1、 - 1 - 2017-2018 学年第二学期高一期末考试数学（理科）试题 分值： 150分 时间： 120 分钟 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1若 a、 b、 c， d R，则下面四个命题中，正确的命题是 ( ) A若 ab， cb，则 ac B若 a b，则 c ab，则 ac2bc2 D若 ab， cd，则 acbd 2已知等差数列 an中， a7 a9 16， a4 1，则 a12的值是 ( ) A 15 B 30 C 31 D 64 3等比数列 an中， a2 9， a5 243，则 an的前
2、4项和为 ( ) A 81 B 120 C 168 D 192 4 已 知向量 a (1， 0， 1)， 则下列向量中与 a成 60 夹角的是 ( ) A ( 1， 1， 0) B (1， 1， 0) C (0， 1， 1) D ( 1， 0， 1) 5 如图 ， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中 ， 以 D为原点建立空间直角坐标系 ， E为 BB1的中点 ， F为A1D1的中点 ， 则下列向量中 ， 能作为平面 AEF的法向量的是 ( ) A (1， 2， 4) B ( 4, 1， 2) C (2， 2， 1) D (1， 2， 2) 6 在棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1
3、中 ， 向量 BA1与向量 AC所成的角为 ( ) A 60 B 150 - 2 - C 90 D 120 7.在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中， BAC=90 ， BC1AC ，则 C1在底面 ABC上的射影 H必在（ ） A.直线 AB上 B.直线 BC上 C.直线 AC 上 D.ABC内部 8已知直线 a， b，平面 ，则以下三个命题： 若 ab ， b? ，则 a ； 若ab ， a ，则 b ； 若 a ， b ，则 ab. 其中真命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ( ) A 4 B 6 C 8 D 12 1
4、0 5在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 sin2A2 c b2c ， 则 ABC的形状为 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 11 如图 ， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中 ， 下面结论错误的是 ( ) - 3 - A BD 平面 CB1D1 B AC1 BD C AC1 平面 CB1D1 D 向量 AD与 CB1的夹角 为 60 12 二面角的棱上有 A， B 两点 ， 直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内 ， 且都垂直于 AB.已知 AB 4， AC 6， BD 8， CD 2 17， 则该二面角的大小为
5、( ) A 150 B 45 C 60 D 120 二、填空题 (本大题共 4 小题 ， 每小题 5分 ， 共 20 分把答案填在题中横线上 ) 13若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _ 14不等式组? x y 10x y 10 ，y0表示的平面区域内到直线 y 2x 4 的距离最远的点的坐标为 _ 15.函数 xay ? 2 （ a 0， a 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 2?nymx （ mn 0）上，则 nm? 的最小值为 . 16 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中 ， 所有棱长均为 1， 则点 B1到平面 ABC1的距离为 _ 三、解答题 (本大
6、题共 6 小题 ，共 70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(12分 )已知数列 an满足 a1 1，若点 ? ?ann， an 1n 1 在直线 x y 1 0上， 求（ 1） 432 aaa 、 （ 2）求 数列 ?nan的通项公式 . - 4 - （ 3）求数列 ?11nnaa的前 n 项和 nS . 18 (12分 )在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 cos2C 14. (1)求 sinC的值； (2)当 a 2,2sinA sinC时，求 b及 c的长 19 (本小题满分 12分 )如图 ， 在直三棱柱 ABC-A1B1C1
7、中 ， AC 3， AB 5， BC 4， AA1 4， 点D 是 AB的中点 (1)求证： AC BC1； (2)求证： AC1 平面 CDB1. 20. (12分 )在数 列 an中， a1 1， an 1 2an 2n. (1)设 bn an2n 1.证明：数列 bn是等差数列； (2)求数列 an的前 n项和 21 (本小题满分 12分 )如图 ， 在 Rt ABC中 ， AB BC 4， 点 E在线段 AB上过点 E作 EF BC交 AC于点 F， 将 AEF 沿 EF折起到 PEF的位置 (点 A与 P重 合 )，使得 PEB 60 . - 5 - (1)求证： EF PB. (2
8、)试问：当点 E 在线段 AB 上移动时 ， 二面角 PFCB的平面角的余弦值是否为定值？若是 ， 求出其定值；若不是 ， 说明理由 22 (本小题满分 12 分 )如图 ， 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形 ， DE 平面 ABCD， AF DE，DE 3AF， BE 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求证： AC 平面 BDE； (2)求二面角 FBED的余弦值； (3)设点 M是线段 BD上一个动点 ， 试确定点 M的位置 ， 使得 AM 平面 BEF， 并证明你的结论 - 6 - 2017-2018 学年第二学期高一期末考试数学（理科）试题 数学答案 一、 BABB
9、B DAAAB DC 13、 27? 14、（ -1， 0） 15、223?16、217 . 17.解： 由已知，011,1 11 ? ?nanaa nn? ? nana nn 1)1(1得解得： 16,9,4432 ? aaa3分 为首项的等差数列。为公差，以是以可知，由 11111 11 ? ananana nnn4分 nnannann?即,1)1(16分 由 知，2nan?7分 221 )1( ? ? nnaa nn8分 )1(1 ? ? nnaa nn9分 ? ? 111111 1 ? ? nnnnaa nn10分 11111113121211 ? n nnnnS n ?11分 .1即
10、为所求? n nS n12分 - 7 - 18、解： 85s in,41s in21412c o s 22 ? CCC ，?2 分 410s in),0( ? CC ?4分 ,sinsin2 CA ? 2,222 ? aRcRa 又4?c 6分 caAC ? ，且又 410s in2s inCAA ? ，810sin863cos ? A8分 又 Abccba cos2222 ? 9 分 8 634242 222 ? bb662012632?bbbb或解得11 分 .4,662 ，即为所求或 ? cbb 12 分 19.证明：因为直三棱柱 ABC-A1B1C1底面三边长 AC 3， BC 4，
11、AB 5， 所以 AC， BC， C1C两两垂直 - 8 - 如图 ， 以 C 为坐标原点 ， 直线 CA， CB， CC1分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 建立空间直角坐标系 ， 则 C(0， 0， 0)， A(3， 0， 0)， C1(0， 0， 4)， B(0， 4， 0)， B1(0， 4， 4)， D? ?32， 2， 0 . (1)因为 AC ( 3， 0， 0)， BC1 (0， 4， 4)， 所以 AC BC1 0， 所以 AC BC1. 6 分 (2)因为 CB1与 C1B 的交点为 E， 所以 E(0， 2， 2) 因为 DE ? ? 32， 0， 2 ， AC1
12、 ( 3， 0， 4)， 所以 DE 12AC1， 所以 DE AC1. 因为 DE?平面 CDB1， AC1?平面 CDB1， 所以 AC1 平面 CDB1. 12 分 20解： 由已知：nnnnnn aaab 22,2 11 ? ?1分 1221)22122 1111 ? ? nnnnnn nnnnn aaaabb （3分 又 12011 ?ab4分 ? ? .11 为首项的等差数列为公差，以是以nb? 6分 - 9 - 由 知： nbn?7分 11 2,2 ? ? nnn n nana 即8分 ? ? nnn aaaSna ? ?21项和为：的前 12210 221232221 ? ?
13、nn nn ）（? nnn nnS 22)1(2322212 1321 ? ?10 分 nnnn nSS 2)2222(12 1321 ? ?nn nS 2)1(1- ?11 分 nn nS 2)1(1 ?12分 21.(1)证明：因为 DE 平面 ABCD， 所以 DE AC， 因为四边形 ABCD是正方形 ， 所以 AC BD， 又 DE BD D， 所以 AC 平面 BDE. 3分 (2)解：因为 DE 平面 ABCD， 所以 EBD 就是 BE 与平面 ABCD所成的角 ， 即 EBD 60 ， 所以 EDBD 3. 由 AD 3， 得 DE 3 6， AF 6. 如图 ， 分别以 D
14、A， DC， DE所在直线为 x轴 ， y 轴 ， z轴建立空间直角坐标系 ， 则 A(3， 0，0)， F(3， 0， 6)， E(0， 0， 3 6)， B(3， 3， 0)， C(0， 3， 0)， 所以 BF (0， 3， 6)， EF (3， 0， 2 6) - 10 - 设平面 BEF 的一个法向量为 n (x， y， z)， 则?n BF 0，n EF 0，即 ? 3y 6z 0，3x 2 6z 0.令 z 6， 则 n (4， 2， 6) 因为 AC 平 面 BDE， 6分 所以 CA (3， 3， 0)为平面 BDE的一个法向量 ， 所以 cos n， CA n CA|n|CA| 626 3 2 1313 . 故二面角 FBED的余弦值为 1313 . 8 分 (3)解：依题意 ， 设 M(t， t， 0)(t 0)， 则 AM (t 3， t， 0)， 因为 AM 平面 BEF， 所以 AM n 0， 即 4(t 3) 2t 0， 解得 t 2. 所以点 M 的坐标为 (2， 2， 0)，此时 DM 23DB， 所以点 M 是线段 BD 上 靠近点 B的三等分点 12分 22.(1)证明：在 Rt ABC中 ， 因为 EF BC， 所以 EF AB， 所以 EF EB， EF EP，
