1、第二十二章第二十二章 四边形四边形全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用习题课习题课 本章本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探题近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题其主要考点可概括为：综合题其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想四个图形，四个判定与性质
2、，四个技巧，两种思想1考点考点一个定理一个定理三角形的中位线定理三角形的中位线定理1如图所示，已知在四边形如图所示，已知在四边形ABCD中，中，ADBC且且AC BD，点，点E，F，G，H，P，Q分别是分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点的中点 求证：求证：(1)四边形四边形EFGH是矩形；是矩形；(2)四边形四边形EQGP是菱形是菱形(1)点点E，F，G，H分别为分别为AB，BC，CD，DA的的 中点，中点，EFAC且且EF AC，GHAC且且GH AC，EHBD，EFGH且且EFGH，四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 又又ACBD，EFEH.EFGH是矩形是矩形证明：
3、证明：1212(2)点点E，P，G，Q分别为分别为AB，AC，DC，DB的的 中点，中点，EP BC，PG AD，GQ BC，QE AD.ADBC，EPPGGQQE，四边形四边形EQGP是菱形是菱形12121212在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系线得到线段的平行关系或数量关系2如图，在如图，在ABC中，点中，点D，E，F分别是分别是AB，BC，CA的中点，的中点，AH是边是边BC上的高求证：上的高求证：(1)四边形四边形ADEF是平行四边形；是平行四边形；(2)DHFDEF.2考点考点一个一个性质性质直角直角
4、三角形三角形斜边上的中线性质斜边上的中线性质证明：证明：(1)点点D，E分别是分别是AB，BC的中点，的中点，DEAC.同理可得同理可得EFAB.四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形(2)由由(1)知四边形知四边形ADEF是平行四边形，是平行四边形，DAFDEF.在在RtAHB中，中，D是是AB的中点，的中点，DH ABAD，DAHDHA.同理可得同理可得HF ACAF，FAHFHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHFDEF.12123考点考点四个图形四个图形3【中考中考凉山州凉山州】如图，分别以】如图，分别以RtABC的直角边的直角边AC 及斜边及斜边AB为边向外作等边三
5、角形为边向外作等边三角形ACD及等边三角形及等边三角形 ABE.已知已知BAC30，EFAB，垂足为点，垂足为点F，连，连 接接DF.(1)求证：求证：ACEF；(2)求证：四边形求证：四边形ADFE是平行四是平行四 边形边形图形图形1平行四边形平行四边形证明：证明：(1)在在RtABC中，中，BAC30，AB2BC.ABE是等边三角形，是等边三角形，EFAB，AEAB，AB2AF，AFBC.在在RtBCA和和RtAFE中，中，RtBCA RtAFE(HL)，ACEF.,BCAFBAAE=(2)ACD是等边三角形，是等边三角形，DAC60，ACAD，DABDACBAC90.又又EFAB，EFA
6、90DAB.EFAD.ACEF，ACAD，EFAD.四边形四边形ADFE是平行四边形是平行四边形4如图，在如图，在 ABCD中，点中，点O是是AC与与BD的交点，过点的交点，过点O的的 直线与直线与BA的延长线，的延长线，DC的延长线分别交于点的延长线分别交于点E，F.(1)求证：求证：AOE COF.(2)连接连接EC，AF，则，则EF与与AC满足什么数量关系时，四满足什么数量关系时，四 边形边形AECF是矩形？请说明理由是矩形？请说明理由图形图形2矩矩 形形(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OAOC，ABCD，AEOCFO.在在AOE和和COF中，中，AOE
7、 COF(AAS)(2)解：解：当当ACEF时，四边形时，四边形AECF是矩形理由如下：是矩形理由如下：由由(1)知知AOE COF，OEOF.AOCO，四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 又又ACEF，四边形四边形AECF是矩形是矩形,.AEOCFOAOECOFOAOC=5如图，在如图，在ABC中，中，D，E分别是分别是AB，AC的中点，的中点，过点过点E作作EFAB，交，交BC于点于点F.(1)求证：四边形求证：四边形DBFE是平行四边形是平行四边形 (2)当当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形DBFE是菱是菱 形？为什么？形？为什么？图形图形3菱菱 形形(1)证
8、明：证明：D，E分别是分别是AB，AC的中点，的中点，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBC.又又EFAB，四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形(2)解：解：当当ABBC时，四边形时，四边形DBFE是菱形是菱形 理由：理由：D是是AB的中点，的中点，BD AB.DE是是ABC的中位线，的中位线，DE BC.又又ABBC，BDDE.又又四边形四边形DBFE是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形DBFE是菱形是菱形12126如图，已知在如图，已知在RtABC中，中，ABC90，先把，先把 ABC绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90后至后至DBE，再把，再把 ABC沿射线沿射线AB平移至
9、平移至FEG，DE，FG相交于相交于 点点H.(1)判断线段判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；(2)连接连接CG，求证：四边形，求证：四边形CBEG是正方形是正方形图形图形4正方形正方形(1)解：解：DEFG.理由如下：由题意，得理由如下：由题意，得AEDB GFE，ABCDBE90，EDBBED90.GFEBED90，FHE90，即，即DEFG.(2)证明：证明：ABC沿射线沿射线AB平移至平移至FEG.CBGE，CBGE.四边形四边形CBEG是平行四边形是平行四边形 ABCGEF90，四边形四边形CBEG是矩形是矩形 BCBE，四边形四边形CBEG是正方形是
10、正方形7如图，如图，E，F分别是分别是 ABCD的的AD，BC边上的点，且边上的点，且AE CF.(1)求证：求证：ABE CDF；(2)若若M，N分别是分别是BE，DF的中点，连接的中点，连接MF，EN，试，试 判断四边形判断四边形MFNE是怎样的四是怎样的四 边形，并证明你的结论边形，并证明你的结论判定与性质判定与性质1平行四边形平行四边形4四个判定与性质四个判定与性质考点考点(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD，AC.AECF，ABE CDF(SAS)(2)解：解：四边形四边形MFNE是平行四边形证明如下：是平行四边形证明如下：ABE CDF，AEB
11、CFD，BEDF.又又M，N分别是分别是BE，DF的中点，的中点，MEFN.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BCAD，AEBFBE.CFDFBE.EBDF，即，即MEFN.四边形四边形MFNE是平行四边形是平行四边形本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论本题已知一个四边形是平行四边形，借结论本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形一个四边形是平行四边形规律总结：规律总结：8【中考中考湘西州湘西州】如图，在】如图，在 ABCD中，中，DEA
12、B，BFCD，垂足分别为，垂足分别为E，F.求证：求证：(1)ADE CBF；(2)四边形四边形DEBF为矩形为矩形判定与性质判定与性质2矩形矩形(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AC，ADCB.又又DEAB，BFCD，DEABFC90.ADE CBF.(2)ADE CBF，AECF.CDAB，DFBE.又又CDAB，四边形四边形DEBF为平行四边形为平行四边形 又又DEB90，四边形四边形DEBF为矩形为矩形证明：证明：9如图，在如图，在ABC中，中，BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D，E 是是AB上一点，且上一点，且AEAC，EFBC交交AD于点于点F.求证：四边
13、形求证：四边形CDEF是菱形是菱形判定与性质判定与性质3菱形菱形证明：证明：如如答答图，连接图，连接CE，交，交AD于点于点O.ACAE，ACE为等腰三角形为等腰三角形AO平分平分CAE，AOCE，且，且OCOE.EFCD，21.又又DOCFOE，DOC FOE(ASA)ODOF.即即CE与与DF互相垂直且平分，互相垂直且平分，四边形四边形CDEF是菱形是菱形10如图，如图，E为正方形为正方形ABCD的边的边AB的延长线上一点，的延长线上一点，DE交交AC于点于点F，交，交BC于点于点G，H为为GE的中点的中点 求证：求证：FBBH.判定与性质判定与性质4正方形正方形四边形四边形ABCD是正方
14、形，是正方形，CDCB，DCFBCF45，DCAE，CBE90，CDFE.又又CFCF，DCF BCF.CDFCBF.CBFE.H为为GE的中点，的中点，HBHG GE.HGBHBG.CDGCGD90，CGDHGBHBG，FBGHBG90，即，即FBH90，FBBH.证明：证明：1211如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB10，BC5，点，点E，F分别在分别在AB，CD上，将矩形上，将矩形ABCD沿沿EF折叠，折叠，使点使点A，D分别落在矩形分别落在矩形ABCD外部的点外部的点A1，D1处，处，求阴影部分图形的周长求阴影部分图形的周长技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧解与四边形有
15、关的折叠问题的技巧(轴对称变换法轴对称变换法)5四个技巧四个技巧考点考点在矩形在矩形ABCD中，中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又又将矩形将矩形ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点A，D分别落在矩形分别落在矩形ABCD外部的点外部的点A1，D1处，处，根据轴对称的性质可得根据轴对称的性质可得A1EAE，A1D1AD，D1FDF.设线段设线段D1F与线段与线段AB交于点交于点M，则阴影部分的周长为，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)10
16、10101030.解：解：12如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，点，点O也也 是正方形是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的一个顶点，如果两个正方形 的边长都等于的边长都等于1，那么正方形，那么正方形ABCO绕顶点绕顶点O转转 动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规 律？请说明理由律？请说明理由技巧技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法特殊位置法)两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 .理由如下：理由如下：四边形四边形ABCD是正
17、方形，是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四边形四边形ABCO是正方形，是正方形，EOF90.EOFBOC.EOFBOFBOCBOF，即即BOECOF.BOE COF.SBOESCOF.两个正方形重叠部分的面积等于两个正方形重叠部分的面积等于SBOC.S正方形正方形ABCD111，SBOC S正方形正方形ABCD .两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 .解：解：1414141413如图，在边长为如图，在边长为10的菱形的菱形ABCD中，对角线中，对角线BD16，对角线对角线AC，BD相交于点相交于点G，点，点O是直线是直线BD上的动点
18、，上的动点，OEAB于于E，OFAD于于F.(1)求对角线求对角线AC的长及菱形的长及菱形ABCD的面积的面积 (2)如图如图，当点，当点O在对角线在对角线BD上运动时，上运动时，OEOF的的 值是否发生变化？请说明理由值是否发生变化？请说明理由 (3)如图如图，当点，当点O在对角线在对角线BD的延长线上时，的延长线上时，OEOF 的值是否发生变化？若的值是否发生变化？若 不变，请说明理由；若不变，请说明理由；若 变化，请探究变化，请探究OE，OF 之间的数量关系之间的数量关系技巧技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法固定位置法)(1)在菱形在菱形ABC
19、D中，中，AGCG，ACBD，BG BD 168，由勾股定理得由勾股定理得AG 6，所以所以AC2AG2612.所以菱形所以菱形ABCD的面积的面积 ACBD 121696.解：解：2222108ABBG-=-12121212(2)不发生变化理由如下：不发生变化理由如下：如图如图，连接，连接AO，则则SABDSABOSAOD，所以所以 BDAG ABOE ADOF，即即 166 10OE 10OF.解得解得OEOF9.6，是定值，不变，是定值，不变121212121212(3)发生变化发生变化 如图如图，连接，连接AO，则则SABDSABOSAOD，所以所以 BDAG ABOE ADOF.即即
20、 166 10OE 10OF.解得解得OEOF9.6，是定值，不变，是定值，不变 所以所以OEOF的值发生变化，的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为之间的数量关系为OEOF9.6.12121212121214如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点O在在ABC的内的内 部，部，BOC90，OBOC，D，E，F，G分分 别是别是AB，OB，OC，AC的中点的中点 (1)求证：四边形求证：四边形DEFG是矩形；是矩形；(2)若若DE2，EF3，求求ABC的面积的面积技巧技巧4解中点四边形的技巧解中点四边形的技巧(1)如图，连接如图，连接AO并延长交并延长交BC于于H，ABAC，OBOC，
21、AH是是BC的中垂线，即的中垂线，即AHBC.D，E，F，G分别是分别是AB，OB，OC，AC的中点，的中点，DGEFBC，DEAHGF.四边形四边形DEFG是平行四边形是平行四边形 EFBC，AHBC，AHEF.又又DEAH，EFDE，四边形四边形DEFG是矩形是矩形证明：证明：(2)D，E，F分别是分别是AB，OB，OC的中点，的中点，AO2DE4，BC2EF6.BOC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，OH BC3.AHOAOH437.SABC 6721.解：解：121215如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，C90，ABD CBD，ABCB，P是是BD上一点，上一点，PEBC，
22、PFCD，垂足分别为点，垂足分别为点E，F.求证：求证：PAEF.思想思想1转化思想转化思想6两种思想两种思想考点考点如图，连接如图，连接PC.PEBC，PFCD，ECF90，PECPFCECF90.四边形四边形PECF是矩形是矩形PCEF.在在ABP和和CBP中，中，ABP CBP(SAS)PAPC.PAEF.证明：证明：,ABCBABPCBPBPBP=本题运用了本题运用了转化思想转化思想将四边形中的边转化到三角形将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等中，通过用等式的传递性证明两条线段相等16阅读阅读 在平面直角坐标系中，以任意两点在平面直角坐标系中，以任意两点P(
23、x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为为端点的线段的中点坐标为 .运用运用 (1)如图，矩形如图，矩形ONEF的对角线相交于点的对角线相交于点M，ON，OF 分别在分别在x轴和轴和y轴上，轴上，O为坐标原为坐标原 点，点点，点E的坐标为的坐标为(4，3)，则点，则点 M的坐标为的坐标为_；思想思想2数形结合思想数形结合思想(2，1.5)1212,22xxyy骣桫+(2)在平面直角坐标系中，有在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点三点，另有一点D与点与点A，B，C构成平行四边形的顶点，构成平行四边形的顶点，求点求点D的坐标的坐标设点设点D的坐
24、标为的坐标为(x，y)若以点若以点A，B，C，D为顶点构成为顶点构成的四边形是平行四边形，的四边形是平行四边形，当当AB为对角线时，为对角线时，A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)，x1，y1.点点D的坐标为的坐标为(1，1)解：解：131214,.2222xy-=+当当BC为对角线时，为对角线时，A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)，x5，y3.点点D的坐标为的坐标为(5，3)当当AC为对角线时，为对角线时，A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)，x3，y5.点点D的坐标为的坐标为(3，5)综上所述，点综上所述，点D的坐标为的坐标为(1，1)或或(5，3)或或(3，5)311142,.2222xy-=+113241,.2222xy-=+
