1、第十三讲二次函数的应用知识清单知识清单主干回顾主干回顾一、二次函数最值的两种形式一、二次函数最值的两种形式(1)(1)顶点式顶点式y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,其顶点坐标为其顶点坐标为_,_,当当a0,x=_a0,x=_时时,函数有最小值为函数有最小值为_._.当当a0,x=_a0,x=a0,x=时时,函数有最小值函数有最小值,为为 ;当当a0,x=a0,x=时时,函数有最大函数有最大值为值为 .(h,kh,k)h hk kh hk k2b4acb(,)2a4ab2a24acb4ab2a24acb4a二、利用二次函数解决实际问题的步骤二、利用二次函数解决实际问题的步骤(1)
2、(1)根据题意根据题意,写出二次函数的写出二次函数的_._.(2)(2)考虑自变量的考虑自变量的_._.(3)(3)根据二次函数的性质根据二次函数的性质,结合自变量的结合自变量的_,_,给出实际问题的答案给出实际问题的答案.解析式解析式取值范围取值范围取值范围取值范围【自我诊断自我诊断】(打打“”或或“”)”)1.1.二次函数二次函数y=3xy=3x2 2+5x-1+5x-1有最小值有最小值.()()2.2.当当x=2x=2时时,二次函数二次函数y=-3(x+2)y=-3(x+2)2 2-5-5有最大值为有最大值为5.5.()()3.3.当当-1x5-1x5时时,二次函数二次函数y=-(x+2
3、)y=-(x+2)2 2+3+3的最大值为的最大值为3.3.()()4.4.周长为周长为40 m40 m的绳子可以围成面积为的绳子可以围成面积为120 m120 m2 2的矩形的矩形.()()高频考点高频考点疑难突破疑难突破【考点一考点一】用二次函数解决抛物线型问题用二次函数解决抛物线型问题【示范题示范题1 1】(2018(2018衢州衢州)某游乐园有一个直径为某游乐园有一个直径为1616米的圆形喷水池米的圆形喷水池,喷水池的喷水池的周边有一圈喷水头周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线喷出的水柱为抛物线,在距水池中心在距水池中心3 3米处达到最高米处达到最高,高度为高度为5 5米米,且各方向喷
4、出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示如图所示,以水平以水平方向为方向为x x轴轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)(1)求水柱所在抛物线求水柱所在抛物线(第一象限部分第一象限部分)的函数表达式的函数表达式.(2)(2)王师傅在喷水池内维修设备期间王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水喷水管意外喷水,为了不被淋湿为了不被淋湿,身高身高1.81.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?高频考点高频考点疑难突破疑难突破(3)(3)经检修评估经检修评估,
5、游乐园决定对喷水设施做如下设计改进游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不在喷出水柱的形状不变的前提下变的前提下,把水池的直径扩大到把水池的直径扩大到3232米米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物的原装饰物(高度不变高度不变)处汇合处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【自主解答自主解答】略略【答题关键指导答题关键指导】抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题(1)(1)解题关键解题关键:进行二次函数建模进行二次函数建模,依据题意依据题意,建立合适
6、的平面直角坐标系建立合适的平面直角坐标系,并利并利用抛物线的性质解决问题用抛物线的性质解决问题.(2)(2)解题技巧解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式简便且易于计算所建立的坐标系能使所设的解析式形式简便且易于计算.(3)(3)注意问题注意问题:题意分析不透题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确模型不正确,导致解题错误导致解题错误;忽视了自变量的取值范围忽视了自变量的取值范围,造成错解造成错解;由几何图由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限忽视了线段所在
7、的象限,造成符号造成符号错误错误.【跟踪训练跟踪训练】1.(20191.(2019山西山西)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图如图1),1),它由五个高度它由五个高度不同不同,跨径也不同的抛物线钢拱通过吊桥跨径也不同的抛物线钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图最高的钢拱如图2 2所所示示,此钢拱此钢拱(近似看成二次函数的图象近似看成二次函数的图象抛物线抛物线)在同一竖直平面内在同一竖直平面内,与拱脚所与拱脚所在的水平面相交于在的水平面相交于A,BA,B两点两点,拱高为拱高为7878米米(即最高点即最高点O O到到ABAB的距离为的距
8、离为7878米米),),跨径为跨径为9090米米(即即AB=90AB=90米米),),以最高点以最高点O O为坐标原点为坐标原点,以平行于以平行于ABAB的直线为的直线为x x轴建立平面直轴建立平面直角坐标系角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为则此抛物线钢拱的函数表达式为()B B22222626A.yxB.yx6756751313C.yxD.yx1 3501 350 2.(20202.(2020台州台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图如图1).1).科学原理科学原理:如图如图2,2,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为始终盛满水的
9、圆柱体水桶水面离地面的高度为H(H(单位单位:cm),:cm),如如果在离水面竖直距离为果在离水面竖直距离为h(h(单位单位:cm):cm)的地方开大小合适的小孔的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出那么从小孔射出水的射程水的射程(水流落地点离小孔的水平距离水流落地点离小孔的水平距离)s()s(单位单位:cm):cm)与与h h的关系为的关系为s s2 2=4h(H-h).=4h(H-h).应用思考应用思考:现用高度为现用高度为20cm20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面水瓶直立地面,通过通过连注水保证它始终盛满水连注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离在
10、离水面竖直距离hcmhcm处开一个小孔处开一个小孔.(1)(1)写出写出s s2 2与与h h的关系式的关系式;并求出当并求出当h h为何值时为何值时,射程射程s s有最大值有最大值,最大射程是多少最大射程是多少?(2)(2)在侧面开两个小孔在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,ba,b,要使两孔射出要使两孔射出水的射程相同水的射程相同,求求a,ba,b之间的关系式之间的关系式;(3)(3)如果想通过垫高塑料水瓶如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加使射出水的最大射程增加16 cm,16 cm,求垫高的高度及求垫高的高度及小孔离水面的竖直
11、距离小孔离水面的竖直距离.【解析解析】(1)s(1)s2 2=4h(H-h),=4h(H-h),当当H=20H=20时时,s,s2 2=4h(20-h)=-4(h-10)=4h(20-h)=-4(h-10)2 2+400,+400,当当h=10h=10时时,s,s2 2有最大值有最大值400,400,当当h=10 cmh=10 cm时时,s,s有最大值有最大值,最大射程为最大射程为20 cm.20 cm.(2)s(2)s2 2=4h(20-h),=4h(20-h),设存在设存在a,ba,b,使两孔射出水的射程相同使两孔射出水的射程相同,则有则有:4a(20-a)=4b(20-b),20a-a4
12、a(20-a)=4b(20-b),20a-a2 2=20b-b=20b-b2 2,aa2 2-b-b2 2=20a-20b,(a+b)(a-b)=20(a-b),=20a-20b,(a+b)(a-b)=20(a-b),(a-b)(a+b-20)=0,a-b=0,(a-b)(a+b-20)=0,a-b=0,或或a+b-20=0,a+b-20=0,a=ba=b或或a+ba+b=20.=20.(3)(3)设垫高的高度为设垫高的高度为m,m,则则s s2 2=4h(20+m-h)=-4=4h(20+m-h)=-4 +(20+m)+(20+m)2 2,当当h=h=时时,s smaxmax=20+m=20
13、+16,=20+m=20+16,m=16,m=16,此时此时h=h=18.=18.垫高的高度为垫高的高度为16 cm,16 cm,小孔离水面的竖直距离为小孔离水面的竖直距离为18 cm.18 cm.220m(h)220m220162【考点二考点二】用二次函数解决最优化问题用二次函数解决最优化问题【示范题示范题2 2】(2019(2019梧州梧州)我市某超市销售一种文具我市某超市销售一种文具,进价为进价为5 5元元/件件.售价为售价为6 6元元/件时件时,当天的销售量为当天的销售量为100100件件.在销售过程中发现在销售过程中发现:售价每上涨售价每上涨0.50.5元元,当天的销当天的销售量就减
14、少售量就减少5 5件件.设当天销售单价统一为设当天销售单价统一为x x元元/件件(x6,(x6,且且x x是按是按0.50.5元的倍数上元的倍数上涨涨),),当天销售利润为当天销售利润为y y元元.(1)(1)求求y y与与x x的函数关系式的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围不要求写出自变量的取值范围).).(2)(2)要使当天销售利润不低于要使当天销售利润不低于240240元元,求当天销售单价所在的范围求当天销售单价所在的范围.(3)(3)若每件文具的利润不超过若每件文具的利润不超过80%,80%,要想当天获得利润最大要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少每件文具售价为多少元元?并求
15、出最大利润并求出最大利润.【自主解答自主解答】略略【答题关键指导答题关键指导】利用二次函数解决实际问题的步骤利用二次函数解决实际问题的步骤(1)(1)根据题意根据题意,列出抛物线解析式列出抛物线解析式,或建立恰当的坐标系或建立恰当的坐标系,设出抛物线的解析式设出抛物线的解析式,将实际问题转化为数学模型将实际问题转化为数学模型.(2)(2)列出函数解析式后列出函数解析式后,要标明自变量的取值范围要标明自变量的取值范围.(3)(3)根据二次函数图象和性质解决问题根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时确定最值时,一般最值在顶点处取得一般最值在顶点处取得,但但也要注意也要注意,若顶点的横坐标不在自
16、变量的取值范围内时若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来要根据函数的增减性来确定最值确定最值.【跟踪训练跟踪训练】1.(20201.(2020潍坊潍坊)因疫情防控需要因疫情防控需要,消毒用品需求量增加消毒用品需求量增加.某药店新某药店新进一批桶装消毒液进一批桶装消毒液,每桶进价每桶进价5050元元,每天销售量每天销售量y(y(桶桶)与销售单价与销售单价x(x(元元)之间满足之间满足一次函数关系一次函数关系,其图象如图所示其图象如图所示.(1)(1)求求y y与与x x之间的函数解析式之间的函数解析式;(2)(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时每桶消毒液的销售价定为多少元时
17、,药店每天获得的利润最大药店每天获得的利润最大,最大利润是最大利润是多少元多少元?(?(利润利润=销售价销售价-进价进价)【解析解析】(1)(1)设设y y与销售单价与销售单价x x之间的函数解析式为之间的函数解析式为:y=:y=kx+bkx+b,将点将点(60,100),(70,80)(60,100),(70,80)代入一次函数解析式得代入一次函数解析式得:,解得解得 ,故函数的解析式为故函数的解析式为y=-2x+220;y=-2x+220;(2)(2)设药店每天获得的利润为设药店每天获得的利润为W W元元,由题意得由题意得:W=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)W=(x-50
18、)(-2x+220)=-2(x-80)2 2+1 800,+1 800,-20,-20,函数有最大值函数有最大值,当当x=80 x=80时时,W,W有最大值有最大值,此时最大值是此时最大值是1 800,1 800,故销售单价定为故销售单价定为8080元时元时,该药店每天获得的利润最大该药店每天获得的利润最大,最大利润为最大利润为1 8001 800元元.10060kb8070kb，k2b220，2.(20202.(2020辽阳辽阳)超市销售某品牌洗手液超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶进价为每瓶1010元元.在销售过程中发现在销售过程中发现,每天销售量每天销售量y(y(瓶瓶)与每瓶售价与每瓶售价
19、x(x(元元)之间满足一次函数关系之间满足一次函数关系(其中其中10 x15,10 x15,且且x x为整数为整数),),当每瓶洗手液的售价是当每瓶洗手液的售价是1212元时元时,每天销售量为每天销售量为9090瓶瓶;当每瓶洗手液的售当每瓶洗手液的售价是价是1414元时元时,每天销售量为每天销售量为8080瓶瓶.(1)(1)求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式;(2)(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w w元元,当每瓶洗手液的售价定为多当每瓶洗手液的售价定为多少元时少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大超市销售该品牌洗手液每天销
20、售利润最大,最大利润是多少元最大利润是多少元?【解析解析】(1)(1)设设y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=kx+b(k0),y=kx+b(k0),根据题意得根据题意得:解得解得:yy与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=-5x+150;y=-5x+150;12kb90,14kb80,k5,b150,(2)(2)根据题意得根据题意得:w=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20):w=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20)2 2+500,+500,a=-50,a=-50,抛物线开口向下抛物线开口向下,w,w有最大值有最大值,当当x20 x20时
21、时,w,w随着随着x x的增大而增大的增大而增大,10 x1510 x15且且x x为整数为整数,当当x=15x=15时时,w,w有最大值有最大值,即即:w=-5:w=-5(15-20)+500=375,(15-20)+500=375,答答:当每瓶洗手液的售价定为当每瓶洗手液的售价定为1515元时元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润为最大利润为375375元元.【考点三考点三】二次函数的综合运用二次函数的综合运用【示范题示范题3 3】(2020(2020桂林桂林)如图如图,已知抛物线已知抛物线y=a(x+6)(x-2)y=a(x+6)(x-2
22、)过点过点C(0,2),C(0,2),交交x x轴轴于点于点A A和点和点B(B(点点A A在点在点B B的左侧的左侧),),抛物线的顶点为抛物线的顶点为D,D,对称轴对称轴DEDE交交x x轴于点轴于点E,E,连接连接EC.EC.(1)(1)直接写出直接写出a a的值的值,点点A A的坐标和抛物线对称轴的表达式的坐标和抛物线对称轴的表达式;(2)(2)若点若点M M是抛物线对称轴是抛物线对称轴DEDE上的点上的点,当当MCEMCE是等腰三角形时是等腰三角形时,求点求点M M的坐标的坐标;(3)(3)点点P P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,连接连接PC,PE,PC,PE,将将PCEPCE沿
23、沿CECE所在的直线对折所在的直线对折,点点P P落在坐落在坐标平面内的点标平面内的点PP处处.求当点求当点PP恰好落在直线恰好落在直线ADAD上时点上时点P P的横坐标的横坐标.【自主解答自主解答】略略【答题关键指导答题关键指导】此类题一般作为数学压轴题此类题一般作为数学压轴题,解数学压轴题一般可以分为三个步骤解数学压轴题一般可以分为三个步骤(1)(1)认真审题认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答理解题意、探究解题思路、正确解答.审题要全面审视题目的所审题要全面审视题目的所有条件和答题要求有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和
24、以利于解题方法的选择和解题步骤的设计解题步骤的设计.(2)(2)解数学压轴题要善于总结解数学压轴题时所隐含的数学思想解数学压轴题要善于总结解数学压轴题时所隐含的数学思想.如转化思想、如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等,认清条件和结论之间的关系、认清条件和结论之间的关系、图象的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系图象的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法确定解题的思路和方法.(3)(3)当思维受阻时当思维受阻时,要及时调整思路和方法要及时调整思路和方法,并重新审视题目并重新审视题目,注意挖掘隐蔽的条注意挖掘隐蔽的
25、条件和内在联系件和内在联系,既要防止钻牛角尖既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃又要防止轻易放弃.【跟踪训练跟踪训练】(2018(2018河池河池)如图如图1,1,抛物线抛物线y=-xy=-x2 2+2x-1+2x-1的顶点的顶点A A在在x x轴上轴上,交交y y轴于轴于B,B,将该抛物线将该抛物线向上平移向上平移,平移后的抛物线与平移后的抛物线与x x轴交于轴交于C,D,C,D,顶点为顶点为E E .(1 4)，(1)(1)求点求点B B的坐标和平移后抛物线的解析式的坐标和平移后抛物线的解析式;(2)(2)点点M M在原抛物线上在原抛物线上,平移后的对应点为平移后的对应点为N,N,若若OM=ON,OM=ON,求点求点M M的坐标的坐标;(3)(3)如图如图2,2,直线直线CBCB与平移后的抛物线交于另一点与平移后的抛物线交于另一点F.F.在抛物线的对称轴上是否存在抛物线的对称轴上是否存在点在点P,P,使得以使得以C,F,PC,F,P为顶点的三角形是直角三角形为顶点的三角形是直角三角形?若存在若存在,直接写出点直接写出点P P的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.略略北部湾北部湾5 5年真题年真题中考真题中考真题体验集训体验集训
