1、 - 1 - 2016/2017 学年度第二学期高一年级期终考试 数 学 试 题 注意事项： 1本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 参考公式： 锥 体体积公式： 13V Sh? ，其中 S 为底面积， h 为高 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 函数 ( ) 2 sin(2 )3f x x ?的最小正周期为 2 已知直线 l 过定点 (1,0) ， 且 倾斜角
2、为 3? ，则直线 l 的 一般式 方程 为 3 若 2sin( )23?，则 cos2? 4 在 Rt ABC? 中， 2A? ， 4AB? ， 3AC? ，则 CACB? 5 设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 首项 1 3a? ， 公差 2d? ， 5kS? ，则正整数 k = 6 设 a 、 b 表示 两条 直线， ? 、 ? 表示 两个 平面，则下列命题正确的 是 （填写所有正确命题的序号） 若 a /b ， a /? ，则 b /? ； 若 a /b ， a ? ， b ? ，则 ? ； 若 ? /? ， a ? ，则 a ? ； 若 ? ， ab? ， a ? ，则
3、 b ? 7 已知 正项 等比数列 ?na ，且 1 5 3 5 3 72 25a a a a a a? ? ?，则 35aa? 8 若圆锥的侧面展开图是半径为 5 、圆心角为 65? 的扇形，则该圆锥的体积为 9 已知向量 a 是与向量 b ( 3,4)同 向的单位向量，则向量 a的坐标是 10已知 函数 3cos(2 )yx?是奇函数， 则 |? 的最小值为 - 2 - 11 在平面直角坐标系 xOy 中，以点（ 1,0）为圆心且与直线 2 4 1 0mx y m? ? ? ?()mR? 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 12 已知数列 ?na 满足 112 2, 2 11, 2n
4、nna n ka a n k? ? ? ? ? （ *kN? ），若 1 1a? ，则 20S? 13 如图，点 P 是正六边形 ABCDEF 的边上的一个动点，设 AP x AB y AE?，则 xy? 的最大值为 14 在 锐角 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 22a b bc?，则 ab 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14分） 如图，已知平行四边形 ABCD 中， BC 6，正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直，
5、G、 H分别是 DF、 BE的中点 （ 1） 求证： GH 平面 CDE； （ 2） 若 CD 2， DB 4 2 ，求四棱锥 F ABCD 的体积 16（本小题满分 14分） 已知向量 2x ka b?和 y a b? ，其中 ( 1,2)a? ， (4,2)b? ， kR? （ 1）当 k 为何值时， 有 x y ； （ 2）若向量 x 与 y 的夹角为钝角，求实数 k 的取值范围 F A B C E D H G A B C D E F （第 13题图） - 3 - 17（本小题满分 14分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 点 P 是圆 O ： 221xy?与 x 轴正半轴的交点，
6、 半径OA 在 x 轴 的上方，现将半径 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3? 得到半径 OB设POA x?(0 x ? )， ( ) ( )f x O A O B O P? ? ? （ 1）若 2x ? ，求点 B 的坐标； （ 2）求函数 ()fx的最 小 值，并求此时 x 的值 18（本小题满分 16分） 如图， OA 、 OB 是两条公路 （近似看成两条直线） ， 3AOB ?，在 AOB? 内有一 纪念塔 P （大小忽略不计） ，已知 P 到 直线 OA 、 OB 的距离 分别为 PD 、 PE ， PD =6千米 ，PE =12千米现经过 纪念塔 P 修建一条 直线型 小路， 与 两
7、条公路 OA 、 OB 分别 交于 点 M 、N （ 1）求 纪念塔 P 到两条公路交点 O 处的距离； （ 2）若 纪念塔 P 为小路 MN 的中点，求小路 MN 的 长 O A B x y P P O A B DD E - 4 - 19（本小题满分 16分） 设无穷等差数列 na 的 前 n 项和为 nS ，已知 1 1a? ， 3 12S? （ 1）求 24a 与 7S 的值； （ 2） 已知 m 、 n 均为正整数，满足 mnaS? .试求所有 n 的值构成的集合 20 （本小题满分 16分） 如图，已知动直线 l 过点 1(0, )2P ，且 与圆 22:1O x y?交 于 A 、
8、 B 两点 （ 1）若直线 l 的斜率为 3 ，求 OAB? 的面积； （ 2）若直线 l 的斜率为 0 ， 点 C 是圆 O 上 任意 一点， 求 22CA CB? 的取值范围； （ 3）是否存在一 个 定点 Q （不同于点 P ） ，对于任意 不与 y 轴重合的 直线 l ，都有 PQ 平分 AQB? ，若存在 ， 求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2016/2017学年度第二学期高一年级期终考试 高一数学参考答案 一、填空题：每小题 5 分，共计 70分 . O A B x y P - 5 - 1、 ? 2、 3 3 0xy? ? ? 3、 19? 4、 9 5、 5 6、 7
9、、 5 8、 12? 9、 34( , )55? 10、 2? 11、 22( 1) 2xy? ? ? 12、 2056 13、 2 14、 ( 2, 3) 二、解答题：本大题共 6小题 ,共计 90分 . 15. 解： (1)证明：连接 FC， EF AD， AD BC， EF BC 又 EF AD BC， 四边形 EFBC是平行四边形， 2分 又 H为 BE的中点 H为 FC的中点 又 G是 FD 的中点， HG CD 4分 HG?平面 CDE， CD?平面 CDE， GH平面 CDE 6分 (2)平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD， 且 FA AD，又 FA?平面 ADEF FA
10、平面 ABCD 8分 AD BC 6， FA AD 6 又 CD 2， DB 4 2， CD2 DB2 BC2， BD CD 10分 S ABCD CDBD 8 2， VF ABCD 13S ABCDFA 138 26 16 2 14分 16.解：（ 1）由 /xy，设 x ty? ， 所以 2 ( )k a b t a b? ? ? ，即 ( ) (2 )t k a t b? ? ? ， 2分 又 ( 1,2)a? ， (4,2)b? ，得 a 与 b 不共线， 4分 所以 20t k t? ? ? ? ，解得 2k? . . 6分 （ 2）因 向量 x 与 y 的夹角为钝角 ， 所以 (
11、2 ) ( ) 0x y k a b a b? ? ? ? ? ?， 8分 又 ( 1,2)a? ， (4,2)b? ，得 0ab? ， 10分 所以 222 5 4 0 0x y k a b k? ? ? ? ? ?，即 8k? ， 12 分 又 向量 x 与 y 不共线，由（ 1）知 2k? ， - 6 - 所以 8k? 且 2k? . 14分 17.解：（ 1）因 点 P 是圆 O ： 221xy?与 x 轴正半轴的交点 ， 又 2x ? ， 且半径 OA绕原点 O逆时针旋转 3? 得到半径 OB， 所以 56POB ?， 3分 由三角函数的定义，得 5cos16Bx ? ， 5sin1
12、6By ? ， 解得 32Bx ?， 12By ?，所以 31( , )22B? . 6分 （ 2）依题意， (1,0)OP? ， (cos ,sin )OA x x? ， (c o s( ), sin ( )33O B x x? ? ?， 8分 所以 33( ) c o s ( ) c o s c o s s i n3 2 2f x x x x x? ? ? ? ?， 所以 31( ) 3 ( c o s s i n ) 3 s i n ( )2 2 3f x x x x ? ? ? ? ?， 12 分 因 0 x ? ， 23 3 3x? ? ? ? ? ? ， 所以当 32x ?时，即
13、56x ? ，函数 ()fx取 最 小 值 3? . 14分 18.解法一：（ 1）以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系， 则直线 OB 的方程为 3yx? ， 2分 又 P 到 直线 OA 的距离 PD =6千米 ，设 (,6)Pt ， 4分 所以 36122t? ? ，解得 10 3t? 或 63? （舍负），所以 22(1 0 3 ) 6 4 2 1OP ? ? ?. 7分 （ 2）因 P 为小路 MN 的中点 ，点 M 在 x 轴上，即 0My ? ，所以 12Ny ? ， 9分 又点 N 在 OB 上，所以 3NNyx? ，所以 43Nx ? ， 10 分 由（
14、 1）知 (10 3,6)P ，所以 16 3Mx ? ， 22(1 6 3 4 3 ) (1 2 0 ) 2 4MN ? ? ? ? ?. 14分 答： （ 1） P 到点 O 处的距离 为 421 千米 ；（ 2）小路 MN 的 长 为 24千米 . 16 分 解法二：（ 1）设 POA ?，则 3POB ? ? ? ? ， 2分 因 P 到 直线 OA 、 OB 的距离 分别为 PD 、 PE ， PD =6千米 ， PE =12千米 ， 所以 6 1 2sin sin ( )3OP ? ? ?， 4分 - 7 - 所以 2sin sin( )3?，化简得 3tan 5? ， 又 22s
15、in cos 1?，所以 3sin27?， 6 4 21sinOP ?. 7分 （ 2）设 PMO ?，则 23PMN ? ? ? ? ， 9分 因 P 为小路 MN 的中点 ，即 PM PN? ， 所以 6 122sin sin( )3? ? ?，即 2sin( ) 2 sin3? ? ， 12 分 解得 6? ，所以 122 2 4sin 6M N P M ? ? ?. 14分 答： （ 1） P 到点 O 处的距离 为 421 千米 ；（ 2）小路 MN 的 长 为 24千米 . 16 分 19. 解： （ 1） 因 数列 na 是等差数列， 所以 323 12Sa?，所以 2 4a? ，
