1、 20102020 全国全国卷卷选择填空选择填空（理科）（理科）-平面向量平面向量 【考点 1】向量的线性运算 【考点 2】向量数量积的坐标运算 【考点 3】向量共线与垂直的充要条件 【考点 4】向量的模 【考点 5】向量的夹角 1. （2011 全国，理 10/12） 已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 1 2 :10,) 3 P+ ab 2 2 :1(, 3 P+ ab 3: 10,) 3 P ab 4: 1(, 3 P ab 其中的真命题是 A 14 ,P P B 13 ,P P C 23 ,P P D 24 ,P P 【考点】向量的概念与向量的模；向量加减混合运算；向量数
2、乘和线性运算 【答案】A 【解析】由| 1ab ，得出22cos1，即 1 cos 2 ，得出22cos1+，即 1 cos 2 ，又0，故可以得出0， 2 ) 3 ，故 2 P错 误， 1 P正确 故选：A 2. （2012 全国，理 13/12） 已知向量, a b 夹角为45，且1, 210aab= ，则b = 【答案】3 2 【解析】 2 2 210(2)1044cos45103 2ababbbb =+= 3. （2013 全国 1，理 13/16） 已知两个单位向量, a b的夹角为60，(1)tt=+cab若0 =b c，则t =_ 【答案】2 【解析】(1)ctat b=+ ，0
3、c b= ， 2 (1)0c bta bt b=+= ， cos6010tt+ =， 1 10 2 t =，解得2t =故答案为 2 4. （2013 全国 2，理 13/16） 1 已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则AE BD= 【答案】2 【解析 1】已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则0AB AD= ， 故(AE BD= ADDE+ ) ()BAAD+ 221111 () ()40042 2222 ADABADABADAD ABAB ADAB=+=+=+= ， 故答案为 2 【解析 2】建立直角坐标系，更简单. 5. （2014 全国 1，理 15/16）
4、已知, ,A B C是圆O上的三点，若 1 () 2 AOABAC=+ ，则AB 与AC 的夹角为 【答案】 0 90 【解析】 1 () 2 AOABAC=+ ，O为线段BC中点，故BC为O的直径， 0 90BAC=，AB 与AC 的夹角为 0 90。 6. （2014 全国 2，理 03/12） 设向量, a b满足|10+=ab，|6=ab，则=a b A1 B2 C3 D 5 【答案】A 【解析】考察向量的运算，是课本上的原型，见模就平方， 222 210abaa bb+=+ += 同理有 222 26abaa bb= += ，-：44a b= 即1a b= 7. （2015 全国 1
5、，理 07/12） 设D为ABC所在平面内一点， 3BCCD= ，则 A 14 33 ADABAC= + B 14 33 ADABAC= C 41 33 ADABAC=+ D 41 33 ADABAC= 【答案】A 【解析】由题知 11 () 33 ADACCDACBCACACAB=+=+=+= = 14 33 ABAC+ ，故选 A 【考点】平面向量的线性运算 【点评】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质， 是基础题， 解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD 表示为ACCD+ ，再用已知条件 2 和向量减法将CD 用,AB AC 表示出来 8
6、. （2015 全国 2，理 13/16） 设向量a ，b 不平行，向量ab+ 与2ab+ 平行，则实数=_ 【答案】 1 2 【解析】因为向量ab+ 与2ab+ 平行，所以2abk ab+=+ （），则 12 , k k = = ， 所以 1 2 = 【考点】向量共线 【点评】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键， 属于基础题 9. （2016 全国 1，理 13/16） 设向量( ,1)m=a，(1,2)=b，且 222 |+=+abab，则m = 【答案】2 【解析】由 222 |+=+abab，得ab，所以1 1 20m + =，解得2m = 【
7、考点】向量的数量积及坐标运算 10. （2016 全国 2，理 03/16） 已知向量(1,)(3, 2)m=ab =，且() a+bb，则m = A8 B6 C6 D8 【答案】D 【解析】由() a+bb可得：()0+=abb，所以 2 0+=a bb 又(1,)(3, 2)m=ab， 所以 22 32 +(3( 2) )0m+ =，所以8m=，故选 D 11. （2016 全国 3，理 03/12 文 03/12） 已知向量 133 1 , 2222 BABC = ,则ABC= A30 B45 C60 D120 【答案】A 【解析】因为 3 cos 2 BA BC ABC BABA =
8、，所以30ABC= 【考点】向量夹角公式 12. （2017 全国 1，理 13/16） 3 已知向量a，b的夹角为60，2=a， 1=b，则2+=ab 【答案】2 3 【解析】() 2 22 2 2(2 )22cos602+=+=+ababaabb 22 1 22222 2 =+ += 444+=12，所以2122 3+=ab 13. （2017 全国 2，理 12/12） 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+ 的最小值是 A2 B 3 2 C 4 3 D1 【解析 1】 （几何法） ：如图所示，2PBPCPD+= （D为BC中点） ， 则 ()
9、2PAPBPCPD PA+= ， 要使PA PD 最小，则PA ，PD 方向相反，即P点在线段AD上， 则min22PD PAPAPD= ，即求PDPA 最大值， 又 3 23 2 PAPDAD+= ，则 2 2 33 224 PAPD PAPD + = ， 则 min 33 22 42 PD PA= = 故选 B 【解析 2】 （解析法） ：建立如图坐标系，以BC中点为坐标原点， 所以 () 03A，()10B ，()10C， 设()P xy， () 3PAxy= ，()1PBxy= ， ()1PCxy= ， 所以 () 22 22 22PAPBPCxyy+=+ 2 2 33 2 24 xy
10、 =+ 则其最小值为 33 2 42 = ，此时0 x =， 3 2 y =故选 B 【解析 3】 （极化恒等式）取BC中点，记为M，取AM中点，记为N，如图 P DC B A 4 则有 ()2PAPBPCPAPM+= 22 1 2() 4 PNAM= 2 1 2 0( 3) 4 3 2 = （极化恒等式： 22 1 4 PA PMPNAM= ） 14. （2017 全国 3，理 12/12） 在矩形ABCD中，1AB =，2AD =，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上 若APABAD=+ ，则+的最大值为 A3 B2 2 C5 D2 【答案】A 【解析】 由题意，画图 设BD与C切于点E
11、，联结CE以A为原点，AD为x轴正半轴， AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1) 因为| | 1CD = ，| | 2BC = 所以 22 125BD =+= 因为BD切C于点E所以CEBD所以CE是RtBCD中斜边BD上的高 1 2 222 2 5 55 BCD BCCD S EC BDBD = ，即C的半径为 2 5 5 因为P在C上所以P点的轨迹方程为 22 4 (2)(1) 5 xy+= 设P点坐标 00 (,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下： 0 0 2 25cos 5 2 15sin 5 x y =+ = + ， E P D C B A O( ) y x
12、5 而 00 (,)APx y= ，(0,1)AB = ，(2,0)AD = 因为(0,1)(2,0)(2 , )APABAD =+=+= ， 所以 0 15 1cos 25 x= +， 0 2 15sin 5 y= + 两式相加得：() 22 252 55 15sin1cos2sin 5555 += + +=+= 2sin()3+ ， (其中 5 sin 5 =， 2 5 cos 5 =) 当且仅当 2 2 k=+，kZ时，+取得最大值 3故选 A 15. （2018 全国 1，理 06/12 文 07/12） 在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB = A 31 44 A
13、BAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC+ D 13 44 ABAC+ 【答案】A 【解析】通解 如图所示， 11111 ()() 22222 =+=+=+ EBEDDBADCBABACABAC 31 44 = ABAC故选 A 优解 111 () 222 =+ EBABAEABADABABAC 31 44 = ABAC故选 A 16. （2018 全国 2，理 04/12 文 04/12） 已知向量a，b满足|1=a，1= a b，则(2)=aab A4 B3 C2 D0 【答案】B 【解析】 2 (2)22( 1)3= =aabaa b，故选 B E D C B A 6
14、17. （2018 全国 3，理 13/16 文 13/16） 已知向量(1,2)=a，(2, 2)=b，(1, )=c若()2 +cab，则=_ 【答案】 1 2 【解析】(2)(2,4)(2, 2)(4,2)+=+=ab，因为()2 +cab，所以24=， 1 2 = 18. （2019 全国 1，理 07/12） 已知非零向量a ，b 满足| 2|ab= ，且()abb ，则a 与b 的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】B 【解析】()abb ， 2 ()abba bb= 2 |cos,0a ba bb= = ， 2 | cos, | b a b a b =
15、2 2 |1 2 2| b b = ， ,0, a b ，, 3 a b = 故选 B 19. （2019 全国 2，理 03/12） 已知(2,3)AB = ，(3, )ACt= ，| 1BC = ，则(AB BC= ) A3 B2 C2 D3 【答案】C 【解析】(2,3)AB = ，(3, )ACt= ， (1,3)BCACABt= ，| 1BC = ， 30t =即(1,0)BC = ，则2AB BC= ，故选 C 20. （2019 全国 3，理 13/16） 已知a ，b 为单位向量，且0a b= ，若25cab= ，则cosa= 【答案】 2 3 【解析】 2 (25 )252a
16、 caabaa b= ， 2222 (25 )44 559cabaa bb=+= ， | 3c= ， cosa= 故答案为 2 3 7 21. （2020 全国 1，理 14/16） 设a ，b 为单位向量，且| 1ab+= ，则|ab= 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【答案】3 【解析】a ，b 为单位向量，且| 1ab+= ， 2 |1ab+= ，平方可得 22 21aa bb+= ，即1211a b+ = ，所以21a b= ， 则 22 |23abaa bb=+= 故答案为：3 22. （2020 全国 2，理 13/16） 已知单位向量a ，b 的夹角为45，kab 与a 垂
17、直，则k = 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【答案】 2 2 【解析】向量a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为45， 22 | |cos451 1 22 a bab= = = ， 又kab 与a 垂直， 2 ()|0kabak aa b= = ， 即 2 0 2 k =，则 2 2 k =故答案为： 2 2 23. （2020 全国 2，理 06/12） 已知向量a ，b 满足| 5a = ，| 6b = ，6a b= ，则cosa= ) A 31 35 B 19 35 C 17 35 D 19 35 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【答案】D 【解析】向量a ，b 满足| 5a = ，| 6b = ，6a b= ， 可得 22 |225 12367abaa bb+=+=+= ， cosa= + 故选：D 8
