1、第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除。0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征
2、：抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，能被9整除，y=6.328567，x=3例2已知五位数能被12整除，求解：五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1234能被3整除时，x=2，5，8当末两位能被4整除时，0，4，88例3求能被11整除
3、且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是10263。练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）75618591287327610101102962、若四位数能被3整除，那么 a=_3、若五位数能被11整除，那么_4、当m=_时，能被25整除5、当n=_时，能被7整除6、能被11整除的最小五位数是_,最大五位数是_7、能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最大四位数是_。8、8个数：125，756，1011，2457，7
4、855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个，能被3整除但不是5的倍数的共_个。10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11、已知五位数能被15整除，试求A的值。12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是_（1989年全国初中联赛题） 第二讲 倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B（B0），如果B能整除A（记作BA），那么A叫做B的倍数，B叫
5、做A的约数。例如315，15是3的倍数，3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3、整数A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是A的倍数，例如5的倍数有5，10，。4、整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A。例如6的约数是1，2，3，6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7、在有余数的除法中，被除数除数
6、商数余数。若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除。例如23372，则232能被3整除。二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，32231，2，3，64221，2，43321，3，3232231，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是
7、：设Aambn(a，b是质数,m，n是正整数)，那么合数A的正约数的个数是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：24233，902325最大公约数是23， 记作（24，90）6最小公倍数是23325360， 记作24,90=360例3已知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数（30，42）6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，N6，3例4一个数被10除余9，被9除余
8、8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：10,9,8=360,所以所求的数是359练习二1、12的正约数有_,16的所有约数是_2、分解质因数300_,300的正约数的个数是_3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_，最大三位数是_6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A_7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。8、一个长方形的房间长1.35丈
9、，宽1.05丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果每步跨4阶，那么最后剩3阶；如果每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。根椐
10、质数定义可知质数只有1和本身两个正约数。质数中只有一个偶数2。如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题例1两个质数的和等于奇数a (a5)，求这两个数。解：两个质数的和等于奇数必有一个是2所求的两个质数是2和a2。例2已知两个整数的积等于质数m, 求这两个数。解：质数m只含两个正约数1和m, 又（1）（m）=m所求的两个整数是1和m或者1和m.例3已知三个质数a,b,c它们的积等于30，求适合条件的a,b,c的值。解：分解质因数：30235适合条件的值共有
11、： ， 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2357，那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N235那么N2，N3，N4，N5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合数。练习三1、小于100的质数共_个，它们是_2、已知质数P与奇数Q的和是11，则P_，Q_3、已知两个素数的差是41，那么
12、它们分别是_4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是_；如果两个整数的积等于73，那么它们是_；如果两个质数的积等于15，则它们是_。5、两个质数x和y，已知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.6、三个质数a,b,c它们的积等于1990，那么7、能整除311513的最小质数是_8、已知两个质数A和B适合等式AB99，ABM，求M及的值。9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：大于1没有小于10的质因数不是质数12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质
13、数是_13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是_。第四讲 零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a 0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数bb时,a-b0；当ab时,a-b0.（三）在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；
14、 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数1.61.651.595近似数1.60a, a2 a2, aa, a+1a3、x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：_句。（x2）2有最小值0，x+3|有最大值0，2x2有最大值2，3x1有最小值3。4、绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5、要使下列等式成立，字母、应取什么值？0，0，06、下列说法正确吗？为什么？a的倒数是方程（a1）3的解是n表示一切自然数，2n1表示所有的正奇数如果ab, 那么m2am2b (a 、b 、m都是有理数 )7、取什么值时，下列代数
15、式的值是正数？（1）（1）（2） 第五讲 an 的个位数一、内容提要1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指数12345678910底数224862486243397139713977931793179其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24k2与22，24k3与23，24k4与24的个位数是相同的（K是正整数）。3和
16、7也有类似的性质。4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用422，823，932转化为以2、3为底的幂。5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4km与am的个位数相同(k,m都是正整数)。二、例题20032003的个位数是多少？解：20032003与32003的个位数是相同的，200345003，32003与33的个位数是相同的，都是7，2003的个位数是7。试说明6320001472002的和能被10整除的理由解：20004500，200245002632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，6320001472
17、002的和个位数是0，6320001472002的和能被10整除。k取什么正整数值时，3k2k是5的倍数？解：列表观察个位数的规律k12343的个位数39712的个位数24863k2k的个位数55从表中可知，当k1，3时，3k2k的个位数是5，am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）;当k为任何奇数时，3k2k是5的倍数。练习五1、在括号里填写各幂的个位数（k是正整数）220的个位数是（） 45的个位数是（）330的个位数是（）87的个位数是（）74K+1的个位数是（） 31179的个位数是（） 216314的个位数是（）32k-172k-1的个位数是（）72k32k的个位
18、数是（） 74k-164k-3的个位数是（）7710331522205525的个位数是（）2、目前知道的最大素数是22160911，它的个位数是_。3、说明如下两个数都能被10整除的理由。5353333319871989199319914、正整数m取什么值时，3m1是10的倍数？5、设n是正整数，试说明2 n 7n+2能被5整除的理由。6、若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是_若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是_若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是_若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是_7、 12+22+32+92的个位数是_，12+22+32+192的个位数是_，12
19、+22+32+292的个位数是_。8、 a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321第六讲 数学符号一、内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示圆和三角形等。2、关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4、逻辑符号：略5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，
20、如果a除以b的商的整数部分记作Z（），而它的余数记作R（）， 那么Z（）3，R（）1；又如设表示不大于x的最大整数，那么5，6，0，3。正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。二、例题例1设表示不大于Z的最大整数，n为正整数n除以3的余数 计算：132004解：原式4（3）100原式14202例2求19871988的个位数 说明1987198919931991能被10整除的理由解：设N（x）表示整数x
21、的个位数N（19871988）N（74497）N（74）1N（19871989）N（19931991）N（744971）N（344973）N（71）N（33）7701987198919931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。例3.定义一种符号的运算规则为：ab=2a+b试计算：53（17）4解：5325313（17）4（217）49429422设ab=a(ab+7), 求等式3x=2(-8)中的x解：由题设可知：等式3x=2(-8)就是3（3x7）22（8）79x+21=18x=4练习六设Qx 表示有理数x 的整数部分，那么Q2.15_，Q12.3=_， Q0.03_
22、，Q_。2、设n表示不小于n的最小整数，那么4.3_，2.3_，2_，0.30.3_。3、设表示不大于m的最大整数若m=2，则= _ 若n= 3.5，则=_ 若10，则_若7b8，则_若=4，则_x_若nCn1则_4、正整数a和b中，设a除以b的商的整数部分记作Z（）余数记作R（），ab的个位数记作n（ab）,写出下列各数的结果：R（）R（）_Z（）Z（）_n(19891990)= _ 5、设n！表示自然数由1到n的连乘积，例如5！12345120计算：1203!6、设= a1b2a2b1，计算：；7、定义一种符号的运算法则为ab=， 那么32_ 23_（12）3_（3）（10）_8、a,b都
23、是正整数，设ab表示从a起b个连续正整数的和。例如23234，545678已知52005，求9、设x表示不大于x数的最大整数且xx，求10、设a表示不大于数a的最大整数，例如1，2，那么3x+12x-的所有的根的和是_（1987年全国初中联赛题）第七讲 用字母表示数内容提要和例题1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。2、用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。例如写出数a的倒数用字母表示一切偶数解：当a0时，a的倒数是设n为整数，2n可表示所有偶数。3、命题中的字母，一
24、般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。例题化简：x 3（x3） | x+5|解：x3,x30，x3（x3）x3当x5时，x5x5，当x 0，b0，那么 a+b0，不可逆绝对值性质 如果a0,那么|a|=a，也不可逆(若|a|=a则a0)7、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？ 解：不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n位正整数，则要观察其规律一位正整数,从1到9共9个， 记作91二位正整数从10到99共90
25、个， 记作910三位正整数从100到999共900个， 记作9102四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9103 (指数3=4-1) n位正整数共910 n-1个例2 在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n个点，则共有线段1+2+3+n+1=
26、=条练习七1、右边代数式中的字母应取什么值？ S正方形=a2 3的倍数3n2、用字母表示：一切奇数；所有正偶数；一个三位数；n个a相乘的结果；负数的绝对值是它的相反数。3、写出：从1开始，n 个自然数的和是_从11开始到2n+1 连续奇数的和( n5)是_m个球队进行单循环赛所需场数是_4、已知999=1031, 9999=1041, 那么各位数都是9的n位数=_5、计算112=_，1112= _，=_6、写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有个点呢？ 第八讲 抽屉原则一、内容提要1、4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个
27、苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。2、如果用表示不小于的最小整数，例如3， 。那么抽屉原则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数mn）,则至少有一个集合里元素不少于个。3、根据的定义，已知m、n可求；己知，则可求的范围，例如已知3，那么23；已知2，则 12，即3x6，x有最小整数值4。二、例题例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于个解：56答：至少有
28、6名学生的生日是同一天例2 从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：1，2，4，8，3，6，5，10，7，9。要在5个集合里取出6个数，至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。（本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不
29、少于3个（有一个集合元素不少于3个）。解：设至少应取出x个，用表示不小于的最小整数，那么3，23，即8x 12，最小整数值是9。答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。例4 等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形，（如图）它们边长等于1，5个点放入4个三角形，至少有2个点放在同一个三角形内，而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。练习八1、初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有_人来自同一个乡镇。2、任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有_个是相同的。3、在2003m中
30、，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少有_个.4、暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双），那么至少要取几只？若要确保10双呢？5、袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6个，请你拿出一些球，要确保至少有4个同颜色，那么最少要取几个？6、任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？7、右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。8、任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。9、90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，
31、总有两人分得同样多，这是为什么？10、11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。（最大公约数是1的两个正整数叫互质数）11、任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？ 第九讲 一元一次方程解的讨论一、内容提要1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是x=3, x=0或x=1, x=6, 所有的数，无解。2、关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解
32、：当a0时，有唯一的解x=；当a=0且b0时，无解；当a=0且b0时，有无数多解。（不论x取什么值，0x0都成立）3、求方程ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当ab时，方程有整数解；当ab，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b二、例题例1 a取什么值时，方程a(a2)x=4(a2)有唯一的解？无解？有无数多解？是正数解？解：当a0且a2 时，方程有唯一的解，x=当a=0时，原方程就是0x= 8，无解；当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解由可知当a0且a2时，方程的解是x=,只要a与4同号，即当a
33、0且a2时，方程的解是正数。例2 k取什么整数值时，方程k(x+1)=k2（x2）的解是整数？（1x）k=6的解是负整数？解：化为最简方程（k2）x=4当k+2能整除4，即k+2=1，2，4时，方程的解是整数 k=1，3，0，4，2，6时方程的解是整数。化为最简方程kx=k6，当k0时x=1，只要k能整除6,即 k=1，2，3，6时，x就是整数当k=1,2,3时，方程的解是负整数5，2，1。例3已知方程a(x2)=b(x+1)2a无解。问a和b应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(ab)x=b方程无解，ab=0且b0a和b应满足的关系是a=b0。例4a、b取什么值时，方程（3x2）a+（2x3）b=8x7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b8）x=2a+3b7，根据0x0时，方程有无数多解，可知当时，原方程有无数多解。解这个方程组得答：当a=2且b=1时，原方程有无数多解。练习九1、根据方程的解的定义，写出下列方程的解：(x+1)=0, x2=9,|x|=9，|x|=3,3x+1=3x1,x+2=2+x2、关于x的方程ax=x+2无解，那么a_3、在方程a(a3)x=a中，当a取值为_时，有唯一的解；当a_时无解；当a_时,有无数多解；当a_时,解是负数。4、k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？x= x= x= x=
