1、第二十二章第二十二章 四边形四边形22.5 22.5 菱形菱形第第1 1课时课时 菱形及其性质菱形及其性质1课堂讲解课堂讲解u菱形及其对称性菱形及其对称性u菱形边的性质菱形边的性质u菱形对角线的性质菱形对角线的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行殊的平行四边形
2、，我们已经研究了一种特殊的平行四边形四边形矩形矩形；这堂课还要研究另一种特殊的平；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形行四边形菱形菱形.两组对边两组对边分别平行分别平行平行平行四边形四边形矩形矩形菱形菱形有一个角有一个角是直角是直角有一组邻有一组邻边相等边相等1知识点知识点菱形及其对称性菱形及其对称性1.在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？哪些关系没变？哪些关系变了？知知1 1讲讲 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等菱形菱
3、形如果改变了边的长度，使如果改变了边的长度，使两邻边相等两邻边相等，那么这个平行，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？四边形成为怎样的四边形？归归 纳纳知知1 1讲讲定义：定义：有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形.AB=BC平行四边形平行四边形ABCD四边形四边形ABCD是菱形是菱形知知1 1讲讲1.如图，将一个菱形纸片如图，将一个菱形纸片ABCD按图示方法折叠后，按图示方法折叠后，再展开：再展开：(1)说明两条折痕的交点说明两条折痕的交点O恰为菱形的中心恰为菱形的中心.(2)菱形菱形ABCD是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形，是轴对称图形吗？如果它是轴对称图
4、形，那么它有几条对称轴，都是那些直线？那么它有几条对称轴，都是那些直线？归归 纳纳知知1 1讲讲菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.（来自教材）（来自教材）知知1 1讲讲例例1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，CD平分平分ACB交交AB于点于点D，DEAC交交BC于点于点E，DFBC交交AC于于点点F.四边形四边形DECF是菱形吗？为什么？是菱形吗？为什么？因为因为DEFC，DFEC，所，所以四边形以四边形DECF为平行四边为平行四边形，再根据有一组邻边相等形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可的平行四边形是菱形求证即可导引：导引：知
5、知1 1讲讲四边形四边形DECF是菱形理由如下：是菱形理由如下：DEFC，DFEC，四边形四边形DECF为平行四边形为平行四边形 由由ACDE，知，知23.CD平分平分ACB，12，13，DEEC，平行四边形平行四边形DECF为菱形为菱形(有一组邻边相等的平有一组邻边相等的平 行四边形是菱形行四边形是菱形)解：解：总总 结结知知1 1讲讲 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法以作为菱形的判定方法知知1 1练练如图，若要使如图，若要使 ABCD成为菱形，则需要添加的成为菱形，则需要添加的条件是条件是()AABCD BADAC CABBC D
6、ACBD1C知知1 1练练2如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D是是BC上一点，上一点，DEAC交交AB于点于点E，DFAB交交AC于点于点F，要，要使四边形使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是是菱形，只需添加的条件是()AADBC BBADCADCBDDC DADBDB知知1 1练练3菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为()A2条条 B4条条 C6条条 D8条条A知知1 1练练4如图，如图，O是菱形是菱形ABCD的对角线的对角线AC，BD的交点，的交点，E，F分别是分别是OA，OC的中点，下列结论：的中点，下列结论：SADESEOD；四边形四边形BF
7、DE是轴对称图形；是轴对称图形；DEF是轴对称图形；是轴对称图形；ADEEDO.其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个C2知识点知识点菱形边的性质菱形边的性质知知2 2导导 菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还具有哪些特殊性质呢具有哪些特殊性质呢?观察图所示，根据菱形的轴对观察图所示，根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?归归 纳纳知知2 2导导菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等.知知2 2讲讲例例2 如如图所示，菱形图所示，菱形ABCD中，中，B60，AB2，E
8、、F分别是分别是BC、CD的中点，连接的中点，连接AE、EF、AF，则，则AEF的周长为的周长为()A B C D3 在菱形在菱形ABCD中，因为中，因为B60，连接，连接AC，则，则ABC是是等边三角形，又因为等边三角形，又因为E分别是分别是BC的中点，的中点，所以所以AE垂直于垂直于BC，因此，因此AE ，所以，所以AEF的周长为的周长为 ，故选，故选B.分析分析：B2 33 34 3 F A D E B C22133 3总总 结结知知2 2讲讲 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解来做题，能够迎刃而解.1 菱形菱形OAB
9、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC=45，OC=求点求点B的坐标的坐标.知知2 2练练（来自教材）（来自教材）过点过点B作作BDOA，垂足为，垂足为D.由题意可知由题意可知BADAOC45，ABOAOC ，所以所以ADBD1.所以所以B点的坐标为点的坐标为(1，1)222解：解：知知2 2练练如图，菱形如图，菱形ABCD的边长为的边长为2 cm，E为为AB的中的中 点，且点，且DEAB.求菱形求菱形ABCD的面积的面积.2连接连接BD，AB2 cm，E为为AB的中点，的中点，AE AB1 cm.在在RtAED中，中，DE (cm)S菱形菱形ABCD2S
10、ABD2 2 2 (cm2)122222213ADAE1233解：解：知知2 2练练边长为边长为3 cm的菱形的周长是的菱形的周长是()A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm3C知知2 2练练4【中考中考兰州兰州】如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分别为，垂足分别为E，F，连接，连接EF，则，则AEF的面积是的面积是()A4 B3 C2 D.3333B知知2 2练练5【中考中考重庆重庆】如图，在边长为如图，在边长为6的菱形的菱形ABCD中，中，DAB60，以点，以点D为圆心，菱形的高为圆心，菱形的高DF为为半径画弧，交半径画弧，交AD于
11、点于点E，交，交CD于点于点G，则图中，则图中阴影部分的面积是阴影部分的面积是()A18 9 B183C9 D18 3392 33A知知2 2练练6【中考中考鄂州鄂州】如图，菱形如图，菱形ABCD的边的边AB8，B60，P是是AB上一点，上一点，BP3，Q是是CD边上一动边上一动点，将梯形点，将梯形APQD沿直线沿直线PQ折叠，折叠，A的对应点为的对应点为A.当当CA的长度最小时，的长度最小时，CQ的长为的长为()A5 B7 C8 D.132B3知识点知识点菱形对角线的性质菱形对角线的性质知知3 3导导 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所
12、有性质所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？四边形不具有的一些特殊性质呢？思考思考菱形的两条对角线菱形的两条对角线AC与与BD之间具有什么位置关系之间具有什么位置关系?归归 纳纳知知3 3导导 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究究.可以发现并证明可以发现并证明(请你自己完成证明请你自己完成证明)，菱形还有以，菱形还有以下性质：下性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角平分一组对角.知知3 3导导问问
13、题题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单时，要灵活运用使计算简单.知知3 3讲讲例例3 如如图，菱形图，菱形ABCD的周长为的周长为16 cm，ABC=120.求对角线求对角线BD和和AC的长的长.（来自教材）（来自教材）AB+BC+CD+AD=16 cm，AB=BC=CD=AD=4(cm).BD平分平分ABC，ABC=120，ABD=60.ABD是等边三角形是等边三角形.BD=AB=4
14、 cm.在在RtAOB中，中，OB=2 cm，222242122 3(cm),AOABOB24 3(cm).ACAO1164 解：解：总总 结结知知3 3讲讲 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算计算如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AC，BD为对角线，为对角线，BAC=50.求菱形求菱形ABCD各内角的度数各内角的度数.知知3 3练练1（来自教材）（来自教材）在菱形
15、在菱形ABCD中，中，BAC50，BAD2BAC100.ADBC，BADABC180，ABC80.ADC80，BCD100.解：解：在菱形在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC=8，BD=6.求菱形的周长求菱形的周长.知知3 3练练2（来自教材）（来自教材）解：解：由题意易知菱形的边长为由题意易知菱形的边长为 5，所以周长为所以周长为4520.2243 如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点O，且且AC=6 cm，BD=8 cm，AEBC，垂足为，垂足为E.求求AE的长的长.知知3 3练练3（来自教材）（来自教材）知知3 3练练（来自教材）（来自教材）在菱形在菱
16、形ABCD中，中，AC6 cm，BD8 cm，OA AC3 cm，OB BD4 cm.在在RtAOB中，中，AB 5 cm.BC5 cm.SABC ACOB BCAE，AE (cm)22OAOB 121212126 42455AC OBBC 解：解：知知3 3练练（来自教材）（来自教材）如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，A，B两点的坐标分两点的坐标分别为别为(0，4)，(-3，0).求点求点 D，C的坐标的坐标.4A(0，4)，B(3，0)，OA4，OB3，AB 5.ADBCAB5.D点的坐标为点的坐标为(0，1)，C点的坐标为点的坐标为(3，5)22OAOB 解：解：知知3 3
17、讲讲如如图图，菱形花坛菱形花坛ABCD的边长为的边长为20 m，ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小，沿着菱形的对角线修建了两条小路路AC和和BD.求两条小路的长求两条小路的长(结果保留小数点后结果保留小数点后两位两位)和花坛的面积和花坛的面积(结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位).例例4 花坛花坛ABCD的形状是菱形，的形状是菱形，ACBD，ABO=ABC=60=30.在在RtOAB中，中，AO=AB=20=10，花坛的两条小路长花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20 34.64(m).花坛的面积花坛的面积S四边形四边形ABCD=4SOAB =ACBD=20
18、0 346.4(m2).知知3 3讲讲122222201010 3.BOABAO3解：解：121212312总总 结结知知3 3讲讲菱形的面积有三种计算方法：菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半两条对角线乘积的一半说明：说明：读者可利用读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应两种方法试一试；注意应 用用(3)这种方法时不要忽视这种方法时不要忽视“一半一半”已知菱形的边长和一条对角线的长均为已知菱形的边长和一条
19、对角线的长均为2 cm.求这个菱形的面积求这个菱形的面积.知知3 3练练1（来自教材）（来自教材）解：解：由题意易知菱形的另一条对角线的长为由题意易知菱形的另一条对角线的长为 cm，所以该菱形的面积为所以该菱形的面积为 (cm2)2 312 322 32知知3 3练练（来自教材）（来自教材）如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，延长，延长AB至点至点E，使，使BE=BC，连接，连接CE.(1)求证：求证：BD=EC.(2)求证：求证：S菱形菱形ABCD=SAEC2知知3 3练练（来自教材）（来自教材）(1)在菱形在菱形ABCD中，中，ABCD，即即BECD，BCCD，
20、BEBC，BECD，四边形四边形BECD为平行四边形为平行四边形BDEC.(2)由题意易知由题意易知SADCSABCSBEC.S菱形菱形ABCDSADCSABC，SAECSABCSBEC，S菱形菱形ABCDSAEC.解：解：3【中考中考益阳益阳】下列性质中菱形不一定具有的性下列性质中菱形不一定具有的性质是质是()A对角线互相平分对角线互相平分B对角线互相垂直对角线互相垂直C对角线相等对角线相等D既是轴对称图形又是中心对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形知知3 3练练C知知3 3练练4【中考中考南充南充】已知菱形的周长为已知菱形的周长为4 ，两条对，两条对角线的和为角线的和为6，则菱形的面积为
21、，则菱形的面积为()A2 B.C3 D455D5【中考中考长沙长沙】如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC，BD的长分别为的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长，则这个菱形的周长为为()A5 cm B10 cm C14 cm D20 cm知知3 3练练D1知识小结知识小结菱形的菱形的 两条对角线互相平分两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。每一条对角线平分一组对角。菱形菱形的性的性质质【中考中考杭州杭州】在菱形在菱形ABCD中，中，A30.在同一平面在同一平面内，以对角线内，以对角线BD为底边作顶角为为底边作顶角为120的等腰三角形的等腰三角形BDE，则，则EBC的度数为的度数为_2易错小结易错小结45或或105易错点：易错点：考虑问题不全导致漏解考虑问题不全导致漏解
