1、 - 1 - 唐山市 2017 2018 学年度高一年级第二学期期末考试 数学试卷 第 卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 2 | 4 3 0A x x x? ? ? ?， | 1 3B x x? ? ? ?，则（ ） A AB? B AB? C AB? D AB? 2.某校有女生 1400 人，男生 1600 人，用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60 的样本，则男生应抽取（ ） A 14 人 B 16 人 C 28 人 D 32 人 3.设 x ， y
2、满足约束条件 101010xyxyy? ? ? ? ?，则 3z x y?的最大值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 5 4.某校高一学生进行测试，随机抽取 20 名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A 86， 77 B 86， 78 C 77， 77 D 77， 78 5.已知 0ab? ， 0c? ， cM a? ， cN b? ，则 M ， N 的大小关系为（ ） A MN? B MN? C MN? D不能确定 6.等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 9 36S? ，则 37aa?（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 7.在 AB
3、C? 中， AB? ? ，则下列结论一定正确的是（ ） A sin sinAB? B sin sinAB? C sin cosAB? D cos cosAB? - 2 - 8.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知直角三角形较大锐角的正弦值为 1213 ，向大正方形区域内随机地掷一点，则该点 落在小正方形内的概率是（ ） A 25144 B 49169 C 49144 D 144169 9.执行下边的程序框图，若输出的 S 是 121，则判断框内应填写（ ） A 3?n? B 4?n? C 3?n? D 4?n? 10.数列 na 满足 1 2a? ， 11 10n
4、n n na a a a? ? ? ?，则 2018a ? （ ） A 2 B 13 C 12? D -3 11.如图是一个斜拉桥示意图的一部分， AC 与 BD 表示两条相邻的钢缆， A 、 B 与 C 、 D 分别表示 钢缆在桥梁与主塔上的铆点，两条钢缆的仰角分别为 ? 、 ? ，为了便于计算，在点 B 处测得 C 的仰角为 ? ，若 AB m? ，则 CD? （ ） - 3 - A sin sin( )cos sin( )m ? ? ? ? ?B sin sin( )sin sin( )m ? ? ? ? ?C cos sin( )cos sin( )m ? ? ? ? ?D sin s
5、in( )cos sin( )m ? ? ? ? ?12. 45 化为二进制数为 (2)101101 ； 一个总体含有 1000 个个体（编号为 0000， 0001， 0999），采用系统抽样从中抽取一个容量为 50 的样本，若第一个抽取的编号为 0008，则第六个编号为 0128； 已知 a ， b ， c 为 ABC? 三个内角 A ， B ， C 的对边，其中 3a? ， 4c? , 6A ? ，则这样的三角形有两个解 . 以上说法正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 唐山市 2017 2018 学年度高一年级第二学期期末考试 数学试卷 第 卷（非选择题，共 90 分）
6、二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填写在题中横线上） 13.鞋柜内散放着两双不同的鞋，随手取出两只，恰是同一双的概率是 14.执行下面的程序框图，若输入的 255a? ， 68b? ，则输出的 a 是 15.公差不为 0 的等差数列 na 满足 2 3a? ，且 1a ， 3a ， 7a 成等比数列，则数列11nnaa?的前 7 项和为 - 4 - 16.实数 x ， y ， z 满足 2 2 2 4 2 7 0x y z x z? ? ? ? ? ?，则 x y z?的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤 . 17.已知数列 na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ， 1 1a? ， 5 25S? ， nnba? 是等比数列，1 3b? ， 4 23b? . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）求 数列 nb 的前 10 项和 10T . 18.市政府为了节约用水，调查了 100 位居民某年的月均用水量（单位： t ），频数分布如下： 分组 0,0.5)0.5,1) 1,1.5) 1.5,2) 2,2.5) 2.5,3) 3,3.5) 3.5,4) 4,4.5 频数 4 8 15 22 25 14 6 4 2 （ 1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （
8、 2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数； （ 3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代 表） . 19. ABC? 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c ，已知 3C ? . （ 1）若 2ba? ，求角 A ； （ 2）若 1a? ， 3b? ，求边 c 上的高 h . 20.某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数 x 与再销售价格 y （单位：百万元 /台）进行统计整理 ，得到如下关系： 使用年数 2 4 6 8 10 - 5 - 再销售价格 16 13 9.5 7 5 （ 1）求 y 关于
9、x 的回归直线方程 y bx a?； （ 2）该机械每台的收购价格为 20 .0 5 1 .8 1 7 .5p x x? ? ?（百万元），根据（ 1）中所求的回归方程，预测 x 为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润 Q 最大？ 附：参考公式： 1221niiiniix y nx ybx nx?， a y bx? . 21.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 3 3nnSa? . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 32logn n nb a a ? ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 22.如图，在梯形 ABCD 中， /DC AB ， 1DA
10、CB AB? ? ?， DC AC? . （ 1）求 DC ； （ 2）平面内点 P 在 DC 的上方，且满足 3DPC ACB? ? ? ，求 DP CP? 的最大值 . - 6 - 唐山市 2017 2018 学年度高一年级第二学期期末考试 数学 参考答案 一、选择题 1-5: CDDBA 6-10: BABCB 11、 12： DC 二、填空题 13. 13 14. 17 15. 718 16. 3 三、解答题 17解： （ 1）设数列 an的公差为 d， 由 a1 1， S5 5a1 10d 25， 解得 d 2，故 an 2n 1， （ 2） 设数列 bn an的公比为 q， 由 b
11、1 a1 2， b4 a4 16，得 q3 b4 a4b1 a1 8， 解得 q 2， bn an 2n ，故 bn 2n 2n 1， 所以数列 bn 的前 10 项和为 T10 b1 b2 b10 (2 1) (22 3) (23 5) (210 19) (2 22 210) (1 3 5 19) 2(1 210)1 2 10(1 19)2 2146 18解： （ 1） 频率分布直方图 如图所示 : 4 分 - 7 - （ 2） 0.04 0.08 0.15 0.22 0.49 0.5， 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.74 0.5， 中位数应在 2， 2.5)组内，设
12、中位数为 x， 则 0.49 (x 2) 0.50 0.5， 解得 x 2.02 故 本市居民月均用水量的中位数的估计值 为 2.02 （ 3） 0.25 0.04 0.75 0.08 1.25 0.15 1.75 0.22 2.25 0.25 2.75 0.14 3.25 0.06 3.75 0.04 4.25 0.02 2.02 故 本市居民月均用水量的平均数的估计值为 2.02 19 解 ： （ 1） 由正弦定理得 sinB 2sinA， sin (A 3 ) 2sinA， sinAcos 3 cosAsin 3 2sinA， 整理得 3sinA cosA， tanA 33 ， 00，
13、t 1 52 ， 即 DC 1 52 （ 2） 由 （ 1） 知 CAD ADC BCD 2 ACD 故 5 ACD 180 ， ACD ACB 36 ， 故 DPC 3 ACB 108 在 DPC 中 ， 由余弦定理得 DC2 DP2 CP2 2DP CPcos DPC， 即 t2 DP2 CP2 2DP CPcos108 (DP CP)2 2DP CP(1 cos108 ) (DP CP)2 4DP CPcos254 4DP CP (DP CP)2， (当且仅当 DP CP 时，等号成立 ) t2 (DP CP)2(1 cos254 ) (DP CP)2 sin 254 (DP CP)2
14、cos 236 (DP CP)2 t24 (DP CP)2 4， DP CP 2 故当 DP CP 1 时， DP CP 取得最大值 2 - 10 - 月均用水量/t O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 频率 组距 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 唐山市 2017 2018 学年度高一年级第二学期期末考试 数学 参考答案及评分标准 一 选择题： A 卷： CDDBA BABCB DC B 卷： CDDBA CADCB DB 二填空题 ： 13 1 3 14 17 15 7 18 16 3 三解答题 ： 17解： （ 1）设数列 an的公差为 d， 由
15、a1 1， S5 5a1 10d 25， 解得 d 2，故 an 2n 1， 4 分 （ 2） 设数列 bn an的公比为 q， 由 b1 a1 2， b4 a4 16，得 q3 b4 a4b1 a1 8， 解得 q 2， bn an 2n ，故 bn 2n 2n 1， 8 分 所以数列 bn 的前 10 项和为 T10 b1 b2 b10 (2 1) (22 3) (23 5) (210 19) (2 22 210) (1 3 5 19) 2(1 210)1 2 10(1 19)2 2146 10 分 18 解： （ 1） 频率分布直方图 如图所示 : 4 分 （ 2） 0.04 0.08 0.15 0.22 0.490.5， 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.740.5， 中位 数应在 2， 2.5)组内，设中位数为 x， 则 0.49 (x 2) 0.50 0.5， 解得 x 2.02 故 本市居民月均用水量的中位数的估计值
