1、22.522.5菱形菱形第二十二章四边形第二十二章四边形第第2 2课时菱形的判定课时菱形的判定逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学习目标学习目标课时讲解1课时流程2u由对角线的位置关系判定菱形由对角线的位置关系判定菱形u由边的关系判定菱形由边的关系判定菱形课时导入课时导入想一想：想一想：1.菱形、矩形的定义？菱形、矩形的定义？2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？它们分别比平行四边形多了哪些性质？3.怎样判定一个四边形是矩形？怎样判定一个四边形是矩形？旧知回顾旧知回顾 矩形矩形 菱形菱形定义定义性性质质边边角角对对角角线线判定判定有一角是有一角是直角直角的平的平行四边形叫做矩
2、形行四边形叫做矩形.有一组有一组邻边相等邻边相等的平的平行四边形叫做菱形行四边形叫做菱形.平行四边形的性质平行四边形的性质四条边都相等四条边都相等四个角都是直角四个角都是直角相等相等互相垂直且平分每一组互相垂直且平分每一组对角对角有一角是直角的平行四边形有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形三个角都是直角的四边形课时导入课时导入探究新知探究新知同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们是如何到的它们的判定方法和矩形的判定时，我们是如何到的它们的判定方法呢？那么类比着它们，菱形的判定方法
3、是什么？呢？那么类比着它们，菱形的判定方法是什么？知识点知识点由对角线的位置关系判定菱形由对角线的位置关系判定菱形知知1 1讲讲感悟新知感悟新知11.用一长一短两根细木条用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形皮筋，做成一个四边形.2.任意转动木条，这个四边形任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形
4、？你能证明你的猜想吗？形？你能证明你的猜想吗？知知1 1讲讲感悟新知感悟新知猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.这个命题的前提是什么？结论是什么？这个命题的前提是什么？结论是什么？用几何语言表示命题如下：用几何语言表示命题如下：已知：在已知：在ABCD中，对角线中，对角线ACBD，求证：求证：ABCD是菱形是菱形.分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由，由AOB=AOD=90及及AO=AO，得，得AOB AOD，可得到可得
5、到AB=AD(或根据线段垂直平分线性质定理或根据线段垂直平分线性质定理,得到得到AB=AD)，最后证得，最后证得ABCD是菱形是菱形.知知1 1讲讲归归 纳纳感悟新知感悟新知对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：提示：此方法包括两个条件此方法包括两个条件(1)是一个平行四边形；是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知例1如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交相交于点于点O，过点，过点O作直线作直线EF
6、BD，分别交，分别交AD，BC于点于点E和点和点F，连接，连接BE，DF.求证：四边形求证：四边形BEDF是菱形是菱形知知1 1讲讲感悟新知感悟新知导引：导引：若要证明四边形若要证明四边形BEDF是菱形，是菱形，需要先证明四边形需要先证明四边形BEDF是平行四边形，而由题意是平行四边形，而由题意易知易知DEBF，只需要证明，只需要证明DEBF，即可判定四，即可判定四边形边形BEDF是平行四边形，证明是平行四边形，证明DEBF可通过证可通过证明明OED OFB来实现来实现知知1 1讲讲感悟新知感悟新知证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OBOD，ADBC.EDOFBO，O
7、EDOFB.OED OFB.DEBF.又又DEBF，四边形四边形BEDF是平行四边形是平行四边形.EFBD，四边形四边形BEDF是菱形是菱形知知1 1讲讲归归 纳纳感悟新知感悟新知证明一个四边形是菱形时，若已知要证的四证明一个四边形是菱形时，若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形形是平行四边形知知1 1练练感悟新知感悟新知1.已知：如图，在已知：如图，在 ABCD中，中，O为对角线为对角线AC的中的中点，过点点，过点O作作AC的垂线与边的垂线与边AD，BC分别交于点分别交于点E，F.求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形
8、是菱形.知知1 1练练感悟新知感悟新知证明：证明：O为为AC的中点，的中点，EFAC，AEEC，AFFC，在，在 ABCD中，中，ADBC，AEOCFO，EAOOCF，在在AEO与与CFO中，中，AEO CFO，AECF.AEECCFFA.四边形四边形AFCE是菱形是菱形AEOCFOEAOOCFAO OC，知知1 1练练感悟新知感悟新知2.【中考中考海南海南】如图，四边形如图，四边形ABCD是轴对称图形，是轴对称图形，且直线且直线AC是对称轴，是对称轴，BD与与AC交于点交于点O，ABCD，则下列结论：，则下列结论：ACBD；ADBC；四边形四边形ABCD是菱形；是菱形；ABD CDB.其中正
9、确的是其中正确的是_(只填写序号只填写序号).知知1 1练练感悟新知感悟新知3.【中考中考泰安泰安】如图，四边形如图，四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，点点E是边是边CD上一点，且上一点，且BCEC，CFBE交交AB于点于点F，P是是EB延长线上一点，下列结论：延长线上一点，下列结论：BE平分平分CBF；CF平分平分DCB；BCFB；PFPC，其中正确结论的个数为其中正确结论的个数为()A1B2C3D4C感悟新知感悟新知知识点知识点由边的关系判定菱形由边的关系判定菱形2知知2 2讲讲如图，画两条等长的线段如图，画两条等长的线段AB，AD.分别以点分别以点B，D为圆心，为圆心，AB为半径
10、画弧，两弧相交于点为半径画弧，两弧相交于点C连接连接BC，CD.得到四边形得到四边形ABCD.四边形四边形ABCD是菱形吗？是菱形吗？感悟新知感悟新知知知2 2讲讲事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形.现在，我们来证明这个结论现在，我们来证明这个结论.已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形是菱形求证：四边形是菱形.证明：证明：AB=CD.且且BC=AD，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.又又AB=AD.四边形四边形ABCD是菱形是菱形.知知2 2讲讲归归 纳纳感悟新知感悟新知四条边相等
11、的四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形.感悟新知感悟新知例2知知2 2讲讲已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAC，交，交AB于点于点E，DFAB，交，交AC于点于点F.求证：四边形求证：四边形AEDF是菱形是菱形.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲解：解：DEAC，DFAB，四边形四边形AEDF是平行四边形是平行四边形.1=3.又又1=2，2=3.AE=DE.四边形四边形AEDF是菱形是菱形.知知2 2讲讲归归 纳纳感悟新知感悟新知能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等
12、来证明四形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四边形是菱形边形是菱形.知知2 2练练感悟新知感悟新知1.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，画出点，画出点A关于关于BC的的对称点对称点A.请用两种不同的方法证明四边形请用两种不同的方法证明四边形ABAC是菱形是菱形.解：略解：略知知2 2练练感悟新知感悟新知2.如图，如图，E是菱形是菱形ABCD的边的边AD的中点，的中点，EFBD于点于点H，交，交BC延长线于点延长线于点F，交，交DC于于点点G.求证：求证：DC与与EF互相平分互相平分.证明：连接证明：连接AC，则，则ACBD，又因为又因为EFBD，ACEF.E是是AD的中点，的中
13、点，G是是DC中点中点易得易得DEG CFG，EGFG，DC与与EF互相平分互相平分知知2 2练练感悟新知感悟新知3.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是菱形，两条对角是菱形，两条对角线交于点线交于点O，DE为为ADB的平分线，交的平分线，交AC于于点点E，DF为为CDB的平分线，交的平分线，交AC于点于点F，连，连接接BE，BF.求证：四边形求证：四边形DEBF是菱形是菱形.知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AC、BD是其两条是其两条对角线，对角线，EF垂直平分垂直平分DB，EDEB，DFBF.DE、DF分别平分分别平分ADB，CDB，A
14、DBCDB，ADECDF.在在ADE和和CDF中，中，ADE CDF，DEDF，DEDFBEBF.四边形四边形DEBF是菱形是菱形ADECDFAD CDDAE DCF，知知2 2讲讲感悟新知感悟新知如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，ABCD，点点E，F，G，H分别是分别是AD，BD，BC，AC的中的中点试说明：四边形点试说明：四边形EFGH是菱形是菱形例3知知2 2讲讲感悟新知感悟新知导引：由于点导引：由于点E，F，G，H分别是分别是AD，BD，BC，AC的中点，可知的中点，可知EH，HG，GF，FE分别是分别是ACD，ABC，BCD，ABD的中位线，又的中位线，又ABCD
15、，EHHGGFFE，根据根据“四条边相等的四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形”可得四边形可得四边形EFGH是菱形是菱形知知2 2讲讲感悟新知感悟新知解：解：点点E，H分别为分别为AD，AC的中点，的中点，EH为为ACD的中位线，的中位线，EHCD.同理可证：同理可证：EFAB，FGCD，HGAB.ABCD，EHEFFGHG，四边形四边形EFGH是菱形是菱形12121212知知2 2讲讲归归 纳纳感悟新知感悟新知有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形注意：本例也四条边相等来证明这个四边形是菱形注意：本例也可以通过先证
16、四边形可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试知知2 2练练感悟新知感悟新知1.如图在如图在 ABCD中，中，D=60，以顶点，以顶点A为圆心，为圆心，AB为半径画弧，交为半径画弧，交BC于点于点E，交，交AD于点于点F.请你指请你指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形.解：解：ABE，AEF是等腰三角形是等腰三角形四边形四边形ABCD、四边形、四边形ABEF、四边、四边形形CDFE是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形ABEF是菱形是菱形
17、知知2 2练练感悟新知感悟新知2.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，BAD=60，M为为AB中点，中点，P为对角线为对角线AC上的一个动点，上的一个动点，PM+PB的最小值是的最小值是3.求求AB的长的长.知知2 2练练感悟新知感悟新知解：作点解：作点M关于关于AC对称的点对称的点M，则，则M在边在边AD上上且且M为为AD的中点，连接的中点，连接BM，易得，易得BM的长为的长为PMPB的最小值，的最小值，BM3.连接连接BD，ABAD，BAD60，ABD为等边三角形为等边三角形ABM30，AMB90，AMAB，AB2AM2BM29，AB2.123知知2 2练练感悟新知感悟新知3.如图，绿
18、丝带下部重叠部分是什么图形？请如图，绿丝带下部重叠部分是什么图形？请说明理由说明理由.解：菱形解：菱形.理由略理由略知知2 2练练感悟新知感悟新知4.如图，四边形如图，四边形ABCD的对角线的对角线AC，BD互相互相垂直，则下列条件能判定四边形垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形为菱形的是的是()ABABCBAC，BD互相平分互相平分CACBDDABCDB知知2 2练练感悟新知感悟新知5.【中考中考河南河南】如图，在如图，在 ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，添加下列条件不能判定，添加下列条件不能判定 ABCD是是菱形的只有菱形的只有()AACBDBABBCCAC
19、BDD12C知知2 2练练感悟新知感悟新知6.如图，将如图，将 ABCD沿沿AE翻折，使点翻折，使点B恰好落在恰好落在AD上的点上的点F处，则下列结论不一定成立的是处，则下列结论不一定成立的是()AAFEFBABEFCAEAFDAFBEC知知2 2练练感悟新知感悟新知7.如图，在如图，在ABC中，点中，点D是边是边BC上的点上的点(与与B，C两点不重合两点不重合)，过点，过点D作作DEAC，DFAB，分别交，分别交AB，AC于于E，F两点，下列说法正确的是两点，下列说法正确的是()A若若ADBC，则四边形，则四边形AEDF是矩形是矩形B若若AD垂直平分垂直平分BC，则四边形，则四边形AEDF是
20、矩形是矩形C若若BDCD，则四边形，则四边形AEDF是菱形是菱形D若若AD平分平分BAC，则四边形，则四边形AEDF是菱形是菱形D知知2 2练练感悟新知感悟新知8.如图，四边形如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为的四边相等，且面积为120cm2，对角线，对角线AC24cm，则四边形，则四边形ABCD的的周长为周长为()A52cmB40cmC39cmD26cmA知知2 2练练感悟新知感悟新知9.如图，在如图，在ABC中，中，AD是角平分线，是角平分线，DEAC交交AB于点于点E，DFAB交交AC于点于点F.如果如果AE4cm，那么四边形那么四边形AEDF的周长为的周长为()A12cmB16c
21、mC20cmD22cmB知知2 2练练感悟新知感悟新知10.如图，分别以如图，分别以RtABC的斜边的斜边AB和直角边和直角边AC为边为边向向ABC外作等边三角形外作等边三角形ABD和等边三角形和等边三角形ACE，F为为AB的中点，的中点，DE与与AB交于点交于点G，EF与与AC交于点交于点H，BAC30.给出以下结论：给出以下结论：EFAC；四边形；四边形ADFE为菱形；为菱形；AD4AG;FHBD.其中正确的结论是其中正确的结论是()ABCD14C课堂小结课堂小结菱形的判定菱形的判定一组邻边相等一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直四条边相等四条边相等五种判定方法五种判定方法四边形四边形平行四边形平行四边形菱形菱形菱形的判定方法：菱形的判定方法：必做必做:请完成教材课后习题请完成教材课后习题补充补充:课后作业课后作业作业作业1 1作业作业2 2
