1、初中数学竞赛辅导资料(24)参数法证平几甲内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.乙例题例1如图已知：AB是O的直径，C是半圆上的一点，CDAB于D，N与O内切且与AB、CD分别切于E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.证明：设O，N半径分别为R和r，连接ON，NE.根据勾股定理：OE=， AE=OAOER+；OD=OEr=r， AD=OAODR+r根据射影定理AC2=ADAB=(R+r)2R =2R2+
2、2R2Rr=R2+2R+(R22Rr)=(R+)2AC= R+. AC=AE例2. 已知：ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，ACBC2ADDB.求证：CRt.证明：设ADx,则DBcx.代入ACBC2ADDB.得ab=2x(cx).2x22cx+ab=0.x=,又根据切线长定理得x，.c22ab=a22ab+b2.c2=a2+b2 . CRt.例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F，交AB于G.求证：.证明：设ABC边长为a,PDm,PE=n,BG=x,CF=y.DE是ABC的中位线，DEBC，DEBC.（1）（2）：.，.
3、例4.已知：如图四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且SABCSABDSBCD134.求证：M，N平分AC和CD.证明：设SABC1，则SABD3，SBCD4，SACD3416.设k (0k1).连结AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得，SACN6k；, SAMN6kk6k2；, SBCN4k；, SABMk； SBMC1k.SACNSAMNSMNCSBCNSBMC6k6k2=4k(1k) . 6k2k1=0. k=；或k=.(k=.不合题意，舍去.)k=.AMMC，CNND .即M，N平分AC和CD.例5.已知：如图ABC中，AD是高，ABDCACBD.求证：AB
4、AC.证明：设ABc，ACb, BD=m, DC=n.根据勾股定理得 cb=bc， b=c. 即ABAC.例6. 如图已知：一条直线截ABC三边AB，BC，AC或延长线于D，E，F.求证：（曼奈拉斯定理）证明：设BDE，DEB，F.根据正弦定理：在BDE中，；在CEF中，；在ADF中，.Sin(180=Sin.即.丙练习241.已知：如图三条弦AB，CD，EF两两相交于G，H，I.IAGDHE，ICGFHB.求证：GHI是等边三角形.2.已知：在矩形ABCD中，APBD于P，PEBC于E，PFCD于F.求证：PA3PEPFBD3.已知：ABC的两条高AD，BE相交于H，求证：过A，B，H三点的
5、圆与过A，C，H三点的圆是等圆.4.已知：AB是O的直径，P是半圆上的一点，PCAB于C，以PC为半径的P交O于D，E.求证：DE平分PC.5.已知：ABC的两条高AD和BE相交于P，且ADBC，F是BC的中点.求证：PDPFBC6.已知：平行四边形ABCD中，AB，AC2BD2AB4AD4.求证：AB.7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的两边的乘积的比.8.已知：AB是O的直径，E是半圆上的一点，过点E作O的切线和过A，B的O的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线AC，BD交于F，EF的延长线交AB于H.求证：EF=FH.9.已知：如图M
6、和 N相交于A，B，公共弦AB的延长线交两条外公切线于P，Q.求证：PA=QB；PQ2=AB2+CD2. 10. 已知：正方形ABCD内一点P，满足等式PAPBPC123.求证：APB135.11.一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数a和b表示两直角边）（1979年美国中学数学竞赛试题）参考答案练习241. 设IAa,ICb,IHx,HQy用相交弦定理列方程组.2. 引入参数，设DBC，PA2PBPD3. 设ABHACH，用AHSin表示两圆的半径.4. 设DFm,FE=n,PF=x,FC=y,P的半径为r,由相交弦定理，得mn=x(y+r)=y(x+r)6.设ABa,AD=b,AC=p ,D=q (qp),则CosA=，A45度.7.设AB=a,BC=b.CD=c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v,，同理8.设EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可证EFBC，9. 设PAPCPDx，QBQEQFy,AB=a，CDEF 由切割线定理可知x=y,PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2=4PAPB+AB2=4PC2+AB2=4+AB2=AB2+CD211. 263
