1、 - 1 - 河南省平顶山市、许昌市、汝州 2017-2018 学年高二数学上学期第三次联考试题 理（含解析） 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 双曲线 的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由 ， 得 。 所以双曲线 的渐近线方程是 。 选 C。 2. 已知命题 在定义域内是单调函数，则 为（ ） A. 在定义域内不是单调函数 B. 在定义域内是单调函数 C. 在定义域内不是单调函数 D. 在定义域内不是单调函数 【答案】 A 【解析】由全
2、称命题的否定可得 为 “ 在定义域内不是单调函数 ” 。选 A。 3. 设等差数列 的首项为 ，若 ，则 的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设等差数列 的公差为 ，则 ， 解得 ，故选 B. 4. 下列命题为特称命题的是 （ ） A. 任意一个三角形的内角和为 B. 棱锥仅有一个底面 C. 偶函数的图象关于 轴垂直 D. 存在大于 1 的实数 ，使 - 2 - 【答案】 D 【解析】 对于选项 A、 B、 C 都为全称命题，选项 D 中，根据特称命题的概念，可得命题 “ 存在大于 的实数 ，使 ” 中含有存在量词，所以 D 为特称命题，故选 D. 5. 若椭圆 (
3、0 m 3)的长轴比短轴长 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意可得 ， 解得 。 选 D. 6. “ ” 是 “ 方程 表示焦点在上的椭圆 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答 案】 A 【解析】 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，所以 ， 所以 是方程 表示焦点在 轴上的椭圆的充分不必要条件，故选 A. 7. 在 中，角 所对的边分别为 ， 则 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因为 ，所以 ， 由余弦定理 ， 得 ，所以 的周长为 ，故选 C. 8. 若以
4、双曲线 的左右焦点和点 为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B - 3 - 【解析】由题意得点 为该直角三角形的直角顶点 ， 双曲线的左右焦点分别为 ，则有 ， 解得 ， 所以 ， 因此 。 选 B。 9. 已知 分别是双曲线 的左右焦点，点 在此双曲线的右支上，且 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】双曲线方程即为 ， 所以 ， 由定义得 ， 又 ， 所以 。由余弦定理得 ， 所以 ， 因此 的面积为 。 选 D。 点睛 ： 双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，焦点三角形与双曲线的定义
5、、正（余）弦定理和三角 形的面积结合在一起 。 在求焦点三角形的面积时，可利用定义式的平方及余弦定理得到 的形式，再用面积公式计算 10. 若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 11. 给出下列三个命题： ； 或 是 “ ” 的必要不充分条件， 若 ，则 . 那么，下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C . - 4 - 易知 或 不能推出 “ ” ，但 “ ” 能推出 或 ，故 为真命题。 由 得 且 ， 所以 ， 所以 为真命题。 因此 为真命题。选 C。 12. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，过椭圆 的右焦点作 轴的垂线交直线 于
6、点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，其中， 为坐标原点，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题意得直线 的方程为 ， 当 时 ， ， 所以点 D 的坐标为 。 因此直线 OD 的斜率为 ， 由题意得 ， 整理得 ， ，故 ， 所以 。选 D。 点睛 ： 椭圆的几何性质中，离心率问题是重点，求离心 率的常用方法有以下两种： (1)求得 的值，直接代入公式 求得； (2)列出关于 的齐次方程 (或不等式 )，然后根据 ，消去 b，转化成关于 e 的方程 (或不等式 )求解 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案
7、填在答题纸上） 13. 命题 “ 若 ，则 ” 的否命题为 _. 【答案】若 ，则 【解析】由否命题的定义可得所给命题的否命题为 “ 若 ，则 ” 。 答案 ： 若 ，则 14. 在 中，角 所对的边分别为 ，则 _. 【答案】 【解析】 在 中，由 ，则 ， 所以，由正弦定理可得 . - 5 - 15. 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 _. 【答案】 【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示。 表示可行域内的点 与点 连线的斜率。 结合图形得，可行域内的点 A 与点 连线的斜率最大。 由 ， 解得 。 所以点 A 的坐标为 。 。 答案 ： 点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法
8、求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域 (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型 ）、 斜率型（ 型 ） 和距离型（ 型 ） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解 (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .。 16. 已知焦距为 的双曲线 的左右顶点分别为 是双曲线上异于的任意两点，若 依次成等比数列，则双曲线的标准方程是 _. 【答案】 - 6 - 【解析】 设 ，则 ， 由于 成等比数列，则 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ， ，即 ， 所以双曲线的方程为 . 点睛：本题考查了双曲线的标准方程的求
9、解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、等比中项公式等知识点的应用， 同时着重考查了推理与运算能力，解答中认真审题、准确计算是解答的关键 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知函数 . （ 1）若 ，求 的最小值，并指出此时 的值； （ 2）求不等式 的解集 . 【答案】 (1) 的最小值为 ，此时 .(2) . 【解析】试题分析 ：（ 1）根据表达式的特点得到 ，利用均值不等式求得最值；（ 2）分式不等式转化为整式不等式求解即可。 解析 ： （ 1） ， 当且仅当 即 时，取等号， 故 的最小值为 ，此时 ， （ 2）由 得
10、 ，故所 求不等式的解集为 18. （ 1）已知点 的坐标为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求动点的轨迹方程； （ 2）已知定点 的坐标为 为动点，若以线段 为直径的圆恒与 轴相切，求动点 的轨迹方程 . - 7 - 【答案】 (1) .(2) . 【解析】试题分析： （ 1）设出动点的坐标 ， 根据直线 的斜率之积是 列出等式求解即可。（ 2）设 ，则线段 的中点为 ，连 ，则 轴，由 为直角三角形斜边上的中线可得 ，求出 x,y 间的关系式即为所求。 试题解析： （ 1）设动点 ，因为直线 的斜率之积是 ， 所以 ， 整理得 ， 所以动点 的轨迹方程为 . （ 2）设动点 ，线
11、段 的中点为 ，圆 与 轴相切于 ， 连接 ，所以 轴， 因为 为直角三角形斜边上的中线， 所以 ， 由 ， 化简得 ， 所以动点 的轨迹方程为 . 19. 设 “ 关于 的不等式 的解析为 ” ， “ 函数 在区间 上有零点 ”. （ 1）若 为真，求 的取值范围； （ 2）若 为假， 为真，求 的取值范围 . 【答案】 (1) .(2) . 【解析】试题分析：（ 1）由命题 为真，则 ，即可求解实数 的取值范围 . （ 2）根据 为假， 为真，得 中一真一假，分类讨论即可求解实数 的取值范围 . 试题解析： - 8 - （ 1）函数 是增函数，所以若 为真，则 ，解得 . （ 2）若 为真
12、，则 ，即 ，解得 ， 因为 为假， 为真，所以 中一真一假， 若 真 假，则 ； 若 假 真，则 ， 综上， 的取值范围是 . 20. 已知椭圆 的与椭圆 有相同的焦点，且椭圆 过点 . （ 1）求 的长轴长； （ 2）设直线 与 交于 两点（ 在 的右侧）， 为原点，求 . 【答案】 (1) .(2) . 【解析】试题分析：（ 1）根据题意，列出 ，求得 的值，即可得到椭圆的长周长； （ 2）把直线的方程代入椭圆的方程， 利用根与系数的关系得 ，得 的坐标，即可求解故. 试题解析： （ 1）由题意得设椭圆 的标准方程为 ，则 ， 所以 ，则的长轴长为 . （ 2）由 ，得 ，解得 ，则 ，
13、 故 . 21. 已知数列 满足 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若正整数 满足 ，求 的值 . 【答案】 (1) .(2) . 【解析】试题分析： （ 1） 由题意得 ，（ ），与条件中所给的式子相减- 9 - 可得 ，解得 。验证当 时， 也满足即可。 （ 2） 根据列项相消法求得， 由题意得 ，解方程即可。 试题解析 ： （ 1） ， ，（ ） 两式相减 得 ， ， 当 时， ，解得 ，也满足 ， 所以 . （ 2） ， 令 ， 解得 . 点睛： （ 1）根据本题的特点选择用仿写、作差的方法求得数列的通项，在仿写时不要忘了 这一条件，故在最后要验证 时是否满足。 （ 2）数列求
14、和的方法也比较多，解题时要根据通项公式的特征合理选择，常见的方法有公式法、分组法、列项相消法、错位相减法等。 22. 如图，椭圆 的离心率为 ，且椭圆 经过点 ，已知点 ，过点 的动直线 与椭圆 相交于 两点， 与 关于 轴对称 . （ 1）求 的方程； （ 2）证明： 三点共线 . - 10 - 【答案】 (1) .(2)证明见解析 . 【解析】试题分析 ： （ 1）由椭圆的离心率为 ，且过点 及可得 可组成关于 的方程组，解方程组可得椭圆方程。（ 2） 当直线 与 轴垂直时，结论成立； 当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，与椭圆方程联立消元后得到二次方程 ，利用根据系数的关系并结合斜率公式可得 ，从而可得结论成立。 试题解析 ： （ 1）解：由已知得 ， 解得 ， 所以椭圆的方程为 . （ 2）证明： 当直线 与 轴垂直时，显然有 三点共线。 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 由 ， 因为直线 与椭圆交于 A,B 两点， 所以 ， 设 的坐标分别为 ， 则 ， 因此 ， 易知点 关于 轴垂直的点 的坐标为 ，
