1、第二十二章 四边形四边形22.5 菱形第2课时1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）学习目标学习目标复习引入问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形的性质：1.轴对称图形.2.四边相等.3.对角线互相垂直平分.ABCD思考：通过菱形的定义我们可以确定四边形是否为菱形，那么还有其他的判定方法吗？菱形的判定定理1一小刚小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B,D,依次 连接A、B、C、D四点.已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对
2、角线吗？CABD想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？2.怎么验证四边形ABCD是菱形？提示：AB=BC=CD=AD12合作探究证明：AB=BC=CD=AD;AB=CD,BC=AD.四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,四边形ABCD是菱形.ABCD已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.四条边相等的四边形是菱形.定理定理证明下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C练一练例1.如图，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC
3、于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.ABCDEF123解：四边形AEDF是菱形.理由如下：DE AC，DFAB 四边形AEDF是平行四边形 2=3 AD是ABC的角平分线 1=2 1=3，AE=DE 四边形 AEDF是菱形典例精析2例2：已知：如图,在ABC中,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF证明：1=2,又又AE=AC,ACD AED(SAS).同理同理ACFAEF(SAS).CD=ED,CF=EF.又EF=ED,四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1菱形的判定定理2二合作探究 用一长一短
4、两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCOD已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O，ACBD.求证：ABCD是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形.OA=OC.又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC.四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理定理证明 下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC与BD互相平分,ACBDB.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=C
5、D,AC BDD.AB=CD,AD=BC,AC BDABCODC练一练 1.直接根据“四边相等”判定四边形是菱形.2.先判定四边形是平行四边形，再判定四边形是菱形；方法例3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形 ABCDEFO12证明:四边形ABCD是平行四边形,AEFC.1=2.EF垂直垂直平分AC,AO=OC.又AOE=COF，AOECOF，EO=FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边形AFCE是菱形.例4.如图，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的长.解:四边形ABCD为平行四
6、边形，DAO是直角三角形.DOA=90，即DBAC.平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直 的平行四边形是菱形）OAAC,ODBD.113422又 AD=5，满足 ADOAOD 222 AB=AD=5.请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB四边形ABCD是菱形，为什么？DCBA分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.EF由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证ABEADF，即得AB=AD.请补充完整的证明过程当堂练习当堂练习1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线
7、互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形 2.如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60 B解析：将ABC沿BC方向平移得到DCE，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形故选：BABCDOE3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC,CE BD.求证：四边形OCED是菱形证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD
8、是矩形，OC=OD，四边形OCED是菱形 4.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形BCADOEMN【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.再结合CEAB，可证得ADOCEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形.再结合AOD=90可证得四边形ADCE为菱形 证明：MN是AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形又AOD=90，四边形ADCE是菱形 课堂小结课堂小结有一组邻边相等的平行四边形是菱形.定理2：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.定理1：四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明.菱形的判定定义定理
