1、1 2020 高一升高二数学综合卷（六） (满分 150 分，考试时间 120 分钟) 一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1. 已知集合 A(x，y)|yx，B(x，y)|(x1)2(y1)25，则集合 AB 的元素个数为() A. 0B. 1C. 2D. 3 2. 某次数学测试中，小明完成前 5 道题所花的时间(单位：分钟)分别为 4，5，6，x，y.已知这组数据的平均数 为 5，方差为4 5，则|xy|的值为( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小
2、时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间 的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图， 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是() A. 56B. 60C. 120D. 140 4. 2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔 伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p 使得 p2 是素数，素数对(p，p2)称 为孪生素数，从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数
3、的概率为() A. 1 14 B. 1 7 C. 3 14 D. 1 3 5. 若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为() A.2B. 2 2C. 2D. 4 6. 已知过点 P(0，2)的直线 l 与圆(x1)2y25 相切，且与直线 ax2y10 垂直，则 a 的值为() A. 2B. 4C. 4D. 1 7. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平 面 ABC 所成角的大小是() A. 30B. 45 C. 60D. 90 2 8. 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是
4、 a，b，c.若 c2(ab)26，C 3 ，则ABC 的面积是() A.3B. 9 3 2 C. 3 3 2 D. 3 3 二、 多项选择题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全 部选对的得 3 分，不全的或有选错的得 0 分 9. 下列选项中，能使ABC 有唯一解的是() A. a5，c2，A90B. a30，b25，A150 C. b18，c20，B60D. a8，b16，A30 10. 下列命题中不正确的是() A. 经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示 B. 经过定点 A(0，b)的
5、直线都可以用方程 ykxb 表示 C. 不经过原点的直线都可以用方程x a y b1 表示 D. 经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示 11. 下列命题中正确的是() A. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C. 如果平面平面，平面平面，l，那么 l平面 D. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 12. 下列命题中错误的是() A. 若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行 B. 若向量 a，b 所在的直线
6、为异面直线，则向量 a，b 一定不共面 C. 若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面 D. 已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc. 三、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 某汽车 4S 店销售甲品牌 A 型汽车，在 2019 年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型 汽车的价格与月销售量之间有如下关系： 价格(万元)2523.52220.5 销售量(辆)30333639 已知 A 型汽车的销售量 y 与价格 x 符合线性回归方程 ybx80.若 A 型汽车价格降
7、到 19 万元，预测它的 销售量大约是_辆 14. 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八 尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古 制 1 丈10 尺，1 斛1.62 立方尺，圆周率3)，则该圆柱形容器能放米_斛 15. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C60，b 6，c3，则 B_，a_ 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kxy20 与直线 l2：xky20 相交于点 P，则当实数 k 变化时， 点 P 到直线 xy40 的距离的最大值
8、为_ 3 四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 给出： tan Btan C 3 3tan Btan C； acos CccosA2bcosA； f(x)sin(2x 6 )cos2x1 2，f(A 4 ) 3 4 . 在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中并对其进行求解 在锐角三角形 ABC 中，a2 3，_，求ABC 的周长 l 的范围 18.(本小题满分 12 分) 有 20 名学生参加某次考试，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示： (1) 求频率分布直方图中 m 的值； (2) 分别求出成绩落在
9、70，80)，80，90)，90，100中的学生人数； (3) 从成绩80，100的学生中任取 2 人，求此 2 人的成绩都在80，90)中的概率 4 19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2，4)，B(4，2)，C(6，6) (1) 求角 A 的余弦值； (2) 作 AB 的底边上的高 CD，D 为垂足，求点 D 的坐标 20.(本小题满分 12 分) 如图，ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，DC平面 ABC，AB4，EB 2 3. (1) 求证：DE平面 ACD； (2) 设 ACx，
10、V(x)表示三棱锥 BACE 的体积，求函数 V(x)的解析式及最大值 5 21. (本小题满分 12 分) 如图， 底面 ABCD 是等腰梯形， ADBC， AD2AB2BC4， 点 E 为 AD 的中点， 以 BE 为边作正方形 BEFG， 且平面 BEFG平面 ABCD. (1) 求证：平面 ACF平面 BEFG； (2) 求二面角 ABFD 的正弦值 22. (本小题满分 12 分) 已知圆 M 的方程为 x2(y2)21，直线 l 的方程为 x2y0，点 P 在直线 l 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA， PB，切点为 A，B. (1) 若APB60，试求点 P 的坐标； (2)
11、 若 P 点的坐标为(2，1)，过 P 作直线与圆 M 交于 C，D 两点，当 CD 2时，求直线 CD 的方程； (3) 求证：经过 A，P，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标 6 2020 高一升高二数学综合卷（六） 参考答案及评分标准 1. C解析：(x1)2(y1)25 表示圆心为(1，1)的圆，且圆心在直线 yx 上，即直线 yx 与圆(x1)2(y 1)25 相交 集合中的元素为点集， 集合 AB 的元素个数为 2.故选 C. 2. B解析：由题意得 455xy55， 4 5 1 5101(x5) 2(y5)2，所以 xy10，(x5)2(y 5)22， x5(y5)，|x
12、5|y5|1，即|xy|x5(y5)|2，故选 B. 3. D解析：设所求人数为 N，则 N2.5(0.160.080.04)200140，故选 D. 4. B解析：依题意，20 以内的素数共有 8 个，从中选两个共 28 个基本事件而 20 以内的孪生素数有(3，5)， (5，7)，(11，13)，(17，19)，共 4 个基本事件，所以从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为 P 4 28 1 7.故选 B. 5.A解析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 由题可知，rh 2 2 l，则1 2( 2r) 21， r1，l 2， 该圆锥的侧面积为rl 2.故选
13、 A. 6. C解析：因为点 P(0，2)满足圆(x1)2y25 的方程，所以 P 在圆上又过点 P(0，2)的直线与圆(x1)2 y25 相切，且与直线 ax2y10 垂直，所以切点与圆心连线的直线与直线 ax2y10 平行，所以a 2 20 01 2，所以 a4.故选 C. 7.A解析：取 BC 的中点 E，连结 AE，DE，则 DE底面 ABC， DAE 为 AD 与平面 ABC 所成的角 设三棱柱的棱长为 1，则 AE 3 2 ，DE1 2， tanDAEDE AE 3 3 ， DAE30.故选 A. 8. C解析：由 c2(ab)26，得 c2a2b22ab6， 由余弦定理知 c2a
14、2b22abcos Ca2b2ab， 所以 a2b22ab6a2b2ab，所以 ab6，则 SABC1 2absin C 3 3 2 .故选 C. 9.ABD解析：A 中， A90，a5，c2， b a2c2 254 21，有唯一解；B 中，A150， ab，有唯一解；C 中，sin C20sin 60 18 5 3 9 ，且 cb， CB， C 可能是锐角，也可能是钝角，故有两解； D 中，由 a sin A b sin B，得 sin B 16sin 30 8 1， B90，即只有一解故选 ABD. 10.ABC解析：A，B 中方程不能表示中斜率不存在的直线；C 中方程不能表示经过原点的直
15、线；D 正确故 选 ABC. 7 11.ABC解析：在平面内存在直线 l 平行于平面与平面的交线，则 l 平行于平面，故命题 A 正确若平面 内存在直线垂直于平面，则平面与平面垂直，故命题 B 正确设m，n，在平面内取一点 P 不 在 m，n 上，过 P 作直线 a，b，使 am，bn. ，am，则 a， al，同理有 bl.又 abP，a ，b， l，故命题 C 正确设l，则 l，l，故在内存在直线不垂直于平面，即命题 D 错 误故选 ABC. 12.ABCD解析：若 a 与 b 共线，则 a，b 所在的直线平行或重合，故 A 不正确；若 a 与 b 所在直线为异面直 线，则向量 a，b 是
16、共面向量，故 B 不正确；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面， 故 C 不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为 pxaybzc，故 D 不正确，故选 ABCD. 13. 42解析：由题可知 x2523.52220.5 4 22.75，y30333639 4 34.5 代入回归方程，得 b2， 所以 y2x80，当 x19 时，y42.故预测它的销售量大约为 42 辆 14. 2 700解析：由题可知 c2rr c 2 54 239 尺， Vr2h392184 374 立方尺4 374 1.62 2 700 斛 15. 45 63 2
17、2 解析：由题意知 b sin B c sin C，即 sin B bsin C c 6 3 2 3 2 2 ，结合 bc，得 B45. 又 c2a2b22abcos C，32a2( 6)22a 6cos 60， a2 6a30，解得 a 63 2 2 (负值舍去) 16. 3 2解析： 直线 l1：kxy20 与直线 l2：xky20 的斜率乘积为 k(1 k)1(k0 时，两条 直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点 M(0，2)，N(2，0)， 两条直线的交点在以 MN 为直径的圆上 由题可得 kMN1， 直线 MN 与直线 xy40 垂直 点 M 到直线 xy40 的距离 d |0
18、24| 12（1）23 2为最大值 17. 解：若选， tan Btan C 3 3tan Btan C， tan Btan C 1tan Btan C 3tan(BC) 3tan(A) 3tan A 3. 0A 2 ， A 3 .(4 分) a sin A4， l ABC4sin(2 3 B)4sin B2 3， lABC4 3sin(B 6 )2 3. 锐角三角形 ABC 且 A 3 ， 6 B 2 ， B 6 ( 3 ，2 3 )， lABC(62 3，6 3(10 分) 若选， acos CccosA2bcosA， b2bcosAcosA1 2. 8 0A 2 ， A 3 .(4 分)
19、 下同. 若选，由题可得 f(x)sin 2xcos 6 cos 2xsin 6 1cos 2x 2 1 2 3 2 sin 2x. 由 f(A 4 ) 3 4 ，得 3 2 sin(2A 2 ) 3 4 cos 2A1 2. 0A 2 ， A 3 .(4 分) 下同. 18. 解：(1) 由题意 10(2m3m4m5m6m)1， 解得 m0.005.(2 分) (2) 成绩落在70，80)中的学生人数为 20100.036； 成绩落在80，90)中的学生人数 20100.024 成绩落在90，100中的学生人数 20100.012.(8 分) (3) 设落在80，90)中的学生为 a1，a2
20、，a3，a4，落在90，100中的学生为 b1，b2. 从成绩落在80，100中的学生中任取 2 人，有 a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1， a3b2，a4b1，a4b2，b1b1，则可知基本事件个数为 n15.设 A“此 2 人的成绩都在80，90)”，则事件 A 包含的基本 事件数 m6，所以事件 A 发生概率 P(A)m n 6 15 2 5.(12 分) 19. 解：(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2，4)，B(4，2)，C(6，6)如图： 根据两点间的距离公式得 AB
21、2 2，ACBC2 5. 在ABC 中，利用余弦定理得 cosA（2 2） 2（2 5）2（2 5）2 22 22 5 10 10 ，则角 A 的余弦值为 10 10 .(6 分) (2) 由于ABC 为等腰三角形， 所以 D 点的横坐标 x42 2 3，纵坐标为 y42 2 3，则 D(3，3)(12 分) 20. (1) 证明： 四边形 DCBE 为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面 ABC，BC平面 ABC， DCBC. AB 是圆 O 的直径， BCAC， 且 DCACC，DC，AC平面 ADC， BC平面 ADC. DEBC， DE平面 ADC.(5 分) (2) 解： D
22、C平面 ABC，DCBE， BE平面 ABC. 在 RtABE 中，AB4，EB2 3. 在 RtABC 中， ACx， 9 BC 16x2(0x4)， SABC1 2ACBC 1 2x 16x 2， V(x)V三棱锥EABC 3 3 x 16x2(0x4) V(x) 3 3 x2（16x2） 3 3 x416x2 3 3 （x28）264， 当 x22时，体积有最大值8 3 3 .(12 分) 21. (1) 证明：因为点 E 为 AD 的中点，AD2BC， 所以 AEBC. 因为 ADBC， 所以 AEBC，所以四边形 ABCE 是平行四边形 因为 ABBC， 所以平行四边形 ABCE 是
23、菱形，所以 ACBE. 因为平面 BEFG平面 ABCD，且平面 BEFG平面 ABCDBE，所以 AC平面 BEFG. 因为 AC平面 ACF， 所以平面 ACF平面 BEFG.(4 分) (2) 解：记 AC，BE 的交点为 O，取 FG 的中点 P.由题意可知 AC，BE，OP 两两垂直，故以 O 为坐标原点，以 射线 OB，OC，OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 因为底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，AD2AB2BC4，所以四边形 ABCE 是菱形，且BAD60， 所以 A(0， 3，0)，B(1，0，0)，E(1，0，0)，D(
24、2，3，0)，F(1，0，2)，则AB (1，3，0)，BF ( 2，0，2)，BD (3，3，0) 设平面 ABF 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 则 mAB x1 3y10， mBF 2x 12z10， 不妨取 y11，则 m( 3，1， 3) 设平面 DBF 的法向量为 n(x2，y2，z2)， 则 nBD 3x2 3y20， nBF 2x 22z20， 不妨取 x21，则 n(1，3，1)， 故 cosm，n mn |m|n| 3 7 5 105 35 . 记二面角 ABFD 的大小为， 故 sin 1（ 105 35 ）24 70 35 .(12 分) 10 22. (1) 解
25、：设 P(2m，m)，由题可知 MP2， 所以(2m)2(m2)24， 解得 m0 或 m4 5， 故所求点 P 的坐标为 P(0，0)或 P(8 5， 4 5)(2 分) (2) 解：设直线 CD 的方程为 y1k(x2)，易知 k 存在. 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 2 2 ， 所以 2 2 |2k1| 1k2 ， 解得 k1 或 k1 7，故所求直线 CD 的方程为 xy30 或 x7y90.(6 分) (3) 证明：设 P(2m，m)，MP 的中点 Q(m，m 2 1) 因为 PA 是圆 M 的切线，所以经过 A，P，M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆， 故其方程为(xm)2(ym 2 1)2m2(m 2 1)2， 化简得 x2y22ym(2xy2)0，此式是关于 m 的恒等式，故 x2y22y0 且 2xy20， 解得 x0， y2 或 x4 5， y2 5. 所以经过 A，P，M 三点的圆必过定点(0，2)或(4 5， 2 5)(12 分) .
