABP? 的面积与 ABC? 的面积之比是（ ） A 23 B 34 C. 35 D 12 12.若关于 x 的不等式 21 co s 2 c
5、o s 03 x a x? ? ?在 R 上恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A 13? B 13 C. 23 D 1 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 3 13.在空间直角坐标系中，已知 (3,0,1)A ， (4,2, 2)B ? ，则 AB? 14.下图是 2016 年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 15.已知扇形的周长为 10cm ，面积为 4 2cm ，则扇形的中心角等于 （弧度） . 16.如图，等腰梯形 ABCD 的底边长分别为 8 和 6，高为 7，圆
6、 E 为等腰梯形 ABCD 的外接圆，对于平面内两点 ( ,0)Pa? ， ( ,0)Qa （ 0a? ），若圆 E 上存在 点 M ，使得 0MP MQ?，则正实数 a 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 i ， j 是互相垂直的两个单位向量， 3a i j? ， 3b i j? ? . （ 1）求 a 和 b 的夹角； （ 2）若 ()a a b? ，求 ? 的值 . 18. 东莞市某高级中学在今年 4 月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限 x （单位：年， *xN? ）和所 支出的维护费用 y
7、（单位：万元）厂家提供的统计资料如下： （ 1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用 y 关于 x 的线性回归方程4 y bx a?； （ 2）若规定当维护费用 y 超过 13.1 万元时，该批空调必须报废，试根据（ 1）的结论求该批空调使用年限的最大值 . 参考 公式：最小二乘估计线性回归方程 y bx a?中系数计算公式： 121( )( )()niiiniix x y ybxx?， a y bx? 19. 某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取 50 人进行统计（已知这50 个身高介于 155 cm 到 195cm 之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组1
8、55,160) ，第二组 160,165) ，?，第八组 190,195 ，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组 180,185) 和第七组 185,190) 还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为 5： 2. （ 1）补全频率分布直方图； （ 2）根据频率分布直方图估计这 50 位男生身高的中位数； （ 3）用分层抽样的方法在身高为 170,180 内抽取一个容量为 5 的样本，从样本中任意抽取 2 位男生，求这两位男生身高都在 175,180 内的概率 . 20. 函数 2 33( ) 3 c o s s i n ( 0 )2 2 2xf x x
9、? ? ? ? ?的部分图象如图所示， ,AB为图象的最高点， C 为图象的最低点，且 ABC? 为正三角形 . 5 （ 1）求 ()fx的值域及 ? 的值； （ 2）若0 33() 5fx?，且0 21( , )33x ?，求0 1()2fx?的值 . 21. 已知圆 22: 4 4 8 0C x y x y? ? ? ? ?，直线 l 过定点 (0,1)P ， O 为坐标原点 . （ 1）若圆 C 截直线 l 的弦长为 43，求直线 l 的方程； （ 2）若直线 l 的斜率为 k ，直线 l 与圆 C 的两个交点为 ,AB，且 8OA OB? ? ，求斜率 k的取值范围 . 22.已知 (
10、0, )2? ， (0, )2? ， 1 sintancos ? ?（ 1）用 ? 表示 ? ； （ 2）若关于 ? 的方程为 sin sin 0m? ? ?，试讨论该方程根的个数及相应实数 m 的取值范围 . 2016 2017 学年度第二学期教学质量检查 高一数学参考答案 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 6 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C D C B D A D A B 二、填空题 (每小题 5 分 ,满分 20 分 ) 13. 14 14. 58 15. 12 16. 2,8 三、 解答题： 17. 【解析】 （ 1）因为
11、i ， j 是互相垂直的单位向量，所以 0,1,1 22 ? jiji ? 2332)3( 2222 ? jjiijiaa ? 2323)3( 2222 ? jjiijibb ? ( 3 ) ( 3 ) 2 3a b i j i j? ? ? ? ? ? ? ?设 a 与 b 的夹角为 ? ，故2322 32c o s ? ba ba ? 又 ),0( ? 故 65? （ 2）由 ()a a b? 得 0)( ? aba ? ? 02 ? aba ? ? ，又 32)23(22,42 ? aba ? 故 3322 ? baa ? 【解法二】 设 a 与 b 的夹角为 ? ，则由 i ， j 是
12、互相垂直的单位向量， 不妨设 i ， j 分别为平面直角坐标系中 x 轴、 y 轴方向上的单位向量，则 )3,1(?a? ， )1,3( ?b? 1 3 2a ? ? ? 3 1 2b ? ? ? 1 ( 3 ) 3 ( 1 ) 2 3ab? ? ? ? ? ? ? ? ?7 故2322 32c o s ? ba ba ? 又 ),0( ? 故 65? （ 2）由 a 与 ab? 垂直得 0)( ? aba ? ? 02 ? aba ? ? ，又 2 4, 2 3a b a? ? ? ? 故3322 ? baa ? 18. 【解析】 （ 1） 35 54321 ?x ， 5.75 985.77
13、6 ?y 10)35()34()33()32()31()( 222224 1 2 ?i i xx 7)5.79)(35()5.78)(34()5.75.7)(33()5.77)(32()5.76)(31()(51?yyxx ii i7.0107)()(?121 ?niiniiixxyyxxb4.537.05.7? ? xbya 故线性回归方程为 4.57.0? ? xy . （ 2）当维护费用 y 超过 13.1 万元时，即 0.7 5.4 13.1x? 11x? ?从第 12 年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为 11 年 . 答：该批空调使用年限的最大值为 11 年 . 19
14、. 【解析】 （ 1）第六组与第七组频率的和为： 8 14.0)50 0 8.0506.0504.0504.050 1 6.050 0 8.0(1 ? 第六组和第七组人数的比为 5： 2. 第六组的频率为 0.1，纵坐标为 0.02； 第七组频率为 0.04，纵坐标为 0.008. （ 2）设身高的中位数为 x ，则 5.0)170(04.0504.05016.05008.0 ? x 5.174?x 估计这 50 位男生身高的中位数为 174.5 （ 3）由于第 4， 5 组频率之比为 2： 3，按照分层抽样，故第 4 组中应抽取 2 人记为 1， 2， 第 5 组应抽取 3 人记为 3， 4， 5 则所有可能的情况有： 1， 2， 1， 3， 1， 4， 1， 5， 2， 3， 2， 4， 2， 5， 3， 4， 3， 5， 4， 5共 10 种 满足两位男生身高都在 175， 180内的情况有 3， 4， 3， 5， 4， 5共 3 种 因此所求事件的概率为 103 20. 【解析】 (1) 1 c o s 3 3( ) 3 s in2 2 2xf x x? ? ? ? 133 ( s i n c o s ) 3 s i n ( )2 2 3x x x ? ? ? ? ? ? ()fx? 的最大值为 3 ，最小值为 3? ()fx? 的值域为
