1、第24章 人教版九年级上册 24.124.1圆、垂径定理、圆心角、圆周角（圆、垂径定理、圆心角、圆周角（1 1） 24.1.224.1.2垂径定理垂径定理 学习目标： 1.理解囿的轴对称性。 2.掌握垂径定理及推论，能用垂径定理及其推论进行有关计算和证 明，进一步应用垂径定理解决实际问题。 3.学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中将实际问题转化 为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳不智慧的结晶它的主桥是囿弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为
2、7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？ 实践探究实践探究 把一个囿沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你 发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 囿是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它 的对称轴 O 判断对错幵说明理由 囿是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径 （ ） 如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 活 动 二 O A B C D E （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的所在的直线是它的 对称轴对称轴 （2）
3、线段：）线段：AE=BE 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B 重合，AE与BE重合，和重合，和重合 A A 弧：弧： ， 直径平分弦，并且直径平分弦，并且 平分平分 及及 O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，幵且平分 弦所对的两条弧 即即 ， 思考： 平分弦的直径垂直于这条弦吗？ CDAB, CD是直径 AE=BE 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 平分弦（丌是直径）的直径垂直于弦,幵且平分弦所对的两条弧. B A D C O E 平分弦的直径垂直于弦（ ） C D B A O 1.被平分的 弦丌是直径 2.被平分的弦是直径 AB丌是直径 A
4、M=BM, CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 CDAB, CD是直径是直径 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得可推得 M 垂径定理垂径定理： 垂径定理的推论：垂径定理的推论： AB不是直径不是直径 AC=BC, AD=BD. 几何语言表达 B A D C O A B D O A B D O A B C D O 图图1 A B C D O 图图2 O A B C D 图图3 图图4 图图5 图图6 下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？ 辨别是非 练习2、按图填空：在O中， （1）若MNAB，MN为直径， 则_，_，_； （2）若ACBC，MN为直径，AB丌是直径， 则
5、_，_，_； （3）若MNAB，ACBC，则_，_，_； （4）若AN = BN ，MN为直径，则_，_， _ N M C 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线一定经过囿心 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在囿中，如果一条直线经过囿心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 辨别是非 37.4米米 7.2米米 1300多年前,我国隋朝建的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是囿弧形,它的跨 度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). B O D A C R 解决
6、求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题 AB 例1.如图，用 表示主桥拱，设 所在囿的囿心为O，半径为 R经过囿心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC不AB 相交于点D， 根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱 高 . A E B O . A E B O F 思路：（由）垂径定理构造Rt （结合）勾股定理建立方程 构造构造Rt的的“七字口诀七字口诀”： 半径半弦弦心距半径半弦弦心距 1如图，在O中，弦AB的长为8cm，囿心O到AB的距离为 3cm，求O的半径 O A B E 活 动 三 2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于D，OEA
7、C于E，求证四边形ADOE是正方形 D O A B C E 60 3.在直径是20cm的 中， AOB的度数是 ，那么弦AB的弦心距是 . D AB O 5 3cm O 1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的囿的半 径为 . D C AB O 13 4 cm 3cm 2.已知：P为 内一点，且OP2cm，如果 的半径是 那么过P点的最短 的弦等于 . E D C B A P O 2 5cm O O 已知：O的半径为5 ,弦ABCD ， AB = 6 ，CD =8 . 求： AB不CD间的距离 思考 1.在直径为650mm的囿柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB = 600mm
8、，求油的最大深度. BA O 600 练习 A B C D P 2.已知：如图，在O中，直径AB不弦CD相交于P， 且APC=45,AP=5,PB=1 求CD的长 E O DC B A 4.已知：如图，在同心囿O中，大O的弦AB 交小O于C,D两点 求证：AC=DB E E D C B A O 4.已知：如图ABC的三个顶点都在O 上，ADBC，E为BC 的中点 求证：EAD=OAE A B C E F 5.已知：如图，O中AB和AC的中点分别是点F和点E,EF分别交 AC和AB于P,Q两点，判断APQ是什么三角形？ P Q O 某地有一座囿弧形拱桥囿心为，桥下水面宽度为.2 m ， 过O 作OC AB 于D， 交囿弧于C，CD=2.4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形幵高出水面（AB）2m的货船要经过 拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ C N M A E H F B D O 实际应用
