1、 - 1 - 定远重点中学 2018-2019学年上学期开学考试 高二数学 注意事项： 1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将第 I卷（选择题）答案用 2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I卷（选择题 60分） 一选择题 （本题有 12小题，每小题 5分，共 60分。） 1.小明同学的 QQ 密码是由 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9这 10 个数字中的 6 个数字组成的六位数 ， 由于长时间未登录 QQ， 小明忘记了密码的最后一个数字 ， 如果小明登录 QQ 时密码的最后一个数字
2、随意选取 ， 则恰好能登录的概率是（ ） A. 5110B. 4110C. 2110D. 110 2.已知回归直线的斜率的估计值是 1 23，样本点的中心为 (4,5)，则回归直线的方程是 （ ） A. B. C. D. 3.已知 03x?，则 16yxx? 的最小值为（ ） A. 253 B. 16 C. 20 D. 10 4.在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为 1 35 号，再用系数抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 139，151上的运动员人数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 - 2 - 5.如图
3、所示的程序框图中，输出 S的 值为（ ） A 10 B 12 C 15 D 8 6.在 ABC? 中，三个内角 A,B,C的对边分别 ? ?12, , , 2 , s i n , s i n33a b c a A A C? ? ? ?则 b等于( ) A. 4 B. 83 C. 6 D. 278 7.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 4518aa?，则 8S? （ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 8.已知 C 是正方形 ABDE 内的一点，且满足 AC BC? ， 2AC BC? ，在正方形 ABDE 内投一个点，该点落在图中阴影部分内的概率是（ ） A.
4、 15 B. 25 C. 35 D. 45 - 3 - 9.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a? ， 12nnSa? ， ,则 nS? （ ） A. 12n? B. 112n?C. 123n?D. 132n?10.在 ABC? 中， 60 1Ab? ， ，其面积为 3 ，则 sin sin sinabcA B C?等于 ( ) A. 33 B. 2393 C. 833 D. 392 11.某城市 2016年的空 气质量状况如下表所示： 其中污染指数 T 50 时，空气质量为优； 50 T 100 时，空气质量为良； 100 T 150 时，空气质量为轻微污染该城市 2016
5、年空气质量达到良或优的概率为（ ） A. 35 B. 1180 C. 119 D. 59 12.若实数 ,xy满足约束条件 1133xyxyxy? ?，目标函数 2z ax y?仅在点 ? ?1,0 处取得最小值，则 实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?6,2? B. ? ?6,2? C. ? ?3,1? D. ? ?3,1? 第 II卷（非选择题 90 分） 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20分。） - 4 - 13.已知某校随机抽取了 100名学生，将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图 .若该校有 3000 名学生，则在本次体育测试中，成绩不低于 7
6、0 分的学生人数约为_ 14.事件 A， B互斥 ， 它们都不发生的概率为 ， 且 P(A) 2P(B)， 则 P( ) _ 15.在 中，角 所对的边分别为 已知 ，则 的度数为 _ 16.数列 ?na 满足， 1 2 3231 1 1 1 212 2 2 2 nna a a a n? ? ? ? ? ?，写出数列 ?na 的通项公式_ 三、解答题 （本题有 6 小题，共 70分。） 17. （ 12分） 已知关于 x 的不等式 2 3 2 0ax x? ? ? 的解集为 |1 x x b? （ 1）求实数 ,ab的值； （ 2）解关于 x 的不等式： 0xcax b? ? （ 为常数） 1
7、8. （ 12分） 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 1a? ， 9 81S? . （ 1）求 ?na 的通项公式； （ 2）求1 2 2 0 1 71 1 11 2 2 0 1 7S S S? ? ? ? ?的值 . 19. （ 12 分） 已知数列 ?na 是公差大于 0 的等差数列， 1 2a? ，且 2a ， 3a ， 4 1a? 成等比 数列 （ 1）求数列 ?na 的通项公式；（ 2）设 ? ?22n nb na? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS 20. （ 12 分） 在三角形 ABC 中，角 ,ABC 所对边分别为 ,abc，满足 ? ?2
8、co s co sb c A a C?. - 5 - （ 1）求角 A ； （ 2）若 13a? ， 5bc? ，求三角形 ABC 的面积 . 21. （ 10 分） 某校高一年级某次数学竞赛随机抽取 100 名学生的成绩，分组为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5 0 , 6 0 , 6 0 , 7 0 , 7 0 , 8 0 , 8 0 , 9 0 , 9 0 , 1 0 0，统计后得到频 率分布直方图如图所示： （ 1）试估计这组样本数据的众数和中位数 (结果精确到 0.1 )； （ 2）年级决定在成绩 ? ?70,100 中用分层抽样抽取 6 人组成一个调研小组，对髙一年级学生课外
9、学习数学的情况做一个调查，则在 ? ? ? ? ? ?7 0 , 8 0 , 8 0 , 9 0 , 9 0 ,1 0 0这三组分別抽取了多少人？ （ 3）现在要从 (2)中抽取的 6 人中选出 正副 2 个小组长，求成绩在 ? ?80,90 中至少有 1人当选为正、副小组长的概率 . 22. （ 12 分） 以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数 .乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示 . （ 1）如果 8X? ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； （ 2）如果 9X? ，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19的概率 .（注：方差 ?
10、? ? ? ? ?2 2 22121 ns x x x x x xn ? ? ? ? ? ? ?，其中 x 为 1x ， 2x ， ? ， nx 的平均数） - 6 - 定远重点中学 2018-2019学年上学期开学考试 高二数学答案 一选择题 （本题有 12小题 ，每小题 5分，共 60分。） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.B 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20分。） 13.2100 14.35 15. ； 16.16, 1 2 , 2n n na n? ? ?三、解答题 （本题有 6 小题，共 70分。
11、） 17.解析：（ 1）由题知 为关于 的方程 的两根， 即 （ 2）不 等式等价于 ， 所以：当 时解集为 ； 当 时解集为 ； 当 时解集为 18. 解：（ ）设等差数列 ?na 的公差为 d ， 由 9 81S? ，得 59 81a? ， 则有 5 9a? ， 所以 51 91 25 1 4aad ? ? ? ? ， 故 ? ?1 2 1 2 1na n n? ? ? ? ?（ *nN? ） . （ ）由（ ）知， ? ? 21 3 5 2 1nS n n? ? ? ? ? ? ?， - 7 - 则 ? ?1 1 1 111nS n n n n n? ? ? ? ?所以1 2 2 0 1
12、 71 1 11 2 2 0 1 7S S S? ? ? ? ? 1 1 1 1 11 2 2 3 2 0 1 7 2 0 1 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 2018? 20172018? 19.解 ： （ 1）设数列 ?na 的公差为 d,由 1 2a? ，且 2a ， 3a ， 4 1a? 成等比数列 ,得 ? ? ? ? ?22 2 2 3 3d d d? ? ? ?, 解得 d=2,或 d=-1(舍去 ) d=2 ， ? ?1 12na a n d n? ? ? ? 即数列 ?na 的通项公式 2nan? （ 2） ?
13、?2 1 1 12 n 1 1n nb n a n n n? ? ? ? ? ?（ ）= 1 1 1 1 11 2 2 3 1 1n nS n n n? ? ? ? ? ? ? ? 20.解： （ 1） ? ?2 s i n B s i n C c o s A s i n A c o s C? 20 2 13sin B c o sA sin Cc o sA sin A c o sC sin Bsin B c o sAA? ? ? ? ? ?（ 2） a7? ? ? 22 2 2 A B Ca b c 2 b c 3 1 32 5 1 35 , 431 1 3S 4 32 2 2b c c o
14、sA b cb c b cb c sin A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21. 解： （ 1）众数： 65 ，中位数 ： 0.170 10 73.30.3? ? ? . （ 2）成绩为 ? ? ? ? ? ?7 0 , 8 0 , 8 0 , 9 0 , 9 0 , 1 0 0这三组的频率分别为： 0.3,0.2,0.1 ， ? - 8 - ? ? ? ? ? ?7 0 , 8 0 , 8 0 , 9 0 , 9 0 ,1 0 0这三组抽取的人数分别为： 3 人、 2 人、 1人 . （ 3）由（ 2）知，成绩在 ? ?70,80 有 3 人，分别记为 ,ab
15、c；成绩在 ? ?80,90 有 2 人，分别记为 ,de，成绩在 ? ?90,100 有 1人，记为 f ， ?从（ 2）中抽取的 6 人中选出正、副 2 个小组长包含的基本事件有： , , , , , , , , ,a b b a a c c a a d d a a e e a a f fa， , , , , , , , , , , ,b c c b b d d b b e e b b f fb c d d c c e e c， , , , , , , ,cf fc de ed df fd ef fe，共 30 种，记 “ 成绩在 ? ?80,90 中至少有 1人当选为正、副小组长 ” 为
16、事件 Q ，则事件 Q 包含的基本 事件有 18种 , ?所求概率 ? ? 18 330 5PQ?. 22.解 ： （ 1）当 8X? 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是 ， ， ， ， 平均数 8 8 9 1 0 3 544x ? ? ?，方差2 2 22 1 3 5 3 5 3 5 1 18 2 9 1 04 4 4 4 1 6s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （ 2）记甲组四名同学分别为 1A ， 2A ， 3A ， 4A ，他们植树的棵数依次为 ， ， 11， 11；乙组四名同学 分别为 1B ， 2B ， 3B ， 4B ，他们植树的棵数依次为 ， ， ， ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16个，即 ? ?11,AB ， ? ?12,AB ， ? ?13,AB ， ? ?14,AB ， ? ?21,AB ， ? ?22,AB ， ? ?23,AB ， ? ?24,AB ， ? ?31,AB ， ? ?32,AB ， ? ?33,AB ， ? ?34,AB ， ? ?41,AB ， ? ?42,AB ， ? ?43,AB ， ? ?44,AB ， 用 C 表示 “ 选出的两名同学的植树总棵数为 19” 这一事件，则 C 中的结果有 4 个，它们是? ?14,AB
