1、 - 1 - 上学期高二数学 12月月考试题 06 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1, 有一个容量为 200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间?10,12?内的频数为 （ ） A.18 B.36 C.54 D.72 2 某程序框图所示，若输出的 S=57，则判断框内为 （ ） A k4? B k5? Ck6? D k7? 3 设 na 为等差数列，公差 d = -2， nS 为其前 n项和 .若 10 11SS? ，则 1a =（ ） A 18 B 20 C 22 D 24 4 设 l 是直线， a，是两个不同的平面 ,则下列说法正确
2、的是（ ） A.若 l a,l，则 a B.若 l a， l，则 a C.若 a ,l a,则 l D.若 a , l/a,则 l 5 设不等式组 02xy? ?，表示平面区域为 D，在区域 D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是（ ） A4? B 22? C6? D44? 6 已知圆 22: 4 0C x y x? ? ?， l 过点 (3,0)P 的直线，则（ ） Al 与 C 相交 B l 与 C 相切 Cl 与 C 相离 D. 以上三个选项均有可能 7 从装有 3个红球、 2个白球的袋中任取 3个球，则所取的 3个球中至少有 1个白球的概率是（ ） A110 B310
3、 C35 D910 8 设 O为坐标原点， 1F ,2F 是双曲线 22xy1ab?（ a 0， b 0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足 1F P 2F =60， OP = 7a ,则该双曲线的渐近线方程为（ ） （ A） x 3 y=0 （ B） 3 x y=0 （ C） x 2y =0 （ D） 2x y=0 9 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱线长为 1，线段 11BD上有两个动点 E， F，且 12EF? ，- 2 - 则下列结论中错误的是 （ ） （ A） AC BE? （ B） /EF ABCD平 面 （ C）三棱锥 A BEF? 的体积为定值 （
4、D） A E F B E F?的 面 积 与 的 面 积 相 等 10 若点 O 和点 F 分别为 椭圆 22143?的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OPFP 的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 二、填空题（每小题 5 分，共 35 分） 13 过原点 O 作圆 x2+y2- 6x 8y 20=0 的两条切线，设切点分别为 P、 Q，则线段 PQ 的长- 3 - 为 。 14 已知双曲线 22 1( 0 b 0 )xy aab? ， 和椭圆 22xy=116 9? 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 . 15已知某几何体的三视图如图所
5、示，则该几何体的体积为 _. 16 等比数列 an的前 n项和为 Sn，公比不为 1。若 a1=1，且对任意的 都 有 an 2 an 1-2an=0，则 S5=_。 17 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 b（ b a）以及常数 x（ 0 x 1）确定实际销售价格 c=a+x（ b-a），这里， x被称为乐观系数。经验表明，最佳乐观系数 x恰好使得（ c-a）是（ b-c）和（ b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数 x的值等于 _ 三、解答题：本大题共 5小题，共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题
6、满分 12 分）已知函数 2( ) sin 2 2 sinf x x x? （ I）求函数 ()fx的最小正周期。 (II) 求函数 ()fx的最大值及 ()fx取最大值时 x的集合。 19本小题满分 12分） 如图，四边形 ABCD为正方形， QA平面 ABCD， PD QA， QA=AB=12 PD。 （ I）证明： PQ平面 DCQ； （ II）求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值 - 4 - （ ）估计该校男生的人数； （ ）估计该校学生身高在 170185cm之间的概率； （ ）从样本中身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在
7、185190cm之间的概率。 21（本小题满分 14 分） 已知公差不为 0的等差数列 na 的首项为 )( Raa ? ，且11a ，21a ，41a成等比数列 （ ） 求数列 na 的通项公式 ； （ ） 对 *Nn? ，试比较2322 221 1 1 1.na a a a? ? ? ?与 11a 的大小 22（本小题满分 14分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2:13xCy?.如图所示，斜率为 ( 0)kk 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 E ，射线 OE 交椭圆 C 于点 G ，交直线 3x? 于点 ( 3, )Dm? .
8、- 5 - 参考答案 15. 12? 16. 11 17. 152? 18 19解：（ I）由条件知 PDAQ 为直角梯形 - 6 - 因为 QA 平面 ABCD，所以平面 PDAQ 平面 ABCD，交线为 AD. 又四边形 ABCD为正方形， DCAD ，所以 DC 平面 PDAQ，可得 PQDC. 在直角梯形 PDAQ中可得 DQ=PQ= 22 PD，则 PQQD 所以 PQ 平面 DCQ. ?6 分 （ II）设 AB=a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD的高，所以棱锥 Q ABCD的体积 31 1 .3Va?由（ I）知 PQ为棱锥 P DCQ的高，而 PQ= 2a ， DCQ
9、的面积为 222a ， 所以棱锥 P DCQ的体积为 32 1 .3Va?故棱锥 Q ABCD的体积与棱锥 P DCQ的体积的 比值为 1.?12 分 20解 （ 1）样本中男生人数为 40 ，由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。（ 3分） （ 2）有统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在 170185cm之间的频率 故有 f估计该校学生身高在 170180cm之间的概率 （ 8分） （ 3）样本中身高在 180185cm之间的男生有 4人，设其编号为 样本中身高在 185190cm 之间
10、的男生有 2人，设其编号为 故从样本中身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15，求至少有 1 人身高在 185190cm之间的可能结果数为 9，因此，所求概率 （ 13分） 21（）解：设等差数列 na 的公差为 d ，由题意可知 22 1 41 1 1()a a a? 即 21 1 1( ) ( 3 )a d a a d? ? ?，从而 21ad d? 因为 10, .d d a a? ? ?所 以 故通项公式 .na na? （ 5分） - 7 - （）解：记2 22 221 1 1 ,2nnnnT a aa a a? ? ? ? ?因 为（ 7分） 所以
11、211(1 ( ) )1 1 1 1 1 1 122( ) 1 ( ) 122 12nnn nT a a a? ? ? ? ? ? ? ?从而，当 0a? 时，11nT a? ；当110 , .naTa?时 （ 14分） 22（ I）解：（ 1）当直线 l 的斜率不存在时， P， Q两点关于 x轴对称， 所以 2 1 2 1,.x x y y? ? 因为 11( , )Px y 在椭圆上，因此 2211132xy? 又因为 6,2OPQS? ?所以11 6| | | | .2xy? 由、得116| | ,| | 1.2xy?此时 2 2 2 21 2 1 23, 2,x x y y? ? ?
12、?（ 4分） （ 2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ,y kx m? 由题意知 m 0? ，将其代入 22132xy?，得 2 2 2( 2 3 ) 6 3 ( 2 ) 0k x km x m? ? ? ? ?， 其中 2 2 2 23 6 1 2 ( 2 3 ) ( 2 ) 0 ,k m k m? ? ? ? ? ? 即 2232km? ?（ *） 又 21 2 1 2226 3 ( 2 ),2 3 2 3k m mx x x xkk ? ? ? ?所以 222 2 21 2 1 2 22 6 3 2| | 1 ( ) 4 1 ,23kmP Q k x x x x k k?
13、 ? ? ? ? ? ? ? ?因为点 O到直线 l 的距离为2|1,md k? ? - 8 - 又 6,2OPQS? ?整理得 223 2 2 ,km? 且 符 合 （ * ）式，此时22 2 2 21 2 1 2 1 2 226 3 ( 2 )( ) 2 ( ) 2 3 ,2 3 2 3k m mx x x x x x kk ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2( 3 ) ( 3 ) 4 ( ) 2 .3 3 3y y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 综上 所述， 2 2 2 21 2 1 23; 2,x x y y?
14、? ? ?结论成立。 （ 9分） （ II）解法一： （ 1）当直线 l 的斜率存在时，由（ I）知116| | | | , | | 2 | | 2 ,2O M x P Q y? ? ? ?因此 6| | | | 2 6 .2O M P Q? ? ? ? 所以 22221 1 1| | | | ( 3 ) 2 ( 2 )2O M P Q mm? ? ? ? ? ? ?2222 211(3 )( 2 )113225( ) .24mmmm? ? ? ? ?所以 5| | | | 2OM PQ?，当且仅当22113 2 , 2mmm? ? ? ? ?即时，等号成立 . - 9 - 综合（ 1）（ 2
15、）得 |OM| |PQ|的最大值为 5.2 解法二：因为 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 14 | | | | ( ) ( ) ( ) ( )O M P Q x x y y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 2 1 22( ) ( )10. x x y y? ? ? ?所以 224 | | | | 1 02 | | | | 5 .25O M P QO M P Q ? ? ? ? 即 5| | | | ,2OM PQ?当且仅当 2 | | | | 5OM PQ?时等号成立。 因此 |OM| |PQ|的最大值为 5.2 （ III）椭圆 C上不存在三点 D， E， G，使得 6 .2O D E O D G O E GS S S? ? ? ? ?证明：假设存在1 1 2 2 6( , ) , ( , ) , ( , ) 2O D E O D G O E GD u v E x y G x y S S S? ? ? ? ?满 足， 由-温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 - 10 - 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
