1、 1 2017-2018 学年高二上学期第三次月考 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 若 抛物线 2y ax? 的准线的方程是 2y? ， 则实数 a 的值是 （ ） A 18B 18?C 8 D 8? 2. 不等式 3 11x ?的解集是 （ ） A ? ? ? ?, 1 1,2? ? ? ? B ? ?1,2? C ? ?,2? D ? ?1,2? 3. 夏 季高山上气温从山脚起每升高 100 米降低 0.7 ， 已知山顶的气温是 14.1 ， 山脚
2、的气温是 26 .那么，此山相对于山脚的高度是 （ ） A 1500 米 B 1600 米 C 1700 米 D 1800 米 4. 等差 数列 ?na 共有 3m 项，若前 2m 项的和为 200， 前 3m 项的和为 225， 则中间 m 项的和为 （ ） A 50 B 75 C 100 D 125 5. 满足 1 2 0 , 1 2,A B C A C B C k? ? ? ? ?的 ABC? 恰有一个，则 k 的取值范围是 （ ） A 83k? B 0 12k? C 12k? D 0 12k? 或 83k? 6. 已知 等比数列 ?na 中， 0na? ， 1 2 8 1 2 84 ,
3、 1 6a a a a a a? ? ? ? ? ?， 则1 2 81 1 1a a a? ? ? 的值为 （ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7. 设 ,xy满足约束条件 ,1,x y axy? ? ?且 z x ay? 的最小值为 7，则 a? （ ） A 5? B 3 C 5? 或 3 D 5 或 3? 8. 已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的左焦点 ， ,AB分别为 C 的左 、右顶点 .P 为 C 上 一点，且 PF x? 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ， 与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过
4、 OE 的中点，则 C 的离心率为 （ ） 2 A 13B 12C 23D 349. 钝角三角形的三边为 , 1, 2aa a?， 其最大角不超过 120? ，则 a 的取值范围是 （ ） A 0 a? ? B 3 32 a?C 23a? D 512a?10. 已知 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 若 4, 9AOB CODSS?， 则四边形ABCD 面积的最小值为 （ ） A 21 B 25 C 26 D 36 11. 已知 P 为抛物线 2 4yx? 上一个动点，直线 12: 1, : 3 0l x l x y? ? ? ? ?， 则 P 到直线 12ll、
5、的距离之和的最小值为 （ ） A 22 B 4 C 2 D 3212 ?12. 已知 等差数列 ?na 有无穷项，且 每 一项均为自然数，若 75， 99， 235 为 ?na 中的项，则下列自然数中一定是 ?na 中的项的是 （ ） A 2017 B 2019 C 2021 D 2023 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若等差数列 ?na 满足 7 8 9 7 100, 0a a a a a? ? ? ? ?， 则当 时 ?na 的前 n 项和最大 14. 在 ABC? 中，内角 ,ABC 所对应 的边分别为 ,abc， 已知
6、sin 2 3 sina B b A? ， 若1cos 3A? ，则 sinC 的值为 15. 12,FF是椭圆 2 21 :14xCy?与双曲线 2C 的公共焦点 AB、 分别是 12CC、 在第二、四象限的公共点，若四边形 12AFBF 为矩形，则 2C 的离心率是 16. 22: 16O x y?， ? ? ? ?2,0 , 2,0AB? 为两个定点， l 是 O 的 一条切线，若过 ,AB两点的抛物线以直线 l 为准线， 则 该抛物线的焦点的轨迹方程是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （ 1） 求对称轴是 x 轴，
7、焦点在直线 3 4 12 0xy? ? ? 上的抛物线的标准方程； （ 2） 过抛物线 2 4yx? 焦点 F 的直线 l 它交于 AB、 两点，求弦 AB 的中点的轨迹方程 . 3 18. 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 已知 tan 23,1tan Aca Bb? ? ?. （ 1） 求角 A 的大小； （ 2） 求 bc? 的最大值 . 19. 若数列 ?na 的首项为 1，且 122nnaa? ?. （ 1） 求证 ： ? ?2na? 是等比数列； （ 2） 求数列 ?na 的通项公式； （ 3） 若 ? ?2nnb n a? ? ，求证：数列的前 n 项
8、和 4nS? . 20. 已知 数列 ?na 中，1111, 2nnna a a ? ?. （ 1） 求证：数列 ?2na 与 ? ?21na? 都是等比数列； （ 2）若数列 ?na 的前 2n 项和为 2nT .令 ? ? ? ?231nnb T n n? ? ?， 求数列 ?nb 的最大项 . 21. 已知 动圆 P 过定点 ? ?1,0A? ，且在定圆 ? ?2 2: 1 16B x y? ? ?的内部与其相内切 . （ 1） 求动圆圆心 P 的轨迹方程 E ； （ 2） 直线 :1l y x? 与 E 交于 ,CD两点，与圆 B 交于 ,GH两点，求 GHCD的值 . 22. 已知
9、点 31, ,2AO?为坐标原点， ,EF是椭圆 22:143xyC ?上的两个动点，满足直线 AE与直线 AF 关于直线 1x? 对称 . （ 1） 证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值； （ 2） 求 OEF? 的面积最大时直线 EF 的方程 . 4 试卷答案 一、选择题 1-5: BDCBB 6-10: ABABB 11、 12： AB 二、填空题 13. 8 14. 2 6 16?15. 6216. ? ?221016 12xy y? ? ?三、解答题 17.解：（ 1）对称轴是 x 轴则顶点在焦点在 x 轴 4 4 12 0xy? ? ? 所以 ? ?3,0F ， 则 32p
10、?， 2 12p? ， 2 12yx? . （ 2）由题知抛物线焦点为 ? ?1,0 ， 当直线的斜率存在时，设为 k ， 则焦点弦方程为 ? ?1y k x?， 代入抛物线方程得 所以 ? ?2 2 2 22 4 0k x k x k? ? ? ?， 由题意知斜率不等于 0， 方程是一个一元二次方程，由韦达定理： 212 224kxx k?所以中点坐标： 2122 22xx kx k? ?代入直线方程 中点纵坐标； ? ? 21y k xk? ? ?即中点为 22 22,kkk?消参数 k ， 得其方程为 2 22yx? 当直线 的斜率不存在时，直线的中点是 ? ?1,0 ， 符合题意 ，
11、综上所述，答案为 2 22yx?. 18.解：（ 1）在 ABC? 中， tan 21tanAcBb?，整理可得： tan 2tanA c bBb?， sin co s 2 sin sinco s sin sinA B C BA B B?， s in c o s 2 s in c o s s in c o sA B C A B A?， 5 sin 2sin cosC C A? ， 1cos2A?，可得： 60A?. （ 2）由（ 1），根据余弦定理可得： ? ? ? ? 222 2 2 39 2 c o s 9 3 934 bca b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ?
12、? ? ?，解得： ? ?2 36bc?， 6bc? ，当且仅当 bc? 时， ? ?max 6bc?，故 bc? 的最大值为 6. 19.解：（ 1）由 1 2nnaa? ?得1 1 12nnaa? ?， ? ?1 1222nnaa? ? ? ?， 1 1a? ， 20na? ， 1 21a? ? ， ? ?2na? 是首项为 1? 公比为 12的等比数列 （ 2）由（ 1）知 ? ? 11212nna? ? ? ?， ? ?1 *122nna n N? ? ?（ 3） 11112222nnnb n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?211 1 11 2 32 2
13、2nnSn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 231 1 1 1 1232 2 2 2 2nnSn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1121 22nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 122 2 nn ? ? ? ? ? ? 114 2 42 nnSn ? ? ? ? ?. 20.（ 1）证明：数列 ?na 中
14、， 1 1a? ， ? ?*1 12 nnna a n N? ? ， ? ?1 *12 12nnna a n N? ?， 2 12nnaa? ? ， 1 1a? ，2 12a?， 数列 ? ?21na? 是以 1 为首项，以 12为公比的等比数列， 6 数列 ?2na 是以 12为首项，以 12为公比的等比数列 . （ 2）解：由（ 1）得 ? ? ? ?2 1 3 2 1 2 4 2n n nT a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 111 113222 311 21122nnn? ? ? ? ?. ? ? ? ?231nnb T n n? ? ? ? ? ? 1312 nn
15、n ?， ? ? ? 11 13 1 2 2 nnb n n ? ? ? ? ?， ? ?1 1231 22nnn nb b n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?113 1 22 nnn? ? ? ， 14 nbb b?， ? ?23max 92nb b b? ? ?. 21.解：（ 1）如图所示，设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P 到两定点，即定点 ? ?1,0A? 和定圆圆心 ? ?1,0B 距离之和恰好等于定圆半径， 即 4P A P B P M P B B M? ? ? ? ?， 点 P 的轨迹 E 是以 ,AB为两焦点，半长轴为 2，
16、半短轴长为 222 1 3b? ? ? 的椭圆：22143xy?. 7 （ 2）将 1yx?代入 22143xy?得， 27 8 8 0xx? ? ? ， 所以 28 8 2 4247 7 7CD ? ? ? ? ?，又由垂径定理得， 21 0 12 1 6 2 1 42GH ? ? ?，所以 2 14 7 1424 127GHCD ?. 22.解：（ 1）设直线 AE 方程为： ? ? 312y k x? ? ?，代入 22143xy?得 ? ? ? ? 222 33 4 4 3 2 4 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ? ? ? 设 ? ? ? ?, , ,E E F F
17、E x y F x y，因为点 31,2A?在椭圆上，所以 2234 32,3 4 2E E Ekx y kx kk? ? ? ? 又由题知，直线 AF 的斜率与 AE 的斜 率互为相反数，在上式中以 k? 代 k ，可得 2234 32,3 4 2E E Ekx y kx kk? ? ? ? ? ， 所以直线 EF 的斜率 ? ? 2 1=2FEFEEF F E F Ek x x kyyk x x x x? ? ? ?即直线 EF 的斜率为定值，其值为 12. （ 2）由（ 1）可设直线 EF 方程为： 12y x m?，代入 22143xy?得 2230x mx m? ? ? ?，则 2,
18、3E F E Fx x m x x m? ? ? ? ? ?.由 0? 可得 2 4m? . 8 ? ?2 2 2151 4 1 2 322E F E FE F x x x x m? ? ? ? ? ? ? ， O 到直线 EF 的距离 52md? ， 可得 ? ? 22 4 21 1 11 2 3 1 2 3 2 32 2 2O E FS E F d m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 2 2m? （满足 2 4m? ），即 2m? 时取等，此时直线 EF 的方程为： 1 22yx?，或 1 22yx?. -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
