1、 - 1 - 2017年下学期高二年级联考 理科数学试题 总分： 150分 时量： 120 分钟 考试时间： 2017年 12 月 12 日 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 一支田径队有男运动员 40 人，女运动员 30 人，要从全体运动员中抽取一个容量为 28 的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 2 下列说法中错误的是 （ ） A. 若命题 2: , 1 0p x R x x? ? ? ? ?，则 2: , 1 0p x R x
2、x? ? ? ? ? ?. B. “ 1x? ” 是 “ 2 3 2 0xx? ? ? ” 的充分不必要条件 . C. 命题 “ 若 2 3 2 0 , 1x x x? ? ? ?则” 的逆否命题为 :“ 若 1x? ，则 2 32xx? ? ? 0” D. “ 若 5xy? ，则 2x? 或 3y? ” 是假命题 . 3 设 ?fx? 是函数 ?fx的导函数， ? ?y f x? ? 的图像如右图所示，则 ? ?y f x? 的图像最有可能的是 ( ) . A B C D 4 若变量 ,xy满足约束条件12 11xyxyy? ?，则 3z x y?的最大值为（ ） - 2 - A. -7 B
3、. -1 C. 1 D. 2 5 若执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6 九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题： “ 今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ” 其意思为： “ 已知直角三角形两直角边长分别为 8步和 15步，问 其内切圆的直径为多少步？ ” 现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ） A. 310? B. 320? C. 20? D. 10? 7 已知数列 ?na 是正项等比数列，若 1 32a? ， 3432aa? ，数列 ? ?2log na的前 n 项和为 nS ，
4、 则 nS 0时 n 的最大值为 （ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 11 8 如 右 图在一个 60? 的二面角的棱上有两个点 AB、 ，线段 AC 、 BD 分别在这个二面角 的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，且 1, 2AB AC BD? ? ?，则 CD 的长为 ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 22 9 已知两圆 ? ? ? ?222212: 4 1 6 9 , : 4 9C x y C x y? ? ? ? ? ?，动圆在圆 1C内部且和圆 1C 相内切，和圆 2C 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ） A. 22164 48xy?B. 22148 64
5、xy?C. 22148 64xy?D. 22164 48xy?10 使函数 32( ) 2 1f x x x ax? ? ? ?在 上是增函数的 一个充分不必要条件是 （ ） A 43a? B 43a? C 43a? D 43a? 11 曲线 22yx? 上 两点 ? ? ? ?1 1 2 2,A x y B x y、 关于直线 y x m? 对称，且12 12xx? ?，则m 的值为（ ） - 3 - A. 3 B. 52 C. 2 D. 32 12 已知定义在 R 上的函数 ? ?y f x? 满足：函数 ? ?1y f x?的图象关于直线 1x? 对称，且当 ( ,0)x? 时，有 (
6、) ( ) 0f x xf x?（ ?fx是函数 ?fx的导函数 )成立 .若1122a sin f sin? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? 112211l n 2 l n 2 , l o g l o g44b f c f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 ,abc的大小关系是（ ） A. abc? B. bac? C. c a b? D. a c b? 二、填空题：本题 共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13 对一批产品的长度 (单位：毫米 )进行抽样检测，样本容量为 400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区
7、间 25， 30)的为一等品，在区间 20， 25)和30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 _ 14 双曲线 222 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为 12,FF， 过 1F 作倾斜角为 030 的直线与y 轴和双曲线右支分别交于 ,AB两点，若点 A 平分 1FB， 则该双曲线的离心率 为 _ 15 已知数列 ?na 满足： 1 11n na a? ?， 1 2a? ， 记数列 ?na 的前 n 项之积为 nP ，则2017P ? _. 16 已知 ,AB两地的距离是 120km ，按交通法规规定， ,AB两地之间的公路车速应限制在50 1
8、00 /km h? ，假设汽油的价格是 6 元 /升，以 /xkmh 速度行驶时，汽车的耗油率为- 4 - 24/360x Lh?， 支付 司机每小时的工资 36元 . （ 1）此次行车最经济的车速是 _； （ 2） 如果不考虑其他费用，这次行车的总费用 最小值为 _. 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（ 10分） 命题 p ：方程 22 1( )33xy kRkk? ? ?表示双曲线；命题 q ：不等式 2 10kx kx? ? ?的解集为 R； （ 1）若 p 为真命题，求 k 的取值范围； （ 2） 若命题 pq? 为真命题， pq? 为假命题，求实
9、数 k 的取值范围 18 （ 12 分） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 至 月份每月 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料： 日期 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 昼夜温差 就诊人数 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 组（每个有序数对 叫作一组）数据中随机选取 组作为检验数据，用剩下的 组数据求线性回归方程 . （ 1）求选取的 组数据恰好来自相邻两个月的概率； （ 2）若选取 的是 月和 月的两组数据，请根据 至 月份的数据，求出 关于 的线 性回归方程； （ 3）若由线性回归方程得到的估计数据与
10、所选取的检验数据的误差均不超过 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（ 2）中所得到的线性回归方程是否是理想的？ - 5 - （参考公式：回归直线方程为 ? ?y bx a?，其中 1221?niiiniix y nxybx nx?， ?a y bx? ） 19 (12分 )已知关于 x 的函数 ? ? ? ?0exax af x a? （ 1）当 1a? 时，求函数 ?fx在点 ? ?0,1 处的切线方程 ； （ 2 ）设 ? ? ? ?e lnxg x f x x? ，讨论函数 ?gx的单调 性； （ 3 ）若函数 ? ? ? ? 1F x f x?没有零点，求实数 a 的取值范围
11、20 （ 12 分） 在如图所示的多面体中， EA? 平面 ABC ， DB? 平面 ABC ， AC BC? ，且 22A C B C B D A E? ? ? ?， M 是 AB 的中点 （ 1）求 证： CM EM? ； （ 2）求平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值 ； （ 3）在棱 DC 上是否存在一点 N ，使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角是 60? 若存在，指出点 N 的位置；若不存在，请说明理由 - 6 - 21（ 12 分）在数列 na 中， 1 1, 2an?当 时，其前 n 项和 nS 满足： )12(2 2 ? nnn SaS . （ 1）求证：
12、数列 1nS是等差数列，并用 n 表示 nS ； （ 2）令 21nn Sb n? ?，数列 nb 的前 n 项和为 .nT 求使得 )3()12(2 2 ? nmnT n 对所有nN? 都成立的实数 m 的取值范围 22 （ 12 分） 设 ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y 是椭圆 ? ?22 10yx abab? ? ? ?上的两点，椭圆的离心率为 32，短轴长为 2，已知向量 11,xym ba?， 22,xyn ba?，且 mn? ， O 为坐标原点 . （ 1）若直线 AB 过椭圆的焦点 ? ?0,Fc，（ c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值； （ 2）试
13、问： AOB? 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 . - 7 - 浏阳一中 醴陵一中 南方中学 2017 年下学期高二年级联考 理科数学参考答案 一选择题： BDCDA BCADB DA 二填空题： 13. 100； 14 3 ； 15 2 ； 16 (1)60 /kmh (2) 240 元 三解答题 17 解： （ 1） 方程 + =1（ k R）表示双曲线， 则（ k 3）（ k+3） 0，即 3 k 3 ? 4分 （ 2） 不等式 kx2+kx+1 0的解集为 R?k=0或 ，解得： 0 k 4 ? 6分 命题 p q为真命题， p q为假命题， 所以 p、 q
14、一真一假 若 p真 q假：则 k的范围是 k|k 0或 k 4 k| 3 k 3=（ 3， 0）； 若 p假 q真：则 k的范围是 k|k 3或 k 3 k|0 k 4=3， 4） 综上， k的取值范围是：（ 3， 0） 3， 4） ? 10分 18 （ 1）设选取的 组数据恰好是相邻两个月为事件 ，因为从 组数据中选取 组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的 . 其中选取的 组数据恰好是相邻两个月的情况有 种 . 所以 . ? 4分 （ 2）由数 据求得 .由公式求得 ， 再由 求得： . 所以 关于 的线性回归方程为 . ? 9分 （ 3）当 时， ；当 时， . 所以，该小组所得线性
15、回归方程是理想的 . ? 12分 - 8 - 19.（ 1）当 1a? 时， ? ? 1exxfx ?， ? ? ? ? ? 2e e 1 1 1 2eeexx xxx xfx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 00202ef ? ? ? ?， 12yx? ? ， 即 ?fx在 ? ?0,1 处的切线方程为 2 1 0yx? ? ? ? 4分 （ 2 ） ? ? ? ? ?2eee l nexxxxa a x ag x x? ? ? ? ?2 ln 0ax a x a? ? ? ? ?， ? ? 1g x a x? ? ， 当 0a? 时， ? ? 0gx? ? 在 ? ?0
16、,? 上恒成立 ， ?gx在 ? ?0,? 单调递增， 当 0a? 时，令 ? ? 0gx? ? ，解得 10 x a? ， 令 ? ? 0gx? ? ，解得 1x a? ， ?gx在 10,a?单调递增，在 1,a?单调递减 ? 8分 （ 3 ） ? ? e 0e xxax aFx ?没有零点， 即 ? ?e1x ax? ? 无解 ， 1 exy? 与 ? ?2 1y a x? ? 两图象无交点， 设两图象相切于 ? ?,mn 点， ? ?e1 emmama? ? ? ， 2m? ， 2ea? 两图象无交点， ? ?2e ,0a? ? ? 12 分 20 （ 1） 证明： AC BC? ， M 是 AB 的中点， CM AB? ， - 9 - 又 EA? 平面 ABC ， CM EA? ， EA AB A?， CM? 平面 AEM
