1、 1 2018 年春期四川省宜宾县二中高一年级期末模拟考试 数学试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 ? 是第四象限角，则下列结论正确的是 A sin 0? B cos 0? C tan 0? D sin tan 0? 2.已知集合 016| 2 ? xZxA ， 034| 2 ? xxxB ，则 ?BA? A 14| ? xx 或 43 ?x B 4,3,0,1,2,3,4 ? C. 1| ?xx 或 43 ?x D 0,1,2,3 ? 3要得到函数 sin2yx? 的图象
2、，只需将函数 sin(2 )2yx?的图象上的所有点沿 x 轴 A向右平移 4? 个单位长度 B向右平移 2? 个单位长度 C向左平移 4? 个单位长 度 D向左平移 2? 个单位长度 4.下图是某几何体的三视图，则此几何体可由下列哪两种几何体组合而成 A两个长方体 B两个圆柱 C一个长方体和一个圆柱 D 一个球和一个长方体 5.若角 ? 的终边与单位圆的交点为 34( , )55P ? ，则 tan( )4? A. 7? B. 17? C.7 D. 17 6.在 ABC? 中，已知 2 sin cos sinA B C? ， 那么 ABC? 一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C.等腰
3、直角三角形 D正三角形 7已知 11122xy? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则下列不等关系一定 成立的是（ ） 2 A 22xy? B 22log logxy? C 33xy? D cos cosxy? 8.在ABC?中，,1,4,6 ? aBA ?则b等于 A.1 B.2C.3D.29.设等差数列 na 满足 2 7a? ， 4 3a? ， nS 是数列 na 的前 n 项和，则使得 nS 取得最大值的自然数 n 是 A 5 B 6 C.7 D 8 10.已知 | | 2a? ， (2 )a b a?，则 b 在 a 方向上的投影为 A 4 B -2 C. 2 D 4? 11.如图
4、所示，用一边长为 2的正方形硬纸 ， 按各边中点垂直折起四个小三角形 ， 做成一个蛋巢 ， 将表面积为 4 的鸡蛋 (视为球体 )放入其中 ， 蛋巢形状保持不变 ， 则鸡蛋中心 (球心 )与蛋巢底面的距离为 A. 22 12 B. 62 12 C.32 D. 32 12 12已知偶函数 ?fx满足 ? ? ? ?f x f x? ，当 ,02x ?时， ? ? 2 cosxf x x? ，则函数 ?fx在区间 ? ?,? 内的零点个数为 A 8 B 7 C 6 D 5 第 卷（共 90 分） 二 .填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. ? )12cos()12si
5、n( ? . 14.若 tan 5? ，则 sin2? . 3 15已知三棱锥 ABCO? 中， 侧棱 OCOBOA , 两两互相垂直，且 2,6 ? OCOBOA ；则 三棱锥 ABCO? 中的外接球的体积为 . . 16.设函数 2 1()2exf x x? ?，则使 (2 ) (4 )f x f x?成立的 x 的取值范围是 . 三 解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .本大题共 70 分） 17.(本小题满分 10 分） 已知?为第三象限角，?为第四象限角，,32sin ? 43cos?，求?2cos，)sin( ?的值 . 19. (本小题满分 12 分） 在锐角ABC
6、?中，角CBA ,的对边分别为cba,，且.3sin2 bBa ?（ 1） 求角 的大小； （ 2） 若,8,6 ? cba求ABC?的面积 . 19 (本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 2223f x x ax a? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时，求不等式 ? ? 5fx? 的解集； （ 2）若 ? ?sin 0fx? 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围 . 4 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 s in ( ) ( 0 , )2f x x ? ? ? ? ? ? ?的图像与直线 2y? 两相邻交点之间的距离为 ? ，且 图像 关于 3x ?
7、对称 . （ 1） 求 ()y f x? 的解析式 ； （ 2） 先 将函数 ()fx的图象向 左 平移 6? 个单位 ，再将图像上 所有横坐标伸长到原来的 2倍 ， 得到函数 ()gx的图象 .求 ()gx的单调递增区间以及 ( ) 3gx? 的 x 取值范围 . 21（本小题满分 12 分） 如图 ， 三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直 ， PD PC 4， AB 6， BC 3.点 E 是 CD 边的中点 ， 点 F， G 分别在线段 AB， BC 上 ， 且 AF 2FB， CG 2GB. (1)证明： PEFG ； (2)求二面角 PADC 的正切 值； (
8、3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 ?na 和 ?nb 满足： 110ab?， 231 2 32 2 2a a a? ? ?L 22n na n n? ? ? ，1 1 12nnbb? ?，其中 *Nn? . 5 （ 1）求数列 ?na 和 ?nb 的通项公式； （ 2）记数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，问是否存在正整数 m ，使得 3mmSb? 成立？若存在，求 m 的最小值；若不存在，请说明理由 . 6 2018 年春期四川省宜宾县二中高一年级期末模拟考试 数学试题答案 一选择题 1-5： DDCCB 6-10： BCBAA 1
9、1-12： DB 二填空题 13. 26 14. 35 15. ?332 16 4 4, 3? 17.解： (1)919421sin212cos 2 ? ?. (2)是第三象限角且 ?,32sin ? 35941cos ? ?为第四象限角且 ? ,43cos ? 47169 ? ? ? sincoscossinsin ?. ? ? ? 32433547123521?. 18.解：由正弦定理BbAa sinsin ?以及bBa 3sin2 ?得23sinA因为A为锐角，所以3?A. (2)由余弦定理Abccba cos2222 ?，得.328,8.3622 ? bccbbccb 所以又由三角形面
10、积公式AbcS sin21?得337?ABCS19解：（ 1）当 1a? 时， ? ? 5fx? 即为 2 2 3 5xx? ? ? ? ? 变形整理得： 2 2 8 0xx? ? ? 方程 2 2 8 0xx? ? ? 的两根为 4x? 与 2x? 7 又二次函数 ?fx的图象开口向下 4x? ，或 2x? 不等式 ? ? 5fx? 的解集为 ? ? ? ?, 4 2,? ? ?U . （ 2）令 sintx? ，则当 Rx? 时， ? ?sin 1,1tx? ? ? 于是“ ? ?sin 0fx? 对任意实数 x 都成立”转化为：“ ? ? 23f t a? 对任意实数 ? ?1,1t?
11、都成立” ? ?min 0ft ? ， ? ?1,1t? 由二次函数的性质知，关于 t 的二次函数 ? ? 2223f t t at a? ? ? ?在 ? ?1,1? 上的最小值为? ? ? ? ? ? ?m in m in 1 , 1f t f f? ? ? ? 221 1 2 3 0 ,1 1 2 3 0 .f a af a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解得： 13a? ，或 1a? ;解得： 1a? ，或 13a? 实数 a 的取值范围为 ? ? ? ?, 1 1,? ? ?U . 20. 解： 解析 （ 1）由已知可得 T ? ,2? ? ， 2? 又 ()fx的图象
12、关于 3x ? 对称， 2 32k? ? ? ?， 6k ?， kZ? 22? ? ? ， 6? .所以， ( ) 2 sin(2 )6f x x ? （ 2）由（ 1）可得 ( ) 2 sin(2 )6f x x ?， ( ) 2 sin( )6g x x ?， 由 222 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?得 ， 22233k x k? ? ? ?， ()gx的单调递增区间为 22 , 2 33kk?， kZ? . 2sin( ) 36x ?， 3sin( )62x ?， 2223 6 3k x k? ? ? ? ? ? ?， 2 2 ,62x k x k k? ? ? ? ? Z
13、， . 8 21.解 :(1)证明：因为 PD PC， 点 E 为 DC 中点 ， 所以 PEDC. 又因为平面 PDC 平面 ABCD， 交线为 DC， 所以 PE 平面 ABCD， 又 FG?平面 ABCD， 所以 PEFG. (2)由 (1)可知 ， PE AD. 因为四边形 ABCD 为长方形 ， 所以 ADDC. 又因为 PEDC E， 所以 AD 平面 PDC. 而 PD? 平面 PDC， 所以 ADPD. 由二面角 的平面角的定义，可知 PDC 为二面角 PADC 的一个平面角 在 Rt PDE 中 ， PE PD2 DE2 7， 所以 tan PDC PEDE 73 . 所以二
14、面角 PADC 的正切值为 73 . (3)如图 ， 连接 AC.因为 FBAB BGBC 13， 所 以 FGAC. 易求得 AC 3 5， PA PD2 DA2 5. 所以直线 PA 与直线 FG 所成角等于直线 PA 与直线 AC 所成角 ， 即 PAC. 在 PAC 中 ， cos PAC PA2 AC2 PC22PA AC 9 525 . 所以直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 9 525 . 22解：（ 1）由 231 2 32 2 2a a a? ? ?L 22n na n n? ? ? （ *Nn? ） 得：当 1n? 时， 122a? ，故 1 1a? 当 2n 时，
15、 231 2 32 2 2a a a? ? ?L ? ? ? ?21 12 1 1n na n n? ? ? ? ? ? 得： 22n nan? （ 2n ） 12n nna ?又上式对 1n? 也成立 12n nna ?由1 1 12nnbb? ?变形得： ? ?1 1222nnbb? ? ? ?由 110ab?， 1 1a? 得： 1 2 1 2 3b ? ? ? ? ? ? 132 2n nb ? ?，故132 2n nb ?（ 2）由（ 1）知：21231 2 2 2n nnS ? ? ? ? ?L 9 211 1 2 12 2 2 2 2n nnnnS ? ? ? ? ?L 得：21
16、1 1 1 112 2 2 2 2n nnnS ? ? ? ? ? ?L1122 21 2212nnn? ? ? ? ? 244 2n nnS ?假设存在正整数 m ，使得 3mmSb? ，即： 2 4 184622mmm ? ? ?化简得： 2 7 0m m? ? ? 由指数函数与一次函数的单调性知， ? ? 27mf m m? ? ?是关于 m 的增函数 又 ? ? 22 2 2 7 1 0f ? ? ? ? ? ?， ? ? 33 2 3 7 4 0f ? ? ? ? ? 当 3m 时，恒有 ? ? 2 7 0mf m m? ? ? ? 存在正整数 m ，使得 3mmSb? 成立，且 m 的最小值为 3.
