1、 2010-2020 全国全国卷卷选择填空选择填空（理（理科）科）-三角函数三角函数与解三角形与解三角形 【知识点1】 同角三角函数基本关系式与诱导公式 【知识点2】 三角函数的图象与性质 【知识点3】 三角函数图象平移与变换 【知识点4】 三角函数的值域 【知识点5】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式 【知识点6】 正弦定理与余弦定理 【三角函数相关公式】 1. （2010 全国，理 09/12） 函数若 4 cos 5 = ，是第三象限角，则 1tan 2 1tan 2 + = A 1 2 B 1 2 C2 D2 【答案】A 【解析】 4 cos 5 = 且 是第三
2、象限角 3 sin= 5 2 cossin 22 1tancoscossin 2222 1tancossincossin 22222 cos 2 cossin 1 sin122 cos2 cossincossin 2222 + + = + + = + 2. （2015 全国 1，理 02/12） sin20 cos10cos160 sin10= A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】D 【解析】 1 sin20 cos10cos160 sin10sin20 cos10cos20 sin10sin30 2 =+= 3. （2016 全国 2，理 09/12) 1 若 3 cos
3、() 45 =，则sin2= A 7 25 B 1 5 C 1 5 D 7 25 【答案】D 【解析】 2 7 sin2cos2()2cos ()1 4425 4. （2013 全国 2，理 15/16） 设为第二象限角，若 1 tan 42 += ，则sincos+= 【答案】 10 5 【解析 1】 1tan111 tantan 421tan23 + += ，因为为第二象限角， 所以 1 sin 10 = ， 3 cos 10 = ， 210 sincos 510 += = 【解析 2】 sin 1 1tan1sincos1 cos tan sin 421tancossin2 1 cos
4、+ + += 所以2(sincos )cossin+=， 又因为为第二象限角，所以cossin0，即 2(sincos )cossin0+= ，所以 4 +在第三象限， 所以sin()0 4 +，cos0， cos2sin=， 22222 sincossin(2sin)5sin1+=+=， 解得： 5 sin 5 =故选：B 10. （2020 全国 1，理 09/12） 已知(0, )，且3cos28cos5=，则sin(= ) A 5 3 B 2 3 C 1 3 D 5 9 【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数 【答案】A 【解析】由3cos28cos5=，得 2 3(2co
5、s1)8cos50=， 即 2 3cos4cos40=，解得cos2=（舍去） ，或 2 cos 3 = (0, )，( 2 ，)， 则 22 25 sin11() 33 cos= = 故选：A 11. （2020 全国 2，理 02/12） 4 若为第四象限角，则( ) Acos20 Bcos20 Dsin20 【考点】二倍角的三角函数 【答案】D 【解析】为第四象限角， 则22 2 kk +，kZ， 则424kk+， 2是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角， sin20 的最小正周期为，且()( )fxf x=，则 A( )f x在0, 2 单调递减 B( )f x在 3 , 44 单调
6、递减 C( )f x在0, 2 单调递增 5 D( )f x在 3 , 44 单调递增 【答案】A 【解析】( )2sin 4 f xx =+ ， 又因为( )f x的最小正周期为，所以 2 =，即2= 又()( )fxf x=，故( )f x是偶函数，即 42 k +=+，() 4 kk =+Z 因为 2 +，故排除 A,C,D 选项,选 B 17. （2015 全国 1，理 08/12） 函数( )()cosf xx=+的部分图像如图所示，则( )f x的单调递减区间为 A 13 , 44 kk + ，kZ B 13 2,2 44 kk + ，kZ C 13 , 44 kk + ，kZ D
7、 13 2,2 44 kk + ，kZ 【答案】D 18. （2016 全国 2，理 07/12) 若将函数2sin2yx=的图像向左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A() 26 k xkZ = B() 26 k xkZ =+ C() 212 k xkZ = D() 212 k xkZ =+ 【答案】B 【解析】将函数2sin2yx=的图像向左平移 12 个单位长度的到2sin2()2sin(2) 126 yxx =+=+ 的图 1 5 4 1 4 O y x 像，令2, 62 xkkZ +=+ 则() 26 k xkZ =+ 故选 B 19. （2016 全国 1，理 12/
8、12) 已知函数 ( )sin()(0), 24 f xx+x， = 为( )f x的零点， 4 x =为( )yf x=图像的对称轴， 且( )f x在 5 () 18 36 ，单调，则的最大值为 A11 B9 C7 D5 【答案】B 【解析】因为 4 x = 为( )f x的零点， 4 x =为( )yf x=图像的对称轴， 所以() 4442 TkT =+，即 2121 2 244 kk T + =， 所以21k=+（ * kN） ，又因为( )f x在 5 () 18 36 ，单调， 所以 52 36181222 T =，即12， 当5k =时，11=， 4 = ，( )f x在 5
9、() 18 36 ，不单调； 当4k =时，9=， 4 =，( )f x在 5 () 18 36 ，单调，满足题意，故的最大值为 9 20. （2017 全国 1，理 09/12) 已知曲线 1 cosCyx=：， 2 2 sin 2 3 Cyx =+ ：，则下面结正确的是 A把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到 曲线 2 C B把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 到曲线 2 C C把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
10、平移 6 个单位长度，得到 曲线 2 C D把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得 8 到曲线 2 C 【解析】 1: cosCyx=， 2 2 :sin 2 3 =+ Cyx ， 首先曲线 1 C、 2 C统一为一三角函数名，可将 1: cosCyx=用诱导公式处理 coscossin 222 yxxx =+=+ 横坐标变换需将1=变成2=， 即 1 1 2 sinsin 2sin2 224 yxyxx =+=+=+ C 上各坐短它原点横标缩来2 sin 2sin2 33 yxx =+=+ 注意的系数，在右平移需将2=提到括
11、号外面，这时 4 x +平移至 3 x +， 根据“左加右减”原则，“ 4 x +”到“ 3 x +”需加上 12 ，即再向左平移 12 故选 D 21. （2017 全国 2，理 14/16) 函数( ) 2 3 sin3cos0, 42 fxxxx =+ 的最大值是 【答案】1 【解析】 ( ) 22 33 sin3cos1cos3cos0 442 f xxxxxx =+= + ， 令cosxt=且01t， 2 1 3 4 ytt= + 2 3 1 2 t = + ， 则当 3 2 t =时，( )f x取最大值 1 22. （2017 全国 3，理 06/12) 设函数( ) cos 3
12、 f xx =+ ，则下列结论错误的是 A( )f x的一个周期为2 B( )yf x=的图像关于直线 8 3 x =对称 C()f x+的一个零点为 6 x = D( )f x在 , 2 单调递减 【答案】D 【解析】函数( ) cos 3 f xx =+ 的图像可由cosyx=向左平移 3 个单位得到， 如图可知，( ) f x在 , 2 上先递减后递增，D选项错误故选D 9 2 3 5 3 3 - 6 x y O 23. （2018 全国 2，理 10/12） 若( )cossinf xxx=在, a a是减函数，则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 【答案】A 【解析 1】(
13、 )cossinsincos2sin() 4 f xxxxxx= += ， 因为函数 ( )f x在, a a 是减函数， 则函数2sin() 4 yx=在, a a上是增函数， 2sin() 4 yx=的单调增区间为 3 2,2 44 kk + 当0k =时，增区间为 3 , 44 ，所以 4 3 4 a a ，解得 4 a ，a的最大值为 4 【解析 2】( )cossin2cos() 4 f xxxx=+，令22 4 kxk +，得 3 22 44 kxk +，当0k =时，( )f x的单调减区间为 3 , 44 ， 所以 4 3 4 a a ，解得 4 a ，a的最大值为 4 24.
14、 （2018 全国 3，理 15/16） 函数( )cos(3) 6 f xx =+在0, 的零点个数为_ 【答案】3 【解析】令( )cos(3)0 6 f xx =+=，则3 62 xk +=+，即 (13 ) , 9 k xkZ + =，当0,1,2k =时满足 题意，故有三个零点 25. （2019 全国 1，理 11/12） 关于函数( )sin |sin|f xxx=+有下述四个结论： ( )f x是偶函数 10 ( )f x在区间( 2 ，)单调递增 ( )f x在，有 4 个零点 ( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【答案】C 【解析】(
15、)sin |sin()| sin |sin|( )fxxxxxf x=+=+=则函数( )f x是偶函数，故正确， 当( 2 x ，)时，sin | sinxx=，|sin| sinxx=， 则( )sinsin2sinf xxxx=+=为减函数，故错误， 当0 x 时，( )sin |sin| sinsin2sinf xxxxxx=+=+=， 由( )0f x =得2sin0 x =得0 x =或x=， 由( )f x是偶函数，得在,0)上还有一个零点x= ，即函数( )f x在，有 3 个零点，故错误， 当sin | 1x =，|sin| 1x =时，( )f x取得最大值 2，故正确，
16、故正确是，故选 C 26. （2019 全国 2，理 09/12） 下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ，) 2 单调递增的是( ) A( ) |cos2 |f xx= B( ) |sin2 |f xx= C( )cos|f xx= D( )sin |f xx= 【答案】A 【解析】( )sin |f xx=不是周期函数，可排除D选项； ( )cos|f xx=的周期为2，可排除C选项； ( ) |sin2 |f xx=在 4 处取得最大值，不可能在区间( 4 ，) 2 单调递增，可排除B故选 A 27. （2019 全国 3，理 12/12） 设函数( )sin()(0) 5 f xx
17、 =+，已知( )f x在0，2 有且仅有 5 个零点下述四个结论： ( )f x在(0,2 )有且仅有 3 个极大值点 ( )f x在(0,2 )有且仅有 2 个极小值点 ( )f x在(0,) 10 单调递增 的取值范围是 12 5 ， 29) 10 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 11 【答案】D 【解析】当0 x，2 时， 55 x +，2 5 +， ( )f x在0，2 有且仅有 5 个零点， 526 5 +， 1229 510 ，故正确， 因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案， 下面判断是否正确， 当(0,) 10 x 时， 55 x +， (2) 10 +
18、， 若( )f x在(0,) 10 单调递增， 则 (2) 102 + ，即3， 1229 510 ，故正确故选 D 28. （2020 全国 1，理 07/12） 设函数( )cos() 6 f xx =+在，的图象大致如图，则( )f x的最小正周期为( ) A10 9 B 7 6 C 4 3 D 3 2 【考点】三角函数的周期性 【答案】C 【解析】由图象可得最小正周期小于 413 () 99 =，大于 410 2() 99 =，排除A，D； 由图象可得 44 ()cos()0 996 f =+=， 即为 4 962 k +=+，kZ，(*) 若选B，即有 212 7 7 6 =，由 4
19、12 9762 k +=+，可得k不为整数，排除B； 若选C，即有 23 4 2 3 =，由 43 9262 k +=+，可得1k = ，成立 故选：C 12 【解三角形】 29. （2010 全国，理 16/16） 在ABC中，D为边BC上一点, 1 2 BDDC=,120ADB= ,2AD =若ADC的面积为33，则 _BAC= 【答案】60 【解析】12060ADBADC= 又2AD =， 1 sin6033 2 ADC SAD DC= () 231DC= 又 1 31 2 BDDCBD= ADC 1 S=33 2 33 tan23 7560 AAEBCEDC AE AEDEBE AE
20、AEC EC AECBAC = = =+ = 过 点作于 点，则 30. （2011 全国，理 16/16） 在ABC中，60 ,3BAC= ,则2ABBC+的最大值为_ 【答案】2 7 【解析】由正弦定理 sinsinsin ABACBC CBA =，得sin2sin sin AC ABCC B =，2sinBCA= 因此 22sin4sin2sin4sin()2sin4sin() 3 ABBCCACBCCC +=+=+=+ 4sin2 3cos2 7sin()CCC=+=+（其中 3 tan 2 =） ，因此2ABBC+得最大值为2 7 （深度分析可知sin()C+可以取到 1，一般资料书
21、略） 31. （2014 全国 1，理 16/16） 已知, ,a b c分别为ABC三个内角, ,A B C的对边，2a =，且(2) (sinsin)bAB+=()sincbC，则 ABC面积的最大值为_ 【答案】3 【解析】根据正弦定理和2a =可得() ()()ababcb c+=，故得 222 bcabc+=， 13 根据余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc + =，所以 3 A =根据 222 bcabc+=及基本不等式得 2 2bcbca，即4bc ，所以ABC面积的最大值为 13 43 22 = 32. （2014 全国 2，理 04/12） 钝角三角形ABC
22、的面积是 1 2 ，1AB =，2BC =，则AC = A5 B5 C2 D 1 【答案】B 【解析】 1 | | sin 2 ABC SABBCB =，即： 11 12 sin 22 B= ， 2 sin 2 B =， 即45B = 或135又 222 |2| | cosACABBCABBCB=+ 2 |1AC=或 5，又ABC为钝角三角形， 2 |5AC=，即：5AC = 33. （2016 全国 2，理 13/16) ABC的内角ABC、 、的对边分别为abc、 、，若 4 cos 5 A =， 5 cos 13 C =，1a =，则b = 【答案】 21 13 【解析】由平方关系可得：
23、 22 312 sin1cos,sinC1cos 513 AAC 所以 63 sinsin()sincoscossin 65 BACACAC 再由正弦定理得： sinB21 sin13 a b A 34. （2015 全国 1，理 16/16) 在平面四边形ABCD中，75ABC= = = ，2BC =，则AB的取值范围是 【答案】( 62, 62)+ 14 35. （2018 全国 2，理 06/12） 在ABC中， 5 cos 25 C =，1BC =，5AC =，则AB = A4 2 B30 C29 D2 5 【答案】A 【解析】 2 13 cos2cos121 255 C C = =
24、= ，由余弦定理，得 22 2cos4 2ABACBCAC BCC=+=，故选 A 36. （2018 全国 3，理 09/12） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若ABC的面积为 222 4 abc+ ，则C = A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】C 【解析】 222 1 sin 24 ABC abc SabC + =，根据余弦定理， 222 cos 2 abc C ab + = 所以 222 2cosabcabC+=，将代入式，得 12cos sin 24 abC abC =， 所以sincosCC=，即tan1C =， 4 C = 37. （2020 全国 3，理 07/12） 在ABC中， 2 cos 3 C =，4AC =，3BC =，则cos(B = ) A 1 9 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【考点】余弦定理；正弦定理 【解析】在ABC中， 2 cos 3 C =，4AC =，3BC =， 由余弦定理可得 22222 2 2cos432439 3 ABACBCAC BCC=+=+ =； 故3AB =； 222222 3341 cos 223 39 ABBCAC B AB BC + = ， 故选：A 15
