1、 鼎吉教育（Dinj Education）中小学生课外个性化辅导中心资料 初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训第十三讲 梯形学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 D 第3页 咨询热线：0757-86307067 13760993549（吉老师）与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用例1 如图2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DFEC交BC延长线于F求证：四边形EBFD是等腰梯形分析 因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以EDBF此外，还要证明(1)EB=
2、DF；(2)EB不平行于DF证 因为E，D是ABC的边AB，AC的中点，所以EDBF又已知DFEC，所以ECFD是平行四边形，所以EC=DF 又E是RtABC斜边AB上的中点，所以EC=EB 由，EB=DF下面证明EB与DF不平行若EBDF，由于ECDF，所以有ECEB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EBDF根据定义，EBFD是等腰梯形例2 如图2-44所示ABCD是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O.求BCD的度数分析 由于BCD是等腰三角形，若能确定顶点CBD的度数，则底角BCD可求由等腰RtABC可求知斜边BC(即BD)的长又梯形的高，即Rt
3、ABC斜边上的中线也可求出通过添辅助线可构造直角三角形，求出BCD的度数解 过D作DEEC于E，则DE的长度即为等腰RtABC斜边上的高AF设AB=a，由于ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在RtBED中，从而EBD=30(直角三角形中30角的对边等于斜边一半定理的逆定理)在CBD中，例3 如图2-45所示直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M求证：AD=BF分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC由ADBC及ADC=135
4、知，C=45，从而NDC=45，DNC=90，所以ABND是矩形，进而推知BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF证 连接DN因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC由已知，ADBC及ADC=135知C=45，从而NDC=45在NDC中，DNC=90(=DNB)，所以ABND是矩形，所以AFND，F=DNM=45BNF是一个含有锐角45的直角三角形，所以BN=BF又AD=BN，所以 AD=BF例4 如图2-46所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中点若AD=2，BC=8，求ABE的面积分析 由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之
5、和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)取腰AB的中点F，(或BC)过A引AGBC于G，交EF于H，则AH，GH分别是AEF与BEF的高，所以AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8这样SABE(=SAEF+SBEF)可求解 取AB中点F，连接EF由梯形中位线性质知EFAD(或BC)，过A作AGBC于G，交EF于H由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF在RtABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=
6、82，所以 AG=8，从而 AH=GH=4，所以SABE=SAEF+SBEF例5 如图2-47所示四边形ABCF中，ABDF，1=2，AC=DF，FCAD(1)求证：ADCF是等腰梯形；(2)若ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长分析 欲证ADCF是等腰梯形归结为证明ADCF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC利用已知相等的要素，应从全等三角形下手计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将ADC的周长过渡到梯形的周长解 (1)因为ABDF，所以1=3结合已知1=2，所以2=3，所以EA=ED又 AC=DF，所
7、以 EC=EF所以EAD及ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知3=4，从而ADCF不难证明ACDDFA(SAS)，所以 AF=DC若AFDC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FCAD矛盾，所以AF不平行于DC综上所述，ADCF是等腰梯形(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF 由于ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)， AF=3(厘米)， FC=AC-3， 将，代入四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)例6 如图2-48所示等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD所成的角AOB=60，
8、P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点求证：PQR是等边三角形分析 首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可注意到OAB与OCD均是等边三角形，P，R分别是它们边上的中点，因此，BPOA，CROD在RtBPC与RtCRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半问题获解证 因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等进而推知，OAB=OBA及OCD=ODC又已知，AC与BD成60角，所以，ODC与OAB均为正三角形连接BP，C
9、R，则BPOA，CROD在RtBPC与RtCRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以又RP是OAD的中位线，所以因为 AD=BC， 由，得PQ=QR=RP，即PQR是正三角形说明 本题证明引人注目之处有二：(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BPOA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀使PQR的三边相等 练习十三1如图2-49所示梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，BDCD求A的度数2如图2-50所示梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，ABE的周长=13厘米，AD=4厘米求梯形的周长3如图2-51所示梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点求EF4如图2-52所示梯形ABCD中，ADBC，M是腰DC的中点，MNAB于N，且MN=b，AB=a求梯形ABCD的面积5已知：梯形ABCD中，DCAB，A=36，B=54，M，N分别是DC，AB的中点求证：
