1、 - 1 - 贵州省毕节市 2017-2018 学年高一数学下学期期末考试试题 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 1,0,1A? ， 2,0,2B? ，则集合 AB? （ ） A 0 B ? C 0 D 1 2.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，异面直线 AC 与 11BC 所成的角是（ ） A 30? B 45? C 60? D 90? 3.为了得到函数 lgyx? 的图象，只需将函数 lg(10 )yx? 图象上（ ） A所有点的横坐标伸长到原来的 10倍，纵坐
2、标不变 B所有点的横坐标缩短到原来的 110 倍，纵坐标不变 C所有点沿 y 轴向上平移一个单位长度 D所有点沿 y 轴向下平移一个单位长度 4.若实数 x ， y 满足 020xyxy?，则目标函数 1zy?的最大值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5.在矩形 ABCD 中，若 AC 与 BD 交于点 O ，则下列结论正确的是（ ） A AB CD? B 2OD BC AB? C AB AD AB AD? ? ? D A C B D C D A B A D? ? ? ? 6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( 1,2)P? 是角 ? 终边上的一点，则 tan2? 等于（ ） A 4
3、3 B 43? C 2 D 2? 7.若不等式 2 10x ax? ? ? 对任意 xR? 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） - 2 - A 2, )? B ( , 2? C 2,2? D ( , 2 2, )? ? ? 8.若 2log 0.2a? ， 0.22b? ， 0.2log 0.3c? ，则下列结论正确的是（ ） A c b a? B bac? C abc? D b c a? 9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均由半圆和边长为 2 的等边三角形构成，俯视图是圆，则该几何体的表面积是（ ） A 53? B 83? C 4? D 6? 10.函数22() 1xfx
4、x? ?的大致图象是（ ） A B C D 11.在 ABC? 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若 a ， b ， c 成等比数列，22a ab c ac? ? ? ，则 cosC 的值为（ ） A 12 B 12? C 32 D 32? 12.若 1x ， 2x 分别是函数 ( ) 2 xf x x ? ， 2( ) log 1g x x x?的零点，则下列结论成立的是（ ） A 12xx? B 12xx? C 121xx? D 121xx? - 3 - 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13.已知向量 a ， b 满足 (1,
5、1)a? ， (0, 1)b?，则 2ba? 14.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把 120个面包分成 5 份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的 7 倍，则最少的那份面包数是 15.函数 ( ) sin( )f x x?( 0,0 )? ? ? ? ?的部分图象如图所示，则 (5)f 的值是 16.在四面体 ABCD 中， 1BD CD AB? ? ?， AB BD? ， CD BD? .当四面体 ABCD 体积最大时，直线 AD 与平面 BCD 所成的角是 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤 . 17.在 ABC? 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 2b? ， 3c? ， 60C?. （ 1）求 B ； （ 2）求 ABC? 的面积 . 18.已知向量 (sin ,cos )a x x? ， ( 3 cos ,cos )b x x? . （ 1）若 /ab，且 22x? ? ? ，求 x 的值； （ 2）求函数 ()f x a b? 的单调减区间 . 19.某租赁公司， 购买了一辆小型挖掘机进行租赁 .据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润 y（单位：万元）与租赁年数 *()xx N? 的关系为 2 14 36y x x? ? ? ?. （ 1）该
7、挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过 9 万元？ （ 2）该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？ 20.已知数列 na 的前 n 项和为 ( 1)nS n n?，数列 nb 是等比数列 .设数列 nnab 前 n 项和为 nT ，且 1 2T? ， 2 10T? . - 4 - （ 1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （ 2）求 nT . 21.在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11ACCA? 底面 ABC ， 1 3AA BC?， 1 4AB AC?，5AB? ， E 为 AB 的中点 . （ 1）求证： 1/BC 平面 1ACE ； （ 2）求证： 1AA? 平
8、面 1ABC ； （ 3）求三棱锥 1A ACE? 的体积 . 22.已知函数 ( ) 2 2xxfx ?是偶函数 . （ 1）求证： ()fx是偶函数； （ 2）求证： ()fx在 0, )? 上是增函数； （ 3）设 ( ) log ( 3) 2ag x x? ? ?（ 0a? ，且 1a? ），若对任意的 0 1,2x ? ，在区间 1,2?上总存在两个不同的数 1x ， 2x ，使得 1 2 0( ) ( ) ( )f x f x g x?成立，求 a 的取值范围 . - 5 - 毕节市 2018 年高一联考数学 参考答案 一、选择题 1-5: CBDBC 6-10: ACDCA 11
9、、 12： AD 二、填空题 13. ( 2, 3)? 14. 2 15. 22? 16. 45? 三、解答题 17.解：（ 1）由正弦定理 sin sinbcBC? ，得 s in 2 s in 6 0 2s in 23bCB c ? ? ?. 因为 bc? ，所以 BC? ， 45B?. （ 2）因为 1 8 0 4 5 6 0 7 5A ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以s in s in 7 5 s in (3 0 4 5 )A ? ? ? ? ? ?s in c o s 4 5 c o s 3 0 s in 4 5? ? ? ? ?1 2 3 2 6 22 2 2 2 4? ?
10、? ? ?. 从而 ABC? 的面积为 1 1 6 2s in 2 32 2 4S b c A ? ? ? ? ?334? . 18.解：（ 1）由 22x? ? ? ，得 cos 0x? ； 由 /ab，得 2sin co s 3 co s 0x x x?， 两边同除以 2cosx ，得 tan 3 0x?，即 tan 3x? ， 结合 22x? ? ? ，得 3x ? . （ 2） 2( ) 3 s in c o s c o sf x a b x x x? ? ? ?3 1 co s 2sin 222xx ? 1sin 262x ? ? ?. 由 32 2 22 6 2k x k? ? ?
11、 ? ? ? ?， kZ? ，解得 263k x k? ? ?， kZ? ， - 6 - 所以函数 ()fx的单调减区间是 2,63kk?， kZ? . 19.解：（ 1）由题意，得 2 14 36 9xx? ? ? ?， 整理，得 2 14 45 0xx? ? ?， 解得 59x?， 所以该挖掘机租赁到第 6 ， 7 ， 8 年时，租赁的利润超过 9 万元 . （ 2）租赁的年平均利润为 2 1 4 3 6 3 6 14y x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ?. 因为 36 362 12xxxx? ? ? ?， 所以当且仅当 36x x? 时，即 6x? 时，m ax 12 1
12、4 2yx? ? ? ? ? ， 所以该挖掘机租赁到第 6 年时，租赁的年平均利润最大 . 20.解：（ 1）当 2n? 时， 1 ( 1 ) ( 1 ) 2n n na S S n n n n n? ? ? ? ? ? ?； 当 1n? 时， 112 1 2aS? ? ? ?，代入上式成立， 所以 2nan? . 由 12210TT? ?，得 111 1 2 22 10aba b a b? ?，即 112222 4 10bbb? ?，解得 1212bb? ?， 从而公比 2q? ，于是 12nnb ? . （ 2）因为 12 2 2nnnna b n n? ? ? ?， 所以 1 2 31
13、2 2 2 3 2nT ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1) 2 2nnnn? ? ? ?， 则 2 3 42 1 2 2 2 3 2nT ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1) 2 2nnnn? ? ? ? ， -，得 1 2 3 12 2 2 2 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? 112 (1 2 ) 2 (1 ) 2 212 n nnnn? ? ? ? ? ? ， 即 1( 1)2 2nnTn ? ? ?. 21.（ 1）证明：连接 1AC ，设 11AC AC F? ，则 F 为 1AC 的中点， - 7 - 因为 E 为 AB 的中点， 所以 1/EF BC . 又
14、 1BC? 平面 1ACE ， EF? 1ACE ， 所以 1/BC 平面 1ACE . （ 2）证明：在 ABC? 中，由 3BC? ， 4AC? ， 5AB? ，得 90ACB? ? ? ，即 AC BC? ； 在 1AAB? 中，同理可得 11AA AB? . 因为侧面 11ACCA? 底面 ABC ，侧面 11ACCA 底面 ABC AC? ， 所以 BC? 平面 11ACCA . 又 1AA? 平面 11ACCA ， 所以 1BC AA? ， 又 1AB BC B? ， 所以 1AA? 平面 1ABC . （ 3）解：因为 1AA? 平面 1ABC ， 1AC? 平 面 1ABC ，
15、 所以 11AA AC? . 在直角 1AAC? 中，由 1 3AA? 及 4AC? ，得 2 2 2 211 4 3 7A C A C A A? ? ? ? ?. 所以1 1 11122A A C E A A B C B A A CVVV? ? ?11 1 1 1 3 73 3 72 3 6 2 4A A CB C S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 22.（ 1）证明：函数 ()fx的定义域为 R ， 因为 ()( ) 2 2 2 2 ( )x x x xf x f x? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 8 - 所以 ()fx是偶函数 . （ 2）证明：设 120xx?，则
16、 1 1 2 212( ) ( ) 2 2 2x x x xf x f x ? ? ? ? ?12 1211(2 2 ) 22xx xx? ? ? ?12121222(2 2 ) 2xxxx xx? ? ? 1 2 1 212(2 2 )(2 1)2x x x xxx ? . 由 120xx?，得 122 2 0xx?， 122 1 0xx? ? ， 1220xx? ? ， 所以 1 2 1 212(2 2 )(2 1) 02x x x xxx ? ?，即 12( ) ( )f x f x? ， 所以 ()fx在 0, )? 上是增函数 . （ 3）解：由（ 1）和（ 2），得 ()fx在 (
17、 ,0? 上是减函数，则 00m in( ) (0 ) 2 2 2f x f ? ? ? ?. 15( 1) (1) 2 22ff? ? ? ? ?. 当 1a? 时， ()gx的值域为 log 2 2,log 5 2aa?. 当直线 (lo g 2 2 lo g 5 2 )aay t t? ? ? ? ?与函数 ( )( 1 2)y f x x? ? ? ?的图象有两个交点时 ， log 2 2 25log 5 22aa? ?，解得 125aa? ?，即 25a? . 当 01a?时， ()gx的值域为 log 5 2,log 2 2aa?，而 lo g 5 2 lo g 2 2 2aa? ? ? ?， 所以直线 (lo g 5 2 lo g 2 2 )aay t t? ? ? ? ?与函数 ( )( 1 2)y f x x? ? ? ?的图象没有交点，此时不符合题意 . 综上，所求 a 的取值范围是 25, )? .
