1、2.2 对 数 函 数 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数 一、对数的有关概念一、对数的有关概念 1.1.对数的概念对数的概念 (1)(1)请根据下图的提示填写与对数有关的概念请根据下图的提示填写与对数有关的概念. . 指数指数 对数对数 幂幂 真数真数 底数底数 (2)(2)对数的底数对数的底数a a的取值范围是的取值范围是_._. 2.2.常用对数与自然对数常用对数与自然对数 (1)(1)请依据常用对数与自然对数的定义连线请依据常用对数与自然对数的定义连线. . (2)(2)其中无理数其中无理数e=2.718 28.e=2.718 28. a a0,0,且且a1a1 判断：判断：
2、( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)对数对数loglog3 39 9和和loglog9 93 3的意义一样的意义一样.( ).( ) (2)(2)(- -2)2)3 3= =- -8 8可化成可化成loglog( (- -2) 2)( (- -8)=3.( ) 8)=3.( ) (3)(3)对数运算的实质是求幂指数对数运算的实质是求幂指数.( ).( ) (4)lg x(4)lg x可以写成可以写成log x.( )log x.( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误.log.log3 39 9表示的是以表示的是以3 3为底为底9 9的对数，的对数，lo
3、glog9 93 3表示表示 的是以的是以9 9为底为底3 3的对数的对数. . (2)(2)错误错误. .对数式中的底数要求满足大于对数式中的底数要求满足大于0 0且不等于且不等于1 1，而，而 - -2020N(a0，且，且a1)a1)中中N0N0，才有意义？，才有意义？ 提示：提示：依据对数定义，若依据对数定义，若a ax xN N，则，则x xlogloga aN N，对于，对于a0a0，不，不 论论x x取何实数总有取何实数总有a ax x00，故需，故需N0.N0. 没有没有 0 0 1 1 【知识点拨知识点拨】 1.1.对数对数logloga aN N中规定中规定a a0 0且且
4、a1a1的原因的原因 (1)a(1)a0 0时，时，N N取某些值时，取某些值时，logloga aN N不存在，如根据指数的运算不存在，如根据指数的运算 性质可知，不存在实数性质可知，不存在实数x x使使( )( )x x=2=2成立，所以成立，所以 不存在，不存在， 所以所以a a不能小于不能小于0.0. (2)a=0(2)a=0时，时，N0N0时，不存在实数时，不存在实数x x使使a ax x=N,=N,无法定义无法定义logloga aN;N=0N;N=0 时，任意非零实数时，任意非零实数x,x,有有a ax x=N=N成立，成立，logloga aN N不确定不确定. . (3)a=
5、1(3)a=1时，时，N1,logN1,loga aN N不存在不存在;N=1,log;N=1,loga a1 1有无数个值，不能有无数个值，不能 确定确定. . 1 2 1 () 2 log2 2.2.从从“三角度三角度”看对数式的意义看对数式的意义 角度一：对数式角度一：对数式logloga aN N可看作一种记号，只有在可看作一种记号，只有在a0,a1,N0a0,a1,N0 时才有意义时才有意义. . 角度二：对数式角度二：对数式logloga aN N也可以看作一种运算，是在已知也可以看作一种运算，是在已知a ab b=N=N求求b b 的前提下提出的的前提下提出的. . 角度三：角度
6、三：logloga aN N是一个数是一个数, ,是一种取对数的运算是一种取对数的运算, ,结果仍是一个结果仍是一个 数数, ,不可分开书写不可分开书写, ,也不可认为是也不可认为是logloga a与与N N的乘积的乘积. . 3.log3.loga a1=01=0和和logloga aa=1(aa=1(a0 0且且a1)a1)的应用的应用 主要应用于求真数为主要应用于求真数为1 1的对数值和真数与底数相等的对数值的对数值和真数与底数相等的对数值. . 类型类型 一一 对数的概念对数的概念 【典型例题典型例题】 1.1.使对数使对数logloga a( (2a2a1)1)有意义的有意义的a
7、a的取值范围为的取值范围为( )( ) A.aA.a 且且a1 B.0aa1 B.0a0C.a0且且a1 D.aa1 D.a 2.2.设设a aloglog3 31010，b bloglog3 37 7，则，则3 3a a b b _._. 1 2 1 2 1 2 3.3.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)7.6(1)7.60 0=1. (2)( )=1. (2)( ) 2 2=9. =9. (3)10(3)10 3 3=0.001. (4) = =0.001. (4) =2.2. (5)lgb=(5)lgb=1.299. (6)ln2
8、=0.693.1.299. (6)ln2=0.693. 1 3 1 3 log3 【解题探究解题探究】1.1.要使对数有意义，对数的底数和真数需要满要使对数有意义，对数的底数和真数需要满 足什么条件？足什么条件？ 2.2.解答题解答题2 2时需要对已知对数式进行怎样的变形？需要用到幂时需要对已知对数式进行怎样的变形？需要用到幂 的什么运算性质求的什么运算性质求3 3a a- -b b？ 3.3.指数式与对数式互化的依据是什么？指数式与对数式互化的依据是什么？ 探究提示：探究提示： 1.1.对数的底数大于对数的底数大于0 0且不等于且不等于1 1，真数大于，真数大于0.0. 2.2.将对数式化为
9、指数式，逆用同底数幂相除底数不变指数相将对数式化为指数式，逆用同底数幂相除底数不变指数相 减的法则减的法则. . 3.3.依据是对数的定义依据是对数的定义, ,即即a ax x=N=Nlogloga aN=x.N=x. 【解析解析】1.1.选选B.B.由对数的概念可知使对数由对数的概念可知使对数logloga a( (2a2a1)1)有意义有意义 的的a a需满足需满足 解得解得0a0a01. =N(a0，a1a1，N0)N0)的推导方法的推导方法 由由a ab bN N ， 得得b blogloga aN N ， 将代入有将代入有 =N.=N. a log N a a log N a 2.2
10、.对数恒等式对数恒等式 =N=N的应用的应用 (1)(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可能直接应用对数恒等式的直接求值即可. . (2)(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解. . a log N a 【易错误区易错误区】常用对数和自然对数的解题误区常用对数和自然对数的解题误区 【典例典例】有以下四个结论：有以下四个结论：(1)lg(lg10)(1)lg(lg10)0.(2)ln(lne)0.(2)ln(lne)0.0. (3)(3)若若1010lgxlgx，则，则x x10.(4)10.(4)若若e elnxlnx，则，则x x
11、e e2 2，其中正确，其中正确 的是的是( )( ) A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(2) D.(3)(4) A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(2) D.(3)(4) 【解析解析】选选C.C.lg(lg10)lg(lg10) lg1lg10 0，故，故(1)(1)正确；正确； ln(lne)ln(lne) ln1ln10 0，故，故(2)(2)正确；正确； 若若1010lgxlgx ，则 ，则x x101010 10，故 ，故(3)(3)错误；错误； 若若e elnxlnx ，则 ，则x xe ee e，故，故(4)(4)错误错误 【类题试解类题试解】1.1.若
12、若ln(lnx)=1,ln(lnx)=1,则则x=( )x=( ) A.1 B.e C.eA.1 B.e C.e2 2 D.e D.ee e 【解析解析】选选D.D.因为因为ln(lnx)=1,ln(lnx)=1,所以所以lnx=e,lnx=e,所以所以x=ex=ee e. . 2.2.若若(lgx)(lgx)2 22lgx2lgx3=03=0，则，则x=_.x=_. 【解析解析】(lgx)(lgx)2 22lgx2lgx3=0,3=0, (lgx+1)(lgx(lgx+1)(lgx3)=0,3)=0, lgx=lgx=1 1或或lgx=3,lgx=3, x= x= 或或x=1000.x=10
13、00. 答案：答案： 或或10001000 1 10 1 10 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.重视常用数学符号及结论的理解和记忆重视常用数学符号及结论的理解和记忆 关于对数有一些约定俗成的记法和常用结论，如本例中关于对数有一些约定俗成的记法和常用结论，如本例中lg10lg10表表 示示loglog10 1010 10，lnxlnx表示表示logloge ex,x,用到了用到了logloga a1=0.log1=0.loga aa=1(aa=1(a0 0，且，且 a1).a1). 2.2.熟练进行指数式与对数式的互化熟练进行指数式与对数式的互化 这是解决对数问题的根本方法，
14、如本例将这是解决对数问题的根本方法，如本例将10=lgx10=lgx转化为转化为x=10 x=1010 10即 即 可求出可求出x.x. 1.1.在在b=logb=log3 3(m(m1)1)中，实数中，实数m m的取值范围是的取值范围是( )( ) A.R B.(0,+)A.R B.(0,+) C.(C.(,1) D.(1,+),1) D.(1,+) 【解析解析】选选D.D.由由m m1 10 0，得，得m m1.1. 2.2.若若 =c=c则则( )( ) A.aA.a2b 2b=c B.a =c B.a2c 2c=b =b C.bC.bc c=2a D.c=2a D.c2a 2a=b =
15、b 【解析解析】选选B. =cB. =c(a(a2 2) )c c=b=ba a2c 2c=b. =b. 2 a log b 2 a log b 3.3.以下四个说法中正确的是以下四个说法中正确的是( )( ) 若若loglog5 5x x3 3，则，则x x1515； 若若loglog25 25x x 则则x x5 5； 若若 0 0，则，则x x 若若loglog5 5x x3 3，则，则x x A.A. B.B. C.C. D.D. 1 2， x log55； 1 . 125 【解析解析】选选C.C.对于，因为对于，因为loglog5 5x x3 3，所以，所以x x5 53 3=125
16、=125，错误，错误. . 对于，因为对于，因为loglog25 25x x 所以所以x x =5=5，正确，正确. . 对于，若对于，若 0 0，所以，所以x x0 0 无解，错误无解，错误. . 对于，若对于，若loglog5 5x x3 3，则，则x x5 5- -3 3= = 正确正确. . 因此正确因此正确. . 1 2， 1 2 25 x log55， 1 125， 4.4.计算：计算：10lg1+lne=_.10lg1+lne=_. 【解析解析】10lg1+lne=10lg1+1=1010lg1+lne=10lg1+1=100+1=1.0+1=1. 答案：答案：1 1 5.5.计
17、算：计算： +1.33+1.330 0=_.=_. 【解析解析】 +1.33+1.330 0=2+1=3.=2+1=3. 答案：答案：3 3 3 log 2 3 3 log 2 3 6.6.求下列各式中求下列各式中x x的值的值. . (1)log(1)logx x81=2.(2)x=log81=2.(2)x=log8 84.(3)lgx=4.(3)lgx=2.2. (4)5(4)5lgx lgx 25.25. 【解析解析】(1)(1)因为因为loglogx x81=281=2，所以，所以x x2 2=81=81， 又又x x0 0，所以，所以x=9.x=9. (2)(2)因为因为x=logx=log8 84 4，所以，所以8 8x x=4=4，即，即(2(23 3) )x x=2=22 2， 于是于是3x=23x=2，x=x= (3)(3)因为因为lgx=lgx=2 2，所以，所以x=10 x=10 2 2=0.01. =0.01. (4)(4)因为因为5 5lgx lgx 2525，所以，所以loglog5 52525lgxlgx 又因为又因为loglog5 525252 2，所以，所以lgxlgx2.x2.x100.100. 2 . 3
