1、 - 1 - 上学期高二数学 11月月考试题 07 一、选择题：（本大题共 8个小题，每小题 5分共 40 分，只有一项是符合题材目要求的） 1. 在空间有三个向量 AB 、 BC 、 CD ，则 AB BC CD? ? ?（ ） A AC B AD C BD D 0 2. 已知抛物线的标准方程为 xy 42? ，则抛物线的准线方程是（ ） A. 1?x B. 2?x C. 1?y D. 1?y 3. 下列各组 向量中不平行的是（ ） A )4,4,2(),2,2,1( ? ba ? B )0,0,3(),0,0,1( ? dc ? C (2, 3, 0 ), (4, 6, 0 )ef? D
2、( 2, 3, 5), (1, 2, 3)gh? ? ? 4. 下列命题为真的是（ ） A xR? ， 2 1x? B xR? ， 2 0x? C xR? ， 2 2 2 0xx? ? ? D xR? ， 2 2 2 0xx? ? ? 5如图：正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，点 M 是 AB 中点， N 是 BC 中点，则 1DB 和 NM 所成角的是（ ） A 6? B 4? C 3? D 2? 6已知 a， b 是两个非零向量，给定 p： |a b|=|a| |b|， :q t R? 使得 a=tb，则 p是 q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
3、 D非充分，非必要条件 7过双曲线 22 12yx ?的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点，若实数 ? 使得 |AB ? 的直线 l 有 4条，则 ? 的取值范围是（ ） . A ( ,4)? B (4, )? C ( ,3)? D (3,4) 8设斜率为 22 的直线 l 与椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） . - 2 - A 13 B 12 C 33 D 22 二、填空题：（本大题共 7个小题，每小题 5分共 35 分 .） 9如果椭圆 22164 36xy?上一点 p
4、 到焦点 1F 的距离等于 6，那么点 p 到另一个焦点 2F 的距离是 . 10 a (2, 1,3)? ， b ( 4,2, )x? ， 若 a? b，则 ?x _. 11设双曲线 221xyab?( 0, 0)ab?的虚轴长为 2，焦距为 23，则双曲线的渐近线方程为 . 12向量 a与 b 的夹角为 60 ， 4?b ， ( 2 )( 3 ) 72a b a b? ? ? ?，则 a? . 13. 已知 p ：实数 m 满足 01?m ， q ：函数 xmy )49( ? 是增函数 . 若 qp? 为真命题， qp? 为假命题，则实数 m的取值范围是 . 14从抛物线 2 4xy? 图
5、象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且 | | 5PM? ，设抛物线焦点为 F ，则 MPF? 的面积为 . 15点 A 为平面 ? 内一点，点 B 为平面 ? 外一点，直线 AB 与平面 ? 成 60? 角，平面 ? 内有一动点 P ，当 30ABP? ? ? 时，动点 P 的轨迹图形为 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、解答题（本大题共 6小题，共 75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16（本小题共 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点 是坐标原点且经过点(2,2)A ，其焦点 F 在 x 轴上 . （ 1）求抛物线方程
6、； （ 2）求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线方程 . - 3 - 17（本小题共 12分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 2. （ 1）求点 B 到平面 11ABCD 的距离； （ 2）求直线 1AB与平面 11ABCD 所成角的大小 . 18（本小题共 12分）如图，在五面体 ABCDEF 中， FA? 平面 ABCD ， / /AD BC FE，AB AD? ， M 为 EC 的中点， 12A F A B B C F E A D? ? ? ?. （ 1）证明：平面 AMD? 平面 CDE ； （ 2）求二面角 A CD E?的余弦 值； - 4 -
7、19（本小题共 13分）设双曲线 1C 的方程为 2222 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?， A 、 B 为其左、右两个顶点， P 是双曲线 1C 上的任意一点，作 QB PB? ， QA PA? ，垂足分别为 A 、 B ，AQ 与 BQ 交于点 Q . （ 1）求 Q 点的轨迹 2C 方程； （ 2）设 1C 、 2C 的离心率分别为 1e 、 2e ，当 1 2e? 时，求 2e 的取值范围 . 20（本小题共 13 分）如图椭圆 G ： 221xyab?( 0)ab? 的两个焦点为 1( ,0)Fc? 、 2(,0)Fc和顶点 1B 、 2B 构成面积为 32的正方形
8、 . （ 1）求此时椭圆 G 的方程； （ 2）设斜率为 ( 0)kk? 的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A 、 B 、 Q 为 AB 的中点，且 3(0, )3P ? . 问： A 、 B 两点能否关于直线 PQ 对称 . 若能，求出 k 的取值范围；若不能，请说明理由 . - 5 - 参考答案 一、选择题： 1. B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. C 7. B8. D 二、填空题： 9. 10 10. 5 11. 22yx? 12. 6 13. (1,2) 14 10 15椭圆 三、解答题 16（本小题共 12 分）在平面直角坐 标系 xOy 中，抛物线 C 的顶
9、点是坐标原点且经过点(2,2)A ，其焦点 F 在 x 轴上 . （ 1）求抛物线方程； （ 2）求过点 F 且与直线 OA 垂直的直线方程 . 解析：（ 1）可设抛物线方程为 2 2y px? ，将 (2,2)A 代入方程得 4 4 1pp? ? ? ， ?方程为 2 2yx? ?（ 6分） （ 2）焦点 1( ,0)2F ， 1OAk ? ， 1lk? ? . 故直线方程为 11 ( )2yx? ? ? . 2 1 0xy? ? ? ? .?（ 12分） 17（本小题共 12分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 2. （ 1）求点 B 到平面 11ABCD
10、的距离； （ 2）求直线 1AB与平面 11ABCD 所成角的大小 . 解析：（ 1）可证 BO? 面 11ABCD ，则 BO 为 B 到面 11ABCD 距离， 故 11 2 2 222B O B G? ? ? ?.?（ 4分） （ 2）解法一：连接 1BC ，设与 1BC交于 O 点，连接 1AO. 11BC BC? ， 1 1 1AB BC? ， 1 1 1 1AB BC B? . 1BC?平面 11ABCD ， 1AB? 在平面 11ABCD 内的射影为 1AO. - 6 - 1OAB? 就是 1AB与平面 11ABCD 所成的角 .?（ 9分） 设正方体的棱长为 1，在 1Rt A
11、OB? 中， 1 2AB? ， 22BO? ， 112 12s in 22BOO A B AB? ? ? ? ?. 1 30OAB? ? ?. 即 1AB与平面 11ABCD 所成的角为 30? .?（ 12分） 解法二：以 D 为原点 ， DA ， DC ， 1DD 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 1(1,0,1)A ， (0,1,0)C . 1 (1,0,1)DA? ， (0,1,0)DC? . 设平面 11ABCD 的一个法向量 n=( , , )xyz ， 则 1 0, 0,0.0,n D A xzyn D C? ? ?
12、? ?令 1z? 得 1x? .?（ 9分） (1,0, 1)n? ? ? .又 (1,1,0)B ， 1 (0,1, 1)AB? ? ?. 11111c o s , 2| | | | 22A B nn A B A B n? ? ? ? ? ?. 1, 60n A B? ? ?.?（ 11分） 即 1AB与平面 11ABCD 所成的角为 30? .? ?（ 12分） 18（本小题共 12分）如图，在五面体 ABCDEF 中， FA? 平面 ABCD ， / /AD BC FE，AB AD? ， M 为 EC 的中点， 12A F A B B C F E A D? ? ? ?. （ 1）证明：平
13、面 AMD? 平面 CDE ； （ 2）求二面角 A CD E?的余弦值； 解析：解法一：（ 1）证明：需先证明，因为 DC DE? 且 M为 CE 的中点，所以 DM CE? .连结 MP ，则 MP CE? .又MP DM M? ，故 CE? 平面 AMD .而 CE? 平面 CDE ，所以平面 AMD? 平面 CDE ? ?（ 6分） （ 2）设 Q 为 CD 的中点，连结 PQ 、 EQ .因为 CE DE? ，所以 EQ CD? .因为 PC PD? .所以 PQ CD? ，故 EQP? 为二面角 A CD E?的平面- 7 - 角 .?（ 9分） EP PQ? ， 62EQ a?
14、， 22PQ a? ，于是在 Rt EPQ? 中， 3co s3PQEQ P EQ? ? ?，所以二面角 A CD E?的余弦值 为 33 .?（ 12分） 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点 .设 1AB? ，依题意得 (1,0,0)B ， (1,1,0)C ， (0,2,0)D ， (0,1,1)E ，(0,0,1)F ， 11( ,1, )22M . （ 1）证明：由 11( ,1, )22AM ? ， ( 1,0,1)CE? ， (0,2,0)AD? ，可得 0CE AM?， 0CE AD?.因此， CE AM? ， CE AD? .又 AM AD A? ，故 C
15、E?平面 AMD .而 CE? 平面 CDE ，所以平面 AMD? 平面 CDE .?（ 6 分） （ 2）设平面 CDE 的法向量 为 u=( , , )xyz ，则 0,0.u CEu DE? ?于是 0,0.xzyz? ? ? ? ?令 1x? ，可得 u 1,1,1? ? .?（ 9分） 又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 (0,0,1)v? ， 所以 cos = 0 0 1 3| | | 331? ? ?uvuv.?（ 11 分 ） 因为二面角 A CD E?为锐角，所以其余弦值为 33 .?（ 12分） 19（本小题共 13分）设双曲线 1C 的方程为 2222 1( 0 ,
16、0 )xy abab? ? ? ?， A 、 B 为其左、右两个顶点， P 是双曲线 1C 上的任意一点，作 QB PB? ， QA PA? ，垂足分别为 A 、 B ，AQ 与 BQ 交于点 Q . （ 1）求 Q 点的轨迹 2C 方程； （ 2）设 1C 、 2C 的离心率分别为 1e 、 2e ，当 1 2e? 时，求 2e 的取值范围 . 解析：（ 1）如图，设 00( , )Px y ， ( , )Qxy ， ( ,0)Aa? ， ( ,0)Ba ， QB PB? ， QA PA? ， - 8 - 00001,1.y yx a x ay yx a x a? ? ? ? ? ? ? ?
17、 ? ?（ 4分） 由得： 2 202 2 2 20 1y yx a x a? 2200221xyab?， 2 202 2 20 y bx a a?，代入得 2 2 2 2 4b y x a a?，即 2 2 2 2 4a x b y a?. ?（ 6分） 经检验，点 ( ,0)a? ， (,0)a 不合题意，因此 Q 点的轨迹方程是 2 2 2 2 4a x b y a?（点( ,0),( ,0)aa? 除外） . （ 2）由（ 1）得 2C 的方程为 224221xyaab?. 2222222 2 2 2 2 2111 1 11aa aabe a b c a e? ? ? ? ? ? ?，?（ 9分） 1 2e? ， 22 2112( 2 ) 1e? ? ? ?，?（ 11 分） 212e? ? ? .?（ 13 分） 20（本小题共 13 分）如图椭圆 G ： 221xyab?( 0)ab? 的两个焦点为 1( ,0)Fc? 、 2(,0)Fc和顶点 1B 、 2B 构成面积为 32的正方形 . （ 1）求此时椭圆 G 的方程； （ 2）设斜率为 ( 0)kk? 的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A 、 B 、 Q 为 AB 的中点，且 3(0, )3P ? . 问： A 、 B 两点能否关于直线 PQ 对称 . 若能，求出 k 的取值范围；若不能，请
