1、第二十二章 二次函数 专题训练(三) 二次函数与几何图形小综合 类型之一 二次函数与三角形的结合 1如图，直线 l 过点 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 yax2 的图象在第一象限内交于点 P，若 SAOP9 2，求二次函数的解析式 解：设直线 l 的解析式为 ykxb，直线 l 过点 A(4，0) 和 B(0，4)两点，4kb0，b4，yx4.SAOP 9 2， 1 24yp 9 2，yp 9 4， 9 4x4，解得 x 7 4. 把点 P 的坐标(7 4， 9 4)代入 yax 2，解得 a36 49，y 36 49x 2 2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛
2、物线y ax2bx(a0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AOOB2， AOB120.求这条抛物线的解析式 解：AOOB2，AOB120，点 B 的坐标为(2，0)， 点 A 的坐标为(1， 3)抛物线 yax2bx(a0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B， 4a2b0， ab 3， 解得 a 3 3 ， b2 3 3， 抛物线的解析式为 y 3 3 x22 3 3 x 3如图，在坐标系 xOy 中，ABC 是等腰直角三角形，BAC 90，A(1，0)，B(0，2)，抛物线 y1 2x 2bx2 过 C 点求抛 物线的解析式 解：过点 C 作 CDx 轴于点 D，则CADACD90. OB
3、AOAB90，OABCAD90，OAB ACD ， OBA CAD ， 又 AB AC ， AOB CDA(ASA)CDOA1，ADOB2，ODOAAD3， C(3，1)点 C(3，1)在抛物线 y1 2x 2bx2 上，可得 b 1 2，抛物线的解析式为 y 1 2x 21 2x2 类型之二 二次函数与平行四边形的结合 4如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线 yax2bxc(a0)，点A，B，D的坐标分别为(2，0)，(3，0)，(0 ，4)求抛物线的解析式 解：由已知点，得 C(5，4)把 A(2，0)，D(0，4)，C(5，4) 代入抛物线解析式 yax2bxc
4、中，得 425a5bc， 04a2bc， 4c. 解得 a2 7， b10 7 ， c4. 所以抛物线的解析式为 y2 7x 210 7 x4 类型之三 二次函数与矩形、菱形、正方形的结合 5二次函数 y2 3x 2 的图象如图所示，点 A0位于坐标原点，点 A1， A2，A3，An在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，Bn在二 次函数位于第一象限的图象上四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3，四边形 An1BnAnCn都是菱形， A0B1A1A1B2A2A2B3A3An1BnAn60，菱形 An1BnAnCn的周长为_ 4n 6 如图所示， 在平面
5、直角坐标系 xOy 中， 边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数 y2 3x 2 bxc 的图象经过 B，C 两点求该二次函数的解析式 解：由题意，得 C(0，2)，B(2，2)， c2， 2 342bc2， 所以 b4 3， c2， 该二 次函数的解析式为 y2 3x 24 3x2 7如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若AEF90 ，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)图甲中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)； (
6、2)如图乙，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合) AEEF是否总成立？请给出证明； 在如图乙所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y x2x1上，求此时点F的坐标 解：(1)如图甲，取 AB 的中点 G，连接 EG，AGE 与ECF 全等 (2) 若点 E 在线段 BC 上滑动，AEEF 总成立证明：如图乙，在 AB 上截 取 AMEC.ABBC，BMBE，MEB 是等腰直角三角形， AME18045 135 .又 CF 平分正方形的外角， ECF135， AMEECF.而BAEAEBCEFAEB90， BAE CEF， AMEECF.AEEF.过点 F 作 FHx 轴于点 H， 由 知，FHBECH，设 BHa，则 FHa1，点 F 的坐标为(a，a 1)点 F 恰好落在抛物线 yx2x1 上，a1a2a1， a22， a 2(负值不合题意， 舍去)， a1 21.点 F 的坐标为( 2， 21)
