1、 1 2017-2018 学年度第一学期高二级第一次教学质量检测 数学（理）试卷 本试题共 3页， 22小题，满分 150分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1 答卷前，考生务必用黑色 字迹 的钢笔或签字笔将自己的姓名和 班别 、 学号、 试室号、座位号填写在答题卡上。 2答案 必须用黑色字迹钢笔或签字笔 作答，必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动 ，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求 作答 的答案 无效。 3 考生必须保持答题卡 的 整洁。考试结束后，将答题卡交回 ，自己妥善保管好试卷 。 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题
2、 5 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 | 3 0 , 3 , 2 , 1 , 0 ,1 M x x N? ? ? ? ? ? ? ?，则 MN?( ) A 2, 1,0,1? B 3, 2, 1,0? ? ? C 2, 1,0? D 3, 2, 1? ? ? 2 函数 ( ) sin 23f x x?，则 ()2f ? ? ( ) A 32 B 32? C 12 D 12? 3 51? 与 51? ，两数的等比中项为 （ ） A. 2? B.2 C. 4? D. 4 4 已知锐角 ABC? 的面积为 6， 6, 4BC CA?，则角
3、 C 的大小为（ ） A. 75 B. 60 C. 45 D.30 5数列 na 的 前 n 项之和为 2 2nS n n?，那么 6a? （ ） A 11 B 12 C 13 D 14 6 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 2 2 2 2b a c ac? ? ? ，则角 B （ ） A 150 B 135 C 120 D 60 7 已知等差数列 na ， 3412aa? ? ， 7840aa? ，则此数列前 10 项之和为 （ ） A 210 B 140 C 70 D 280 8 在 50米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为 30 ，
4、60 ，则塔高为 （ ） A 2003 米 B 200 33 米 C 10033 米 D 1003 米 2 9 已知 na 是公差为 1的等差数列， nS 为 na 的前 n 项和，若 844SS? ，则 9a? （ ） A 172 B 192 C 10 D 12 10 在正项等比数列 na 中， 4 7 1 0lg lg lg 3a a a? ? ?，则 113aa 的值是（ ） A.1000 B. 100 C. 10 D. 1 11 已知数列 na 满足 130nnaa? ?，3 49a?，则 na 的前 9项和等于（ ） A 96(1 3 )? B 91(1 3)9 ? C 93(1 3
5、 )? D 93(1 3 )? 12 数列 ?na 前 n 项和为 nS ，已知1 23a?，且对任意正整数 m 、 n ，都有 m n m na a a? ?，若 nSa? 恒成立 ， 则实数 a 的最 大 值为（ ） A.12 B.23 C.32 D.2 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20 分 . 13 数列 na 中， 111, 3nna a a? ? ?，则 5a = 14 已知 ABC 中， 3AB? ， 4AC? ， 6BC? ，那么 BC 边上的高等于 15 数列 na 中，已知 26 2nan?，则使其 前 n 项和 nS 取最大值时的 n 值等于 _ 16
6、 ABC 中， 角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 ? ?2 c o s c o sb c A a C?，则?Acos _ 三、解答题 ： 本大题共 6小题，满分 70分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 17. （本小题满分 10分） 已知 na 为等差数列，且 2 8a? ， 7 2a? 。 （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）若等比数列 nb 满足 2 1 2 3b a a a? ? ? ， 3 72b? ,求数列 nb 的前 n项和。 18. （本小题满分 12分） 在 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c
7、 ， 若 06 0 , 3 , 2A a b? ? ?。 （ 1）求 B? ； （ 2）求 c 的长度。 3 19.（本小题满分 12分） 如图， A， B是海面上位于东西 方向相距 ? ?5 3 3? 海里的两个观测点，现位于 A点北偏东 45， B点北偏西 60的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60且与 B点相距 203 海里的 C点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里 /小时，该救援船到达 D点需要多长时间？ 20. （本 小 题满分 12分） 设 ABC? 的内角 CBA 、 所对的边分别为 cba 、 .已知 1?a ， 2?b ， 41cos ?C . （
8、 1）求 ABC? 的周长； （ 2）求 ? ?sin AC? 的值 . 21. （本小题满分 12分） 已知等比数列 ?na 的公比 1q? ,且 1a 与 6a 的一等比中项为 82,3a 与 4a 的等差中项为 12. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 21()nnnbaa?，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。 22（本小题满分 12分） 数列 ?na 的前 n 项和是 nS ，且 1 12nnSa? （ 1） 求证：数列 ?na 是等比数列，并求 ?na 的通项公式； （ 2）设 nnb na? ，求 数列 ?nb 的前 n 项和是 nT 。 2017-2018学年
9、度第一学期高二级第一次教学质量检测数学（理）试卷答案 4 一、选择题 11.【答案】 D 【解析】 130nnaa? ?， 1 13nnaa? ?. 数列 na 是以 13? 为公比的等比数列 .3 49a?， 1 4a? . 99914 1 ( ) 3 3 (1 3 )11 3S ? ? ?.故选 D. 二、填空题： 13 13 14 45512 15 12或 13 16 12 16.解析： ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sB C A A C? ? ? ?,即 2 s i n c o s s i n ( ) s i nB A A C B? ? ? ?,
10、1cos .2A? 三、解答题（ 本大题共 6小题，满分 70分） . 17. （本小题满分 10 分） 解：（ 1）设等差数列 na 的公差 d 。因为 2 8a? ， 7 2a? ，所以 11862adad? ? ? （ 3分 ） 解得 1 10, 2ad? ? ，所以 1 0 ( 1 ) 2 2 1 2na n n? ? ? ? ? ? ? （ 5分 ） （ 2）设等比数列 nb 的公比为 q ，因为 2 1 2 3 32 4 , 7 2b a a a b? ? ? ? ? ? ?，所以 24 72q? ， 即 q =3 由 21b bq? ， 即 124 3b? ， 故 1 8b? ?
11、 （ 8分 ） 所以 nb 的前 n 项和为 1 (1 ) 4 (1 3 )1n nn bqS q? ? ? （ 10 分 ） 18. （本小题满分 12 分） 解：（ 1）由正弦定理， sin sinabAB? ， 0s in 2 s in 6 0 2s in23bAB a? ? ? ?（ 3分） 00, , ( 0 , 6 0 )b a B A B? ? ? ? ? ? ? 045B? ? ?（ 6分） （ 2）法一：由余弦定理， 2 2 2 2 c o sa b c bc A? ? ? ?（ 8分） 即 2 2 2 1( 3 ) ( 2 ) 2 2 2cc? ? ? ? 262c ? ?
12、（ 10 分） 显然 2602c ?应舍去， 故 262c ? ? ?（ 12分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A D C B C D A B D B 5 法二：由余弦定理， 2 2 2 2 c o sb a c ac B? ? ? ?（ 8分） 即 2 2 2 2( 2 ) ( 3 ) 2 3 2cc? ? ? ?， 622c ? ?（ 10分） 0 0 0 01 8 0 6 0 4 5 7 5CA? ? ? ? ? ? ?， 3ca? ? ? 622c ? ?（ 12分） 法三：由（ 1）， 0 0 0 0180 60 45 75C? ? ?
13、? ?（ 8分） 0 0 0 0 0 0 0c o s c o s 7 5 c o s ( 4 5 3 0 ) c o s 4 5 c o s 3 0 s i n 4 5 s i n 3 0C? ? ? ? ? ? 2 3 2 1 6 22 2 2 2 4? ? ? ? ?（ 10分） 据余弦定 理， 2 2 2 2 c o sc a b ab C? ? ? ?（ 11 分） 即 2 2 2 62( 3 ) ( 2 ) 2 3 2 2c ? ? ?，故 2623 2c ? ? ? ?（ 12分，写成 23c?不扣分） 19. （本小题满分 12 分） 解：由题意知 3)AB=5(3+ 海里，
14、9 0 6 0 3 0 , 4 5 ,D B A D A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 105ADB? ? ?（ 3分） 在 DAB? 中，由正弦定理得 s in s inD B ABD AB AD B? s i n 5 ( 3 3 ) s i n 4 5 5 ( 3 3 ) s i n 4 5s i n s i n 1 0 5 s i n 4 5 c o s 6 0 s i n 6 0 c o s 4 5A B D A BDB A D B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 5 3 (1 3 ) 1 0 3(1 3 )2? ?（海里），
15、?（ 7 分 ） 又 3 0 ( 9 0 6 0 ) 6 0 , 2 0 3D B C D B A A B C B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?海里 ， 在 DBC? 中 ， 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sC D B D B C B D B C D B C? ? ? ? ? ?= 13 0 0 1 2 0 0 2 1 0 3 2 0 3 9 0 02? ? ? ? ? ?（ 11分 ） 6 CD?30（海里），则需要的时间 30 130t?（小时）。 答：救援船到达 D点需要 1小时。 ?（ 12分） 注：如果认定 DBC? 为直角三角形，根据勾股定理正确
16、求得 CD， 同样给分。 20. （本小题满分 12 分） 解： （ 1） 441441c o s2222 ? Cabbac 2?c ABC? 的周长为 5221 ? cba .?（ 4分） （ 2） 41cos ?C ，415411c o s1s i n22 ? CC， ?（ 5分） 8152415s ins in ? c CaA ?（ 7分） ca? ， CA? ,故 A 为锐角， ?（ 8分） 878151s i n1c o s22 ? AA ?（ 10分 ） ? ?sin AC? s in c o s c o s s inA C A C? 1 5 1 7 1 5 3 1 58 4 8
17、4 1 6? ? ? ? ? ?. ?（ 12 分） 21. （本小题满分 12分） 解 : （ 1）由题意得 23 4 1 634( 8 2 ) 1 2 82 1 2 2 4a a a aaa? ? ? ? ? ? ? ? ?,解得 34816aa? ?或 34168aa? ?（ 3分） 由公比 1q? ,可 得 348, 16,aa? 43 2aq a?.?（ 4分） 故数列 ?na 的通项公式为 33 2.nnna a q ?（ 5分） （ 2）由（ 1）知 2 221 1 12 4 24nn n nnnnb a aaa? ? ? ? ? ? ? ?（ 7分） 因此 ? ?221 1 14 4 . . . 4 . . . 24 4 4nn nTn? ? ? ? ? ? ? ?（ 8分）11(1 )4 (1 4 ) 44 2114 14n n n? ? ? ?（ 11 分） ? ?11 4 4 2 13 nn n? ? ? ?（ 12 分） 7 22. （本小题满分 12 分） 解： （ 1）当 1n? 时， 11aS? ，由111 12Sa?，得1 23a? ?（ 2分） 当 2n? 时， 11 2nnSa?，1111 2nnSa?， ?（ 3分） 111= ( ) 2n n n nS S a a?，即11 ()2n n na a a?11=3nnaa?
