1、 江苏省盐城市二二年初中毕业与升学考试江苏省盐城市二二年初中毕业与升学考试 数学试题数学试题 注意事项：注意事项： 1本次考试时间为本次考试时间为 120 分钟，卷面总分为分钟，卷面总分为 150 分，考试形式为闭卷分，考试形式为闭卷 2本试卷共本试卷共 6 页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题 3所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分 4答题前，务必将姓名、准考证号用答题前，务必将姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上毫米
2、黑色签字笔填写在试卷及答题卡上 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.2020 的相反数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用相反数的定义得出答案 【详解】解：2020 的相反数是：2020 故选：B 【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2.下列图形中，属于中心对称图形的是： （ ） A. B. C. D. 【答案
3、】B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念即图形旋转 180 后与原图重合即可求解 【详解】解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误， 故选：B 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 180 后与 原图重合 3.下列运算正确的是： （ ） A. 22aa B. 326 aaa C. 32 aaa D. 3 25 26aa 【答案】C 【解析】 【分析】 根据整式的加减与幂的运算法则即可判断 【详解】A.2aaa，故错误； B.
4、325 aaa ，故错误； C. 32 aaa，正确； D. 3 26 28aa ，故错误； 故选 C 【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则 4.实数, a b在数轴上表示的位置如图所示，则（ ） A. 0a B. ab C. ab D. ab 【答案】C 【解析】 【分析】 根据数轴的特点即可求解 【详解】由图可得0ab，ba 故选 C 【点睛】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是熟知数轴的性质 5.如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是： （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下面看得到图形，根据此定义即
5、可求解 【详解】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如 选项 A 所示， 故选：A 【点睛】本题考查了几何体的三视图，主视图是指从前面往后面看所得到的图形，俯视图是指从上面往下 面看得到的图形，左视图是指从左边往右边看得到的图形 6.2019 年 7 月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为400000万平方米，将数据400000用科学记数法表示 应为： （ ） A. 6 0.4 10 B. 9 4 10 C. 4 40 10 D. 5 4 10 【答案】D 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确
6、定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于等于 1 时，n 是正数；当原 数的绝对值小于 1 时，n 是负数 【详解】解：由题意可知，将400000用科学记数法表示为： 5 4000004 10， 故选：D 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 7.把1 9这9个数填入3 3 方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构 成了一个“九宫格”它源于我国古代的“洛書”（图） ，是世界上最
7、早的“幻方”图是仅可以看到部分 数值的“九宫格”，则其中x的值为： （ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意求出“九宫格”中的 y，再求出 x 即可求解 【详解】如图，依题意可得 2+5+8=2+7+y 解得 y=6 8+x+6=2+5+8 解得 x=1 故选 A 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解 8.如图，在菱形ABCD中，对角线ACBD、相交于点 ,O H为BC中点，6,8ACBD则线段OH的 长为： （ ） A. 12 5 B. 5 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 因为菱形的对
8、角线互相垂直且平分，从而有ACBD，3AOOC，4BOOD，又因为 H 为 BC 中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形 ACBD，3AOOC，4BOOD BOC 是直角三角形 222 BOOCBC BC=5 H 为 BC 中点 15 22 OHBC 故最后答案为 5 2 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的 性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 9.如图，直线, a b被
9、直线c所截，/ / , 160ab 那么2 _ o 【答案】60 【解析】 【分析】 根据平行线的性质即可求解 【详解】/ / , 160ab 2 160 故答案为：60 【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等 10.一组数据1,4,7, 4,2的平均数为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数 【详解】由题意知，数据1,4,7, 4,2的平均数为： 1 (14742)2 5 x 故答案为：2 【点睛】本题考查平均数，按照平均数的定义进行求解即可平均数反映一组数据的平均水平，它能代
10、表 一组数据的集中趋势 11.因式分解： 22 xy_ 【答案】()()xy xy； 【解析】 试题分析：直接利用平方差公式分解：x2y2(xy)(xy) 故答案为(xy)(xy) 12.分式方程 1 0 x x 的解为x_ 【答案】1 【解析】 【分析】 方程两边同时乘x化成整式方程，进而求出x的值，最后再检验即可 【详解】解：方程两边同时乘x得： 10 x ， 解得：1x ， 检验，当1x 时分母不为 0， 故原分式方程的解为1x 故答案为：1 【点睛】本题考查分式方程的解法，先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程，然后求解，最后要记 得检验 13.一个不透明的袋中装有 3 个黑球和 2
11、 个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白 球的概率是_. 【答案】 2 5 . 【解析】 【分析】 根据概率的求法，找准两点：全部的情况数；符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率 【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将 5 个球，其中 2 个白球， 任意摸出一个球为白球的概率是： 2 5 ， 故答案为 2 5 . 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的 结果数 14.如图，在O中，点A在BC上， 100 ,BOC则 BAC_ o 【答案】130 【解析】 【分析】 画出BC的圆周角BDC交O于点
12、D， 构造出O的内接四边形； 根据圆周角定理求出BDC的度数， 再根据圆内接四边形的性质，即可得出BAC的度数 【详解】如图，画出BC的圆周角BDC交O于点D，则四边形ABDC为O的内接四边形， 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半， 11 10050 22 BDCBOC ， 四边形ABDC为O的内接四边形， 180BDCBAC， 18018050130BACBDC 故答案为：130 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心 角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键 15.如图， /
13、 /,BCDE且,4,10BCDE ADBCABDE ，则 AE AC 的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 设 AB=a，根据 / /,BCDE得到 ABC ADE，得到对应线段成比例即可求出 AB,再根据相似比的定义即 可求解 【详解】/ /,BCDE ABC ADE， ABBC ADDE 设 AB=a,则 DE=10-a 故 4 410 a a 解得 a1=2,a2=8 BCDE AB=2， 故2 ADAE ACAB 故答案为：2 【点睛】此题主要考查相似三角形性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例 16.如图， 已知点5,2 ,5 4()( ),81ABC， 直线lx轴，
14、垂足为点0(),M m，其中 5 2 m ， 若A B C V与ABC 关于直线l对称，且A B C V 有两个顶点在函数(0) k yk x 的图像上，则k的值为： _ 【答案】6或4 【解析】 【分析】 因为A B C V 与ABC关于直线 l 对称，且直线lx轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为 2m，利用等量关系计算出 m 的值，又由于A B C V 有两个顶点在函数(0) k yk x ，从而进行分情况讨论 是哪两个点在函数上，求出 k 的值 【详解】解：A B C V与ABC关于直线 l 对称，直线l x轴，垂足为点 ()0M m， 5 2 m (2 5,2)Am， (2
15、5,4)Bm， (2 8,1)Cm A B C V有两个顶点在函数(0) k yk x （1）设 (2 5,2)Am， (2 5,4)Bm在直线(0) k yk x 上， 代入有(25)2(25)4mm， 5 2 m 不符合 5 2 m 故不成立； （2）设 (2 5,2)Am， (2 8,1)Cm在直线(0) k yk x 上， 有(25)2(28) 1mm，1m， ( 3,2) A ， ( 6,1) C ，代入方程后 k=-6； （3）设 (2 5,4)Bm， (2 8,1)Cm直线(0) k yk x 上， 有(25)4(28) 1mm，2m， ( 1,4) B ， ( 4,1) C ，
16、代入方程后有 k=-4； 综上所述，k=-6 或 k=-4； 故答案为：-6 或-4 【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐 标之和为对称轴横坐标的 2 倍是解题的关键 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.计算： 0 3 2 24 3 p 骣 -+- 桫 【答案】7 【解析】 【分析】 根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可 【详解】解：原式8 2 1 7 【点睛】本题主要考查了乘方，二
17、次根式和零指数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键 18.解不等式组： 21 1 3 4532 x xx 【答案】27x 【解析】 【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解 集 【详解】解：由题意知： 21 1 3 4532 x xx 解不等式：去分母得：213x ， 移项得：24x， 系数化为 1 得：2x， 解不等式，得7x ， 在数轴上表示不等式、的解集如图： 不等式组的解集为2 7x 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，其中不等式组的解集 取法为：同大取大，同小取小，大大小小无解，
18、大小小大取中间 19.先化简，再求值： 2 3 1 93 m mm ，其中2m 【答案】 1 3m ，1 【解析】 【分析】 根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将2m代入求解即可 【详解】解：原式 2 33 933 mm mmm 2 93 mm mm 3 33 mm mmm 1 3m 当2m时代入， 原式 1 1 23 故答案为：1 【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌 握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键 20.如图，在ABC中， 3 90 ,tan, 3 CAABC o 的平分线BD交AC于点.3DCD 求AB的 长？
19、 【答案】6 【解析】 【分析】 由 3 3 tanA 求出A=30 ， 进而得出ABC=60 ， 由 BD 是ABC 的平分线得出CBD=30 ， 进而求出 BC 的长，最后用 sinA 即可求出 AB 的长 【详解】解：在Rt ABC中， 3 90 , 3 CtanA o 30 ,60 ,AABC oo BDQ是ABC的平分线， 30 ,CBDABD 又3,CD Q 3 30 CD BC tan o ， 在Rt ABC中，90 ,30 CA ， 6 30 BC AB sin 故答案为：6 【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类 题的关键
20、 21.如图，点O是正方形，ABCD的中心 （1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O） ，使得;EBEC（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接,EBECEO、求证：BEOCEO 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）作 BC 的垂直平分线即可求解； （2）根据题意证明EBOECOVV即可求解 【详解】 1如图所示，点E即为所求 2连接OBOC、 由 1得：EBEC O是正方形ABCD中心， ,OBOC 在 EBO和ECO中， EBEC EOEO OBOC ,EBOECO SSSVV BEOCEO 【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形
21、的性质、垂直平分线的作图及全等 三角形的判定与性质 22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图为A地区累计确诊人数 的条形统计图，图为B地区新增确诊人数的折线统计图 （1）根据图中的数据，A地区星期三累计确诊人数为 ，新增确诊人数为 ； （2）已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图 （3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？ 【答案】 （1）41,13； （2）见解析； （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】 （1）根据图的条形统计图即可求解； （2）根据图中的数据即可画出折线统计图； （3）根据折线统计图，
22、言之有理即可 【详解】 （1）A地区星期三累计确诊人数为 41；新增确诊人数为 41-28=13， 故答案为：41；13； 2如图所示： 3 A地区累计确诊人数可能会持续增加，B地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图 23.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格 中， 对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息， 例如： 网格中只有一个小方格， 如图， 通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息 （1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数
23、： （图中标号1,2表示两个不同位置的小 方格，下同） （2）图为22的网格图它可表示不同信息的总个数为 ； （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n n的网格图来表示各人身份 信息，若该校师生共492人，则n的最小值为 ； 【答案】 （1）见解析； （2）16； （3）3 【解析】 【分析】 （1）根据题意画出树状图即可求解； （2）根据题意画出树状图即可求解； （3）根据（1） （2）得到规律即可求出 n 的值 【详解】 1解：画树状图如图所示： 图的网格可以表示不同信息的总数个数有4个 （2）画树状图如图所示： 图2 2 的网格图可以表示不同信息的总数个数
24、有 16=24个， 故答案为：16 （3）依题意可得 3 3 网格图表示不同信息的总数个数有 29=512492， 故则n的最小值为 3， 故答案为：3 【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图 24.如图，O是ABC的外接圆，AB是 O的直径，DCAB （1）求证：CD是O的切线； （2）若DEAB，垂足为,E DE交AC与点；求证：DCF是等腰三角形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 (1)连接 OC，由 AB 是圆 O 的直径得到BCA=90 ，进一步得到A+B=90 ，再根据已知条件 DCAB ，且A=ACO 即可证明OCD=90
25、进而求解； (2)证明90 ADCA，再由 DEAB，得到A+AFE=90 ，进而得到DCA=AFE=DFC，得 到 DC=DF，进而得到 DFC 为等腰三角形 【详解】解：(1)证明：连接OC， ,OCOAQ ,OCAA ABQ为圆O的直径， 90 ,BCA 90 ,AB o 又,DCAB Q 90 ,OCADCAOCD o ,OCCD 又点C在圆O上， CD是O的切线 (2)90 ,OCADCA o Q ,OCAA 90 ,ADCA ,DEAB 90 ,AEFA ,DCAEFA 又,EFADFC Q ,DCADFC DCF是等腰三角形 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰
26、三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定 理是解决此类题的关键 25.若二次函数 2 yaxbxc的图像与x轴有两个交点 1212 ,0 ,00M xN xxx，且经过点 0,2 ,A过点A的直线l与x轴交于点 ,C与该函数的图像交于点B（异于点A） 满足ACN 是等腰直角 三角形，记AMN的面积为 1, SBMNV的面积为 2 S，且 21 5 2 SS （1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”） ； （2）求直线l相应的函数表达式； （3）求该二次函数的表达式 【答案】 （1）上； （2）2yx； （3） 2 252yxx 【解析】 【分析】 (1)由抛物线经过点 M、N、A 点即可确定开
27、口向上； (2)根据ACN是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是 90CAN，此时 45 ,2ACNANCAOCONO ，由此算出 C 点坐标，进而求解； (3)过 B 点作 BHx 轴，由 21 5 2 SS得到 5 2 OABH，由 OA 的长求出 BH 的长，再将 B 点纵坐标代入直 线 l 中求出 B 点坐标，最后将 A、B、N 三点坐标代入二次函数解析式中求解即可 【详解】解：(1)抛物线经过点 M、N、A，且 M、N 点在 x 轴正半轴上，A 点在 y 轴正半轴上， 抛物线开口向上， 故答案为：上 (2)若90ACN o， 则C与O重合，直线l与二次函数图像交于A点 直线与该函数的
28、图像交于点B（异于点A） 不合符题意，舍去； 若90ANC，则C在x轴下方， 点C在x轴上， 不合符题意，舍去； 若90CAN 则45 ,2ACNANCAOCONO 2 0(),2,0CN ， 设直线: l ykxb 将, (0 2,0),2AC 代入： 2 02 b kb ，解得 1 2 k b 直线:2l yx 故答案为：2yx (3)过B点作BHx 轴，垂足为H， 1 1 = 2 AMN SSMN OA， 2 1 = 2 BMN SSMN BH， 又 21 5 2 SSQ， 5 2 OABH， 又2OA， 5BH， 即B点纵坐标为5， 又(2)中直线 l 经过 B 点， 将5y 代入2y
29、x中，得3x ， 3,5B， 将A BN、 、三点坐标代入 2 yaxbxc中，得 2 4220 9325 c ab ab ， 解得 2 5 2 a b c ， 抛物线解析式 2 252yxx 故答案为： 2 252yxx 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论 的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键 26.木门常常需要雕刻美丽的图案 （1）图为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米 的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所
30、刻图案如虚线所示，求图案的周长； （2）如图，对于 1中的木门，当模具换成边长为30 3厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的 中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻但当模具的一个顶点 与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻， 直到模具的另一边与木门的另一边重合 再 滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长 【答案】 （1）480cm； （2）雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为600 120 320cm 【解析】 【分析】 （1）过点P作,PECD求出 PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即
31、可解答； （2） 如图， 过 P 作 PQCD 于 Q， 连接 PG,先利用等边三角形的性质求出 PQ、 PG 及PGE， 当移动到点P 时，求得旋转角和点 P 旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得 所得图案的周长 【详解】 1如图，过点P作,PECD垂足为E P是边长为30cm的正方形模具的中心， 15,PEcm 同理：A B 与AB之间的距离为15,cm A D与AD之间的距离为15 ,cm B C与BC之间的距离为15 ,cm 200 15 15170,A BC Dcm 100 15 1570,B CA Dcm 170702480 A BCD Ccm
32、四边形 答：图案的周长为480cm 2如图，连接 ,PEPFPG、过点P作PQCD，垂足为Q P是边长为30cm的等边三角形模具的中心， ,30PEPGPFPGF ,PQGFQ 15 3,GQQFcm 3015,PQCQ tancm 30 30 CQ PGcm cos 当三角形EFG向上平移至点G与点D重合时， 由题意可得：E FG V绕点D顺时针旋转30 , 使得E G与AD边重合 DP绕点D顺时针旋转30至 ,DP 3030 5 180 p p lcm 同理可得其余三个角均为弧长为5 cm的圆弧， 图中的虚线即为所画的草图， 3030 20030 310030 324 180 C 600
33、120 320cm 答：雕刻所得图案的草图的周长为600 120 320cm 【点睛】 本题考查了图形的平移与旋转、 等边三角形的性质、 解含 30 角的直角三角形、 图形的周长等知识， 解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和 计算 27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 1 4 （1）在Rt ABC中，90 ,2 2CAB，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数 据如下表： （单位：厘米） AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1
34、.2 1.6 2 2.4 2.8 ACBC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 （2）根据学习函数的经验，选取上表中BC和ACBC的数据进行分析； 设BCx ACBCy,，以( , ) x y为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点； 连线； 观察思考 （3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想当x 时，y最大； （4）进一步 C 猜想：若Rt MBC中，90C，斜边(2ABa a为常数，0a） ，则BC 时，ACBC最大 推理证明 （5）对（4）中的猜想进行证明 问题 1在图中完善 2的描点过程，并依次连线； 问题 2补全观察思考中的两个猜想： 3 _ 4 _ 问题 3证明上述
35、5中的猜想： 问题 4图中折线BEFGA是一个感光元件的截面设计草图，其中点,A B间的距离是4厘米， 1AGBE厘米，90 ,EFG o 平行光线从AB区域射入，60 ,BNE o 线段FMFN、为 感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值 【答案】问题 1：见解析；问题 2：2， 2a；问题 3：见解析；问题 4：当2 2 1EF 时，感光区域长 度之和FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 【解析】 【分析】 问题 1：根据（1）中的表格数据，描点连线，作出图形即可； 问题 2： 根据 （1） 中的表格数据， 可以得知当x2 时，y最大； 设,
36、BCx ACBCy， 则 22 4ACax=- ， 可得 22 4yxax=+-，有 222 2240 xxyya-+-= ，可得出2 2ya； 问题 3：可用两种方法证明，方法一： （判别式法）设,BCx ACBCy，则 22 4ACax=- ，可得 22 4yxax=+-，有 222 2240 xxyya-+-= ，可得出2 2ya；方法二： （基本不等式） ，设 ,BCm ACn ACBCy，得 222 4mna+=，可得 22 2mnmn，根据当m n 时，等式成立有 2 2mna，可得出 2 2ya； 问题 4：方法一：延长AM交EF于点C，过点A作AHEF于点H，垂足为H，过点B作
37、BKGF交 于点K，垂足为K，BK交AH于点Q，由题可知：在BNE中，60 ,90 ,1BNEEBE o ，得 3 3 NE =，根据90 ,1,30GAGAMG?，有 AG tan AMG GM ，得 3GM ，易证四边形AGFH 为矩形，四边形BKFE为矩形，根据FNFMEFFGENGM+=+-可得 4 3 2 3 FNFMBQAQ+=+-， 由问题 3 可知，当2 2BQAQ时，AQBQ最大，则有2 2BQAQ时，FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 ；方法二： 延长EBGA、相交于点H同法一求得： 3 3, 3 GMNE，根据四边形GFEH为矩形，有 13MFEHG
38、Mb=-=+ -， 3 1 3 FNEFNEa ，得到 4 3 2 3 MFFNab-=-+-，由问题 3 可 知，当 2 2ab 时，a b最大 则可得 2 2ab 时FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 【详解】问题 1：图 问题 2：( ) 3 2；( )42a 问题 3： 法一： （判别式法） 证明：设,BCx ACBCy 在Rt ABC中， 2222 90 ,4,CACABBCaxQ 22 4yxax 22 4yxax 2222 24,yxyxax 222 2240,xxyya 关于x的元二次方程有实根， () 2222 444240,bacyxa-=-醋-? 2
39、 28,ya 00,yaQ, 2 2 ,ya 当y取最大值2 2a时， 22 24 240 xaxa () 2 220 xa-= 12 2xxa 当 2BCa 时，y有最大值 法二： （基本不等式） 设,BCm ACn ACBCy 在Rt ABC中，90 ,C 222 4mna () 2 0,mn-?Q 22 2mnmn 当mn时，等式成立 2 42,amn 2 2mna 22 2ymnmnmnQ 2 42amn ， 2 2,mnaQ 2 2 ,ya 当 2BCACa 时，y有最大值 问题 4： 法一：延长AM交EF于点,C 过点A作AHEF于点,H垂足为,H 过点B作BKGF交于点,K垂足为
40、,K BK交AH于点,Q 由题可知：在BNE中，60 ,90 ,1BNEEBE o BE tan BNE NE 即 1 3 NE 3 3 NE / /,AMBN 60 ,C 又90 ,GFE o Q 30 ,CMF 30 ,AMG 90 ,1,30GAGAMGQ， 在Rt AGM中， AG tan AMG GM ， 即 31 3GM 3,GM 90 ,90 ,GGFHAHF Q 四边形AGFH为矩形 ,AHFG 90 ,=90GFHEBHF o Q， 四边形BKFE为矩形， ,BKFE FNFMEFFGENGMQ 3 3 3 BKAH 4 3 3 BQAQQHQK 4 3 2 3 BQAQ 在
41、RtABQ 中，4AB 由问题 3 可知，当2 2BQAQ时，AQBQ最大 2 2BQAQ时，FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 即当 2 2 1EF 时，感光区域长度之和FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 法二： 延长EBGA、相交于点,H 同法一求得： 3 3, 3 GMNE 设,AHa BHb 四边形GFEH为矩形， ,GFEH EFGH 13MFEHGMb 3 1 3 FNEFNEa 4 3 2 3 MFFNab 22 16,abQ 由问题 3 可知，当 2 2ab 时，a b最大 2 2ab 时FMFN最大为 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 即当 2 2 1EF 时，感光区域长度之和FMFN最大 4 3 4 22 3 cm 骣 +- 桫 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点， 熟悉相关性质是解题的关键
