1、 - 1 - 山西省应县 2017-2018 学年高二数学上学期第四次月考试题 理 时间： 120分钟 满分： 150分 一、 选择题： (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的 ). 1、在下列命题中： 若向量 ,ab?共线，则 ,ab?所在的直线平行； 若向量 ,ab?所在的直线是异面直线，则 ,ab?一定不共面； 若三个向量 ,abc?， 两两共面，则 ,abc?， 三个向量一定也共面； 已知三个向量 ,abc?， ，则空间任意一个向量 p? 总可以唯一表示为 p x a y b z c? ? ? ? ? ? . 其中正确命题的个数为
2、（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.已知下列三个命题： 若一个球的半径缩小到原来的 ，则其体积缩小到原来的 ； 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； 直线 x y 1 0与圆 x2 y2 相切，其中真命题的序号是 ( ) A B C D 3、 已知 ， ，若 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4、 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， ACB 90 ， AA1 2， ACBC 1，则异面直线 A1B与 AC所成角的余弦值是（ ） A 65 B 64 C 63 D 66 5、 命题 “ 对任意 x 1,2)， x2 a 0” 为真命题的一
3、个充分不必要条件可以是 ( ) A a1 B a1 C a4 D a4 6、 已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段 AB上一点，且 ,则点 C的坐标是 （ ） - 2 - A. B. C. D. 7在同一坐标系中，方程 a2x2 b2y2 1与 ax by2 0(a b 0)表示的曲线大致是 ( ) 8、 若 ， ，且 ，则 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. -2 D. 2 9、 在空间直角坐标系中， A(1， 1， -2)， B(1， 2， -3)， C(-1， 3， 0)， D(x， y， z) ， (x， y，zR) ，若四点 A， B， C， D共面，则（ ）
4、A. 2x+y+z=1 B. x+y+z=0 C. x-y+z=-4 D. x+y-z=0 10、 如图所示 ，空间四边形 OABC 中， ,O A a O B b O C c? ? ?，点 M在 OA上，且 2OM MA? ， N 为 BC 中点，则 MN 等于（ ） A. 1 2 12 3 2a b c? B. 2 1 13 2 2abc? C. 1 1 22 2 3a b c? D. 2 2 13 3 2a b c? 11、如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，底面是边长为 2的正方形，若 11 60A AB A AD? ? ? ? ?，且 1 3AA? ，则
5、 1AC 的长为（ ） A. 5 B.22 C. 14 D. 17 12我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线，已知 F1， F2是一对相关曲线的焦点， P是它们在第一象限的交点，若 F1PF2 60 ，则这一对相关曲线中椭圆的离心率 e ( ) A. 33 B.12 C.13 D. 32 二、 填空题 (共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) - 3 - 13、如图所示，在长方体 1 1 1 1OABC O A B C? 中， | | 2OA? ， | | 3AB? ， 1| | 3AA? ， M 是 1CB与 1BO 的交点，则 M 点的坐标是 14、 已知 是直线
6、 L被椭圆 所截得的线段的中点，则 L的方程是 _ 15、已知空间三点 O(0,0,0)， A( 1,1,0)， B(0,1, 1)在直线 OA 上有一点 H满足 BH OA，则点 H的坐标为 _. 16 若 点 O和点 F分别为椭圆 13422 ?yx的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则 OP FP的最大值为 _ 三、解答题（共 6小题，共 70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程。） 17、（ 10分） 已知椭圆228 181 36xy?上一点 M的纵坐标为 2. （ 1）求 M的横坐标； （ 2）求过 且与194共焦点的椭圆的方程 . 18、（ 12分） 如图，在三棱锥 P-AB
7、C中， PA 底面 ABC， 90BAC? ? ? .点 D， E， N分别为棱 PA， PC， BC 的中点， M是线段 AD的中点， PA=AC=4，AB=2. （ ）求证： MN 平面 BDE； （ ）求二面角 C-EM-N的正弦值； 19、（ 12分） 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? ， （ 1）求证： 1BD? 平面 11ABC ； （ 2）求直线 1BB 与平面 11ABC 所成角正弦值 . - 4 - 20、（ 12 分） 如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，底面 ABCD和侧面 11BCCB 都是矩形， E是 CD的中点， 1DE C
8、D? ， 22AB BC?. （ 1）求证： 1BC DE? ； （ 2）若平面 11BCCB 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为3? ，求线段 1DE的长度 . 21、（ 12分） 如图 1，矩形 ABCD 中， 2 3 6 6 6B C A B D E F C? ? ? ?，将 ABE 沿 BE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 A BCDE? ， 其中 7AC? . （）证明：平面 ABE? 平面 BCD ； （）求平面 AEF 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值 . 22、 已知过抛物线 2: 2 ( 0 )C y px p?的焦点 F ，斜率为 2 的直线交抛物线于? ? ?
9、 ?1 1 2 2 1 2, , , ( )A x y B x y x x?两点，且 6AB? . （ 1）求该抛物线 C 的方程； （ 2）已知抛物线上一点 ? ?,4Mt ，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ，且 MD ME? ，判断直线 DE 是否过定点？并说明理由 . - 5 - 高二月考四 理数答案 2017.12 1-6 ACADDC 7-12 DCABAA 13. )23,23,1( 14. 15. 11, ,022? 16. 6 17、（ 10分） 18、（ 12分）解： 如 图，以 A为原点，分别以 AB ， AC ， AP 方向为 x轴、 y轴、 z轴正方向建立空
10、间直角坐标系 .依题意可得 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 0， 4， 0）， P（ 0， 0， 4）， D（ 0， 0， 2）， E（ 0， 2， 2），M（ 0， 0， 1）， N（ 1， 2， 0） . （ ）证明： DE =（ 0， 2， 0）， DB =（ 2， 0， 2? ） .设 ( , , )x yz?n ，为平面 BDE的法向量， 则 00DEDB? ?nn，即 202 2 0yxz? ?.不妨设 1z? ，可得 (1,0,1)?n .又 MN =（ 1， 2， 1? ），可得0MN?n . 因为 MN? 平面 BDE，所以 MN/平面 BDE. （
11、 ）易知 1 (1,0,0)?n 为平面 CEM的一个法向量 .设 2 ( , , )x y z?n 为平面 EMN的法向量，则2200EMMN? ? ?nn ，因为 (0, 2, 1)EM ? ? ? ， (1,2, 1)MN?，所以 20yzx y z? ? ? ? ? ? .不妨设 1y? ，可得2 ( 4,1, 2)? ? ?n . 因此有 1212 12 4c o s , | | 21? ? ? ?nnnn | n n，于是12 105sin , 21? ?nn. 所以，二面角 C EM N的正弦值为 10521. 19、（ 12分） 解： () 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12、1 1,A C B D A C B B B D B B B? ? ? ? - 6 - 1 1 1 1A C BDD B? 平 面 ，而 1 1 1D BDD B? 平 面 1 1 1AC BD? ，同理 11AB BD? ， 而 11AC 、 1AB为平面 11ABC平 面 上相交两直线， 1 1 1B D A BC? 平 面 () 以 1DA DC DD、 、 分别为 x y z、 、 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为 1， 则有 ? ?0,0,0D ， ? ?1 1,1,1B ， ? ?1,1,0B ， 由 () 知平面 11ABC平 面 的一个法向量为 ? ?1 1,1,1DB
13、? ， 而 ? ?1 0,0,1BB ? ， 11 13, 33cos D B B B? ? ? ?， 直线 1 1 1BB A BC与 平 面 所成角的正弦值为 33 20、 （ 12分） （ 1）证明： 底面 ABCD 和侧面 11BBCC 是矩形， CDBC? ， 1CCBC? 又 CCCCD ?1? ?BC 平面 11DDCC ? 3分 ?ED1 平面 11DDCC 1?BC DE ? 6分 （ 2）解：由（ 1）可知 1?BC DE 又 1DE CD? ， CCDBC ? ED1 ? 底面 ABCD ? 7分 设 G 为 AB 的中点，以 E 为原点，以 EG ， EC ， 1ED
14、所在直线分别为 zyx , 轴，建立空间直角坐标系如图 ? 8分 设 aED ?1 ，则 )0,0,0(E ， )0,1,1(B ， ),0,0(1 aD ， )0,1,0(C ， ),2,1(1 aB 设平面 1BED 的一个法向量 ),( zyxn? - 7 - )0,1,1(?EB ， ),0,0(1 aED ? 由? ? 001EDn EBn，得? ? 00zyx令 1?x ，得 )0,1,1( ?n ? 9分 设平面 11BCCB 法向量为 ? ?1 1 1,m x y z? ，因为 (1,0,0)CB? ， 1 (1,1, )CB a? ， 由100m CBm CB? ?得 11
15、1 10, 0.xx y az? ? ? ?令 1 1z? ，得 ? ?0, , 1ma? ? 10 分 由平面 11BCCB 与平面 1BED 所成的锐二面角的大小为 3? ， 得 2|c o s , c o s 321m n amnmn a? ? ? ? ?，解得 1a? 即线段 1DE的长度为1 ? 12分 21、 （ 12分） （）在图 2中取 BE 的中点 G ，连接 AG ， CG .由条件可知图 1中四边形 ABFE 为正方形，则有 AG BE? ，且可求得 2AG? . 在 GBC 中， 2BG? ， 3BC? ， 45GBC? ? ? ，由余弦定理得2 2 2 2 c o s
16、 2 9 6 5C G B G B C B G B C G B C? ? ? ? ? ? ? ? ?. 在 AGC 中， 2 2 225AG CG AC? ? ? ?，所以 90AGC? ? ? ，即 AG CG? . 由于 BE ， CG? 平面 BCD ， AG BE? 且 AG CG? ， BE CG G? ，所以 AG? 平面 BCD . 又 AG? 平面 ABE ，故平面 ABE? 平面 BCD . （）如图，以 O 为坐标原点，以平行于 DC 的方向为 x 轴，平行于 ED 的方向为 y 轴，建立空间直角坐标系 . 由题设条件，可得 (2 2 0)F ， ， ， (0 2 0)E
17、， ， ， (2 3 0)C ， ， ， (0 3 0)D ， ， . 由（）得 AG? 平面 BCD ，可求得 A 点坐标为 (1 1 2)， ， ， 所以 (1 1 2)AF ?， ， ， (2 0 0)EF ? ， ， ，设平面 AEF 的法向量为 1 1 1()a b c? ， ，u ，由0AF?u 及 0EF?u 得 1 1 112020a b ca? ? ? ? ? 令 1 2b? ，由此可得 (0 2 1)? ， ，u . - 8 - 由于 (1 2 2 )AC ?， ， ， (2 0 0)DC ? ， ， ，设平面 ACD 的法向量为 2 2 2()a b c? ， ，v ，由
18、0AC?v 及 0DC?v 得 2 2 222020a b ca? ? ? ? ? 令 2 2b? ，由此可得 (0 2 2)? ， ，v 所以 4 2 2c o s| | | 336? ? ?， uvuv uv则平面 AEF 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值为 223. 22、（ 12分） 解：（ 1）拋物线的焦点 ,02pF?， 直线 AB 的方程为 : 22pyx?. 联立方程组2 2 22y pxpyx?，消元得 : 22 204px px? ? ?， 21 2 1 22, 4px x p x x? ? ?. ? ? 2 221 2 1 21 2 4 3 4 6A B x x x x p p? ? ? ? ? ? ? ? 解得 2p? . 抛物线 C 的方程为： 2 4yx?
