1、第二十章第二十章 函函 数数20.3 20.3 函数的表示函数的表示1课堂讲解课堂讲解u函数的表示法函数的表示法u三种函数表示法间的关系三种函数表示法间的关系u画函数的图像画函数的图像2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 函数有不同的表达方式，可用来表达不同的问函数有不同的表达方式，可用来表达不同的问题情境，帮助我们分析和解决问题题情境，帮助我们分析和解决问题.1知识点知识点函数的表示法函数的表示法函数的表示方法有三种：函数的表示方法有三种：(1)解析式法；解析式法；(2)列表法；列表法；(3)图像法图像法 知知1 1讲讲 用来表达函数关系的数学式子叫做函数解
2、析式用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式或函数关系式(1)用关于自变量的数学式子表示函数与自变量的方用关于自变量的数学式子表示函数与自变量的方 法叫做法叫做解析式法解析式法(2)用表格表示函数关系的方法，叫做用表格表示函数关系的方法，叫做列表法列表法(3)用图像表示函数关系的方法叫做用图像表示函数关系的方法叫做图像法图像法知知1 1讲讲弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与与所挂物体的质量所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：之间的关系如下表：下列说法错误的是下列说法错误的是()A在没挂物体时，弹簧的长度为在没挂物体时，弹簧的长
3、度为10 cmB弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是函数，弹簧的长度是自变量的质量是函数，弹簧的长度是自变量例例1 知知1 1讲讲物体的质量物体的质量/kg012345弹簧的长度弹簧的长度/cm1012.51517.52022.5B知知1 1讲讲根据表格中给出的有限对应值以及每组对应值所根据表格中给出的有限对应值以及每组对应值所表示的实际意义逐次判断表示的实际意义逐次判断.导引：导引：C若物体的质量为若物体的质量为m kg(0m5)，弹簧的长度为，弹簧的长度为y cm，则，则y2.5m10D在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为在弹簧能承受的范
4、围内，当物体的质量为4 kg时，弹簧的长度为时，弹簧的长度为20 cm总总 结结知知1 1讲讲 已知表格中的自变量与函数的对应值，观察对已知表格中的自变量与函数的对应值，观察对应数组之间的联系可确定函数的变化规律，再结合应数组之间的联系可确定函数的变化规律，再结合数值可确定函数表达式数值可确定函数表达式知知1 1练练（来自教材）（来自教材）1一辆机动车行驶在路途中一辆机动车行驶在路途中.出发时，油箱内存油出发时，油箱内存油40 L.行驶行驶若干小时后司机停车吃饭，饭后继续行驶一段时间后到若干小时后司机停车吃饭，饭后继续行驶一段时间后到某加油站准备加油某加油站准备加油.图中表示的是该过程中油箱里
5、剩余油图中表示的是该过程中油箱里剩余油量量Q(L)与行驶时间与行驶时间t(h)之间的函数关系之间的函数关系.(1)行驶几小时后司机开始吃行驶几小时后司机开始吃 饭？吃饭用了多长时间？饭？吃饭用了多长时间？(2)饭后行驶几小时到加油饭后行驶几小时到加油 站？到加油站时油箱内站？到加油站时油箱内 还有多少油？还有多少油？知知1 1练练（来自教材）（来自教材）(1)行驶行驶2 h后司机开始吃饭，吃饭用了后司机开始吃饭，吃饭用了1 h.(2)饭后行驶饭后行驶4 h到加油站，到加油站时油箱内还有到加油站，到加油站时油箱内还有10 L油油(3)相同理由：饭前行驶过程中，汽车每小时耗油相同理由：饭前行驶过程
6、中，汽车每小时耗油(4030)25(L)；饭后行驶过程中，汽车每小；饭后行驶过程中，汽车每小时耗油时耗油(3010)(73)5(L)解：解：(3)在饭前与饭后的行驶过程中，汽车每小在饭前与饭后的行驶过程中，汽车每小 时的耗油时的耗油量相同吗？请说明理由量相同吗？请说明理由.知知1 1练练某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是数据，水位上升最快的时段是()A.812时时 B1216时时C1620时时 D2024时时2时间时间/时时048121
7、62024水位水位/米米22.534568Da.表格法表格法(数值表法数值表法)知知1 1练练3已知某品牌东北大米已知某品牌东北大米6元元/kg，请你根据条件完，请你根据条件完成下表：成下表：购买该品牌东北大购买该品牌东北大米米的的质量质量x(kg)123456付款金额付款金额y(元元)6 12 18 24 30 36知知1 1练练b.图像法图像法4【中考中考淄博淄博】小明做了一个数学实验：将一个圆柱形小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看成一个容的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看成一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，器，然后，小明对准玻璃
8、杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间与注水时间t之间的变化情况的是之间的变化情况的是()D知知1 1练练c.表达式法表达式法5若每上若每上6个台阶就升高个台阶就升高1米，则上升高度米，则上升高度h(米米)与与上的台阶数上的台阶数m(个个)之间的函数解析式是之间的函数解析式是()Ah6m Bh6mChm6 Dh6mD知知1 1练练6如图，如图，ABC的边的边BC长是长是8，BC边上的高边上的高AD是是4，点，点D在在BC上运动上运动(不与不与C点重合点重合)
9、，设，设BD长长为为x，则，则ACD的面积的面积y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为_y162x(0 x8)2知识点知识点三种函数表示法间的关系三种函数表示法间的关系知知2 2讲讲 列表法的特点是一目了然从表格中已有的自变列表法的特点是一目了然从表格中已有的自变量的每一个值不需计算就可以直接查出与它对应的量的每一个值不需计算就可以直接查出与它对应的函数值使用起来很方便，但也布局限性，因为列出函数值使用起来很方便，但也布局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出x与与y之间对应的规律图像法的特点可以直观、形象之间对应的规律图像法的
10、特点可以直观、形象地把自变量与函数之间的关系表示出来，它的不足之地把自变量与函数之间的关系表示出来，它的不足之处是由图像只能得到近似的数量关系解析式法的特处是由图像只能得到近似的数量关系解析式法的特点是简单明了能准确地反映整个变化过程中自变量点是简单明了能准确地反映整个变化过程中自变量与函数间的相互关系，但求对应值时，往往要经过比与函数间的相互关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算较复杂的计算.知知2 2讲讲注意：注意：列表法、图像法、解析法虽然形式不同、但都列表法、图像法、解析法虽然形式不同、但都反映了问题中的两个变量反映了问题中的两个变量x(自变量自变量)、y(函数函数)的的关系我们
11、在解决问题时，常常综合运用这三种表关系我们在解决问题时，常常综合运用这三种表示法来深入地研究自变量与函数的关系式的性质示法来深入地研究自变量与函数的关系式的性质同一个函数关系可以用不同的方法表示同一个函数关系可以用不同的方法表示知知2 2讲讲例例2 某年初，我国西南部分某年初，我国西南部分省市遭省市遭遇遇了严重干旱某了严重干旱某水库水库的的蓄水蓄水量量随着时间的随着时间的增加增加而减小，而减小，干干旱持续时间旱持续时间t(天天)与蓄水量与蓄水量V(万万立方米立方米)的的变化情况如变化情况如图所图所示示，根据根据图象回答问题：图象回答问题：(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？这个图象反映了
12、哪两个变量之间的关系？(2)根据图象填表根据图象填表：(3)当当t取取0至至60天之间的任一值时，对应几个天之间的任一值时，对应几个V值？值？(4)V可以看作可以看作t的函数吗？若可以，写出函数解析式的函数吗？若可以，写出函数解析式干旱持续时间干旱持续时间t/天天0102030405060蓄水量蓄水量V/万立方米万立方米 知知2 2讲讲(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系；蓄水量之间的关系；(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐
13、标即可；根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可；(3)观察图象可得；观察图象可得；(4)可根据函数的定义来判断可根据函数的定义来判断(1)图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系(2)填表如下：填表如下：导引：导引：解：解：干旱持续时间干旱持续时间t/天天0102030405060蓄水量蓄水量V/万立方米万立方米 1 200 1 000 8006004002000知知2 2讲讲(3)当当t取取0至至60天之间的任一值时，对应着一个天之间的任一值时，对应着一个V值值(4)V可以看作可以看作t的函数的函数根据图象可知，该水库初始蓄水量为根据图象可知，该
14、水库初始蓄水量为1 200万立方米，万立方米，干旱每持续干旱每持续10天，蓄水量相应减少天，蓄水量相应减少200万立方米，由万立方米，由此可得出函数解析式为此可得出函数解析式为V1 200 20t1 200(0t60)20010t 本例通过本例通过“形形”，即图象中的信息，用列表及，即图象中的信息，用列表及解析式这些解析式这些“数数”来表示说明，三种函数表示方法来表示说明，三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的，体现了之间有互补性，是可以相互转化的，体现了数形结数形结合思想合思想的应用的应用总总 结结（来自（来自教材教材）知知2 2讲讲知知2 2练练（来自教材）（来自教材）小莉的父母出
15、去散步，从家走了小莉的父母出去散步，从家走了 20 min到达离家到达离家900 m的一个报亭，母亲随即按原速度返回，父亲的一个报亭，母亲随即按原速度返回，父亲看了看了10 min报纸后，用了报纸后，用了15 min返回家返回家.请根据关于请根据关于父亲或母亲距家的路程父亲或母亲距家的路程y(m)和离家时间和离家时间x(min)的函的函数图像回答：数图像回答：1知知2 2练练（来自教材）（来自教材）(1)哪幅图像表示父亲距家的路程哪幅图像表示父亲距家的路程y与离家时间与离家时间x的关系？的关系？(2)哪幅图像表示母亲距家的路程哪幅图像表示母亲距家的路程y与离家时间与离家时间x的关系？的关系？(
16、3)余下的那幅图像是关于小莉的，请讲述一段与之相符余下的那幅图像是关于小莉的，请讲述一段与之相符的故事的故事.(1)图图(1)表示父亲距家的路程表示父亲距家的路程y与离家时间与离家时间x的关系的关系(2)图图(2)表示母亲距家的路程表示母亲距家的路程y与离家时间与离家时间x的关系的关系(3)小莉从家走了小莉从家走了30 min到达离家到达离家900 m的一个报亭，的一个报亭，随即用随即用15 min跑步返回家跑步返回家.解：解：知知2 2练练（来自教材）（来自教材）小亮家与学校相距小亮家与学校相距1 500 m.一天，他步行去上学，一天，他步行去上学，最初以某一速度匀速行进最初以某一速度匀速行
17、进.途中遇到熟人小强，说话途中遇到熟人小强，说话耽误了几分钟耽误了几分钟.与小强告别后他就改与小强告别后他就改 为匀速慢跑，为匀速慢跑，终于准时到校终于准时到校.设小亮从家出发后所用的时间为设小亮从家出发后所用的时间为t(min)，行进的路程为，行进的路程为s(m).(1)在下列图像中在下列图像中,哪幅能表示上述过程？哪幅能表示上述过程？(2)从其他两个图像中任选一个，写出与图像相应的从其他两个图像中任选一个，写出与图像相应的实际情景实际情景.2知知2 2练练（来自教材）（来自教材）(1)图图(2)能表示上述过程能表示上述过程(2)选择图选择图(3)：小亮放学回家，最初以某一速度匀：小亮放学回
18、家，最初以某一速度匀速行进，途中经过一家文具店，便停下来在文具速行进，途中经过一家文具店，便停下来在文具店里买了两件文具，然后他就匀速慢跑回家店里买了两件文具，然后他就匀速慢跑回家了设小亮从学校出发后所用的时间为了设小亮从学校出发后所用的时间为t(min)，距，距离家的路程为离家的路程为s(m)解：解：知知2 2练练（来自教材）（来自教材）在用表达式和图像这两种方式表达玩具车以在用表达式和图像这两种方式表达玩具车以1 m/s的的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式速度匀速行驶的过程时，得到了表达式y=x和如图所和如图所示的图像示的图像.(1)请你从图像上任意找出请你从图像上任意找出5个点，个点，
19、并写出这并写出这 5个点的坐标个点的坐标.(2)说明你得到的说明你得到的5个点的坐标可分个点的坐标可分 别使得表别使得表 达式达式y=x成立成立.(3)任意写出满足表达式任意写出满足表达式y=x的三组有序正数对，说的三组有序正数对，说 明分别以这三组明分别以这三组 有序正数对为坐标的三个点都在有序正数对为坐标的三个点都在 图中所示的图像上图中所示的图像上.3知知2 2练练(1)(答案不唯一答案不唯一)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)(2)将将x1，2，3，4，5分别代入分别代入yx中，可得中，可得y的值的值依次为依次为1，2，3，4，5，所以，所以(1)中中5个点的坐
20、标可个点的坐标可分别使得表达式分别使得表达式yx成立成立(3)(答案不唯一答案不唯一)(6，6)，(7，7)，(8，8)，说明略，说明略解：解：知知2 2练练要要形象、直观地表示某市某天的气温与时间的形象、直观地表示某市某天的气温与时间的函数关系，适宜用函数关系，适宜用()A列表法列表法 B解析式法解析式法C图象法图象法 D以上都可以以上都可以4C知知2 2练练下面说法中正确的是下面说法中正确的是()A两个变量间的关系只能用解析式表示两个变量间的关系只能用解析式表示B图象不能直观地表示两个变量间的数量关系图象不能直观地表示两个变量间的数量关系C借助表格可以反映出因变量随自变量的变化借助表格可以
21、反映出因变量随自变量的变化 情况情况D以上说法都不对以上说法都不对5C3知识点知识点画函数的图像画函数的图像知知3 3导导做一做做一做1.以横轴表示气温，每以横轴表示气温，每5为一个单位长度，纵轴表为一个单位长度，纵轴表 示声速，每示声速，每100 m/s为一个单位长度，建立直角坐标为一个单位长度，建立直角坐标 系系.以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标 和纵坐标，在直角坐标系中描点，连线和纵坐标，在直角坐标系中描点，连线(用平滑的曲用平滑的曲 线连点线连点)，画出图形，画出图形.知知3 3导导2.观察表格中数值，不难发现：气温每升高观察表格中数
22、值，不难发现：气温每升高(或降低或降低)5，对应的声速增加，对应的声速增加(或减少或减少)3 m/s.根据这个特点，根据这个特点，求声速求声速y(m/s)和气温和气温x()之间的函数关系式之间的函数关系式.知知3 3导导 通过上面的通过上面的“做一做做一做”，我们发现在这个问题中，我们发现在这个问题中，声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数值表表示，也可以用图值表表示，也可以用图1中的图像表示，还可以用函中的图像表示，还可以用函数表达式数表达式 来表示来表示.数值表、图像、表达式是函数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它数关系
23、的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点便于抽象应用的特点.3331.365yx=+=+图图1知知3 3导导 一般地，我们把一个函数的自变量一般地，我们把一个函数的自变量 x的值与对应的值与对应的函数的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像数的图像(image).如图如图1中的图形就是函数中的图形就是函数331.36的图像的图像.观察可知，函数观察可知，函数 的图像为一条直的图像为一条直线线.35
24、yx=+=+3331.365yx=+=+知知3 3导导用描点法画函数图像的一般步骤：用描点法画函数图像的一般步骤：(1)列表：列表：在自变量取值范围内有代表性地取值，并求在自变量取值范围内有代表性地取值，并求 出相应的函数值出相应的函数值(2)描点：描点：一对对应值即一个点的坐标，一个点的坐标一对对应值即一个点的坐标，一个点的坐标 确定一个点确定一个点(3)连线：连线：按照横坐标按照横坐标由小到大由小到大的顺序把所描出的各点的顺序把所描出的各点 用用平滑平滑的曲线连接起来的曲线连接起来知知3 3导导要点精析要点精析(1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或列表时要根据自变量的取值范围取
25、值，从小到大或 自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出 的函数的图像能反映函数的全貌的函数的图像能反映函数的全貌(2)描点时要以表中每对对应值为坐标，在坐标系中准描点时要以表中每对对应值为坐标，在坐标系中准 确描点确描点(3)连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来知知3 3讲讲例例3 在直角坐标系中，画出函数在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像的图像.(1)取值取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出根据函数表达式，取自变量的一些值，得出 函数的对应值，按这些对应值列表：函数的对应值，按这
26、些对应值列表：(2)描点描点.根据自变量和函数根据自变量和函数 的数值表，在直角坐标的数值表，在直角坐标 系中描点系中描点.(3)连线连线.用平滑的曲线将这用平滑的曲线将这 些点连接起来，即得函些点连接起来，即得函 数的图像，如图所示数的图像，如图所示.解：解：x-2-1012y-3-1135知知3 3讲讲例例3 在直角坐标系中，画出函数在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像的图像.(1)取值取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出根据函数表达式，取自变量的一些值，得出 函数的对应值，按这些对应值列表：函数的对应值，按这些对应值列表：(2)描点描点.根据自变量和函数的数值表，在直角坐标
27、系根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系 中描点中描点.(3)连线连线.用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数 的图像，如图的图像，如图2.解：解：描点法画函数图象的一般步骤如下：描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表第一步，列表表中给出一些自变量的值及其对表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；应的函数值；第二步，描点第二步，描点在直角坐标系中，以自变量的值在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；值对应的各点；第三步，连线第三步，连线按照横坐标由小到大的顺序，
28、把按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来所描出的各点用平滑曲线连接起来.总总 结结（来自（来自教材教材）知知3 3讲讲知知3 3练练（来自教材）（来自教材）一辆汽车，以一辆汽车，以90 km/h的速度行驶在高速公路上，用的速度行驶在高速公路上，用t(h)表示它行驶的时间，用表示它行驶的时间，用s(km)表示它行驶的路程表示它行驶的路程.(1)写出写出s与与t的函数关系式的函数关系式,并指出自变量并指出自变量t的取值范围的取值范围.(2)根据根据t的值的值,在下表中填写在下表中填写s相应的值，并画出函数相应的值，并画出函数的图像的图像.3(1)s90t，t0.(2)36；72
29、；90；135；180；360 画函数的图像略画函数的图像略解：解：知知3 3练练下表是某年一条河流自下表是某年一条河流自8月月1日至日至8月月10日的水位记录日的水位记录:(1)试画出这个函数的图像试画出这个函数的图像.(2)观察图像，判断从哪天起水位开始全面回落观察图像，判断从哪天起水位开始全面回落.1日期日期12345678910水位水位/m7.37.58.48.69.18.88.17.36.96.4(1)如图所示如图所示.(2)从从8月月6日起水位开始日起水位开始 全面回落全面回落解：解：（来自教材）（来自教材）知知3 3练练（来自教材）（来自教材）某菜市场西红柿标价是某菜市场西红柿标
30、价是2元元/千克千克.购买购买x kg西红柿，应西红柿，应付费付费y元元.(1)写出写出y与与x的函数关系式的函数关系式,并指出自变量的取值范围并指出自变量的取值范围.(2)请画出这个函数的图像请画出这个函数的图像.2(1)y2x，自变量，自变量x的取值范围是的取值范围是x0.(2)函数函数y2x的图像如图所示的图像如图所示解：解：画出函数画出函数y2x1的图象的图象(1)列表：列表：(2)描点并连线；描点并连线；知知3 3练练4x 101y 3 1 1(2)如图如图.解：解：(3)判断点判断点A(3，5)，B(2，3)，C(3，5)是否在函数是否在函数y2x1的图象上；的图象上；知知3 3练
31、练(3)当当x3时，时，y2(3)175；当当x2时，时，y22133；当当x3时，时，y2315.点点A，B不在函数不在函数y2x1的图象上，的图象上，点点C在其图象上在其图象上解：解：(4)若点若点P(m，9)在函数在函数y2x1的图象上，的图象上，求出求出m的值的值知知3 3练练(4)点点P(m，9)在函数在函数y2x1的图象上，的图象上，2m19，解得，解得m5.解：解：1.函数的表示方法共有三种：表格法函数的表示方法共有三种：表格法(数值表法数值表法)、图、图 像法、表达式法，它们分别从数、形和式的角度反像法、表达式法，它们分别从数、形和式的角度反 映了函数的本质映了函数的本质2.根
32、据图像读取信息时要把握三个方面：根据图像读取信息时要把握三个方面：(1)横轴和纵横轴和纵 轴的意义即横轴、纵轴分别表示的量；轴的意义即横轴、纵轴分别表示的量；(2)对于某个对于某个 具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求得该点的坐具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求得该点的坐 标；标；(3)在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交 点坐标代表的具体意义点坐标代表的具体意义1知识小结知识小结【中考中考济宁济宁】如图，如图，A，B是半径为是半径为1的的 O上两点，上两点，且且OAOB，点，点P从点从点A出发，在出发，在 O上以每秒一个单上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动运动结束，设运动时间为时间为x(单位：单位：s)，BP的长为的长为y，2易错小结易错小结那么下列图像中可能表示那么下列图像中可能表示y与与x函数关系的是函数关系的是()A B C或或 D或或D易错点：易错点：不注意分类导致漏解不注意分类导致漏解
