1、 - 1 - 豫南九校 2017-2018 学年下期第二次联考 高二数学（理）试题 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 C 【解析】分析 ： 先将复数化为 的形式，由此得到复数对应的点 ，于是可得点所在的象限 详解 ： ， 所以复数 对应的点为 ， 在第三象限 故选 C 点睛 ： 由于复数、 复平面内的点和向量之间建立了一一对应的关系，故求解本题时可将复数化
2、为代数形式后即可得到结论 2. 抛物线 的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】分析：根据抛物线 的焦点为 求解 详解 ： 由 得 ， 所以抛物线 的焦点坐标是 故选 D 点睛：求抛物线的焦点坐标时，可先将抛物线方程化为标准形式后求解，注意焦点在方程中的一次项对应的坐标轴上，正（负）半轴由一次项的符号确定 3. 下列说法正确的是（ ） A. 命题 “ 若 ，则 ” 的否命题 是 “ 若 ，则 ” B. 若 ，则 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件 - 2 - C. 函数 的最小值为 D. 命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ” 【答案】 B 【解析】分析：对四个选项
3、逐一分析、排除后可得结论 详解：选项 A中，命题的否命题为 “ 若 ，则 ” ，故 A不正确 选项 B中，由 可得 或 ，得 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，故 B正确 选项 C中，应用基本不等式时，等号成立的条件为 ，此等式显然不成立，所以函数的最小值为 2不正确，即 C不正确 选项 D中，命题的否定为 “ ， ” ，故 D 不正确 故选 B 点睛：本题主要考查相 关概念，解题时要根据相应的概念进行分析、判断，同时要注意举反例等方法的运用 4. 已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析 ： 先根据导数的几何意义求得切线的斜率
4、，再由点斜式方程得到切线方程 详解 ： ， ， ， 又 ， 所求切线方程为 ， 即 故选 C . 5. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. - 3 - 【答案】 A 【解析】分析：根据 在 上恒成立求解 详解 ： ， 又函数 在 上单调递增， 在 上恒成立 ， 即 在 上恒成立 当 时 ， ， 所以实数 的取值范围是 故选 A 点睛 ： 当 时 ， 则函数 在区间 上单调递增；而当函数 在区间 上单调递增时，则有 在区间 上恒成立 解题时要注意不等式是否含有等号 6. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否去过 市时，甲说：我没去过，乙说：丙去过，丙说：丁去
5、过，丁说：我没去过 .在以上的回答中只 有一人回答正确，且只有一人去过 市 .根据以上条件，可以判断去过 市的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】 A 【解析】分析：利用反证法的思想对每个选项进行逐一排除可得结果 详解： 假设甲去过 B市，则甲 、 乙 、 丙说的都不正确，丁说的正确，符合题意 故 A正确 假设乙去过 B市 ， 则甲、丁说的正确，乙、丙说的不正确 ， 矛盾 故 B不正确 假设丙去过 B市 ， 则甲、乙、丁说的正确，丙说的不正确，矛盾 故 C不正确 假设丁去过 B市 ， 则甲、丙说的正确 ， 乙、丁说的不正确，矛盾，故 D不 正确 故选 A 点睛：本题考查
6、推理的应用，解题的主要策略就是对所给的结果逐一排除，注意反证法及特例在解题中的利用 7. 用数学归纳法证明不等式 “ ” 时的过程中，由 到，不等式的左边增加的项为（ ） A. B. - 4 - C. D. 【答案】 C 【解析】分析 ： 分别写出当 和 时的不等式，比较后可得结果 详解：当 时，不等式为 ； 当 时，不等式为 ， 即 ， 比较可得增加的项为 故选 C 点睛 ： 数学归纳法证题的关键是证明由 “ ” 时命题成立，得到 “ ” 时命题也成立，此步的重 点在于判断由 到 时等式（或不等式）增加了哪些项，解题时可写出 和时对应的等式（或不等式），通过比较可得结果 8. 已知 为等差数
7、列， ， .若 为等比数列，则 类似的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】分析 ： 类比等差数列和等比数列下标和的性质求解可得结论 也可直接将等差数列中的和与积类比成等比数列中的积和乘方得到结论 详解 ： 在等差数列 中，令 ， 则 ， ， 在等比数列 中，令 ， 则 ， ， - 5 - 故选 D 点睛 ： 等差 数列和等比数列之间进行类比时，可将等差中的和、积类比成等比数列中的积、乘方，由此可得到相关的结论，但要注意类比的结论应是正确的，因此可通过推理进行验证 9. 将标号分别为 ， ， ， ， 的 个小球放入 个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为（
8、 ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】分析 ： 先将 5 个小球分为 1,1,3和 1,2,2两类，然后再进行分配可得结果 详解 ： 若 5个小球分为 1,1,3三部分后再放在 3个不同的盒子内，则不同的方法为种 ； 若 5个小球分为 1,2,2三部分后再放在 3个不同的盒子内，则不同的方法为种 所以由分类加法计数原理可得不同的分法有 60+90=150 种 故选 A 点睛 ： 解答排列组合综合问题时，一般是选择先选后排的方法求解 对于分组问题，要分清是平均分组还是不平均分组，对于平均分组问题要注意对出现的重复结果的处理 10. 已知数列 是公比为 的等比数列，满足 .设等差数列
9、 的前 项和为 ，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】分析 ： 由题意求得等差数列的 首项和公差，然后根据等差数列的求和公式求解 详解 ： 在等比数列 中 ， 由 可得 ， 解得 ， - 6 - 故选 D 点睛 ： 等差数列和等比数列中都有五个量 ，这五个量中知道三个可求其余两个，解题时注意方程思想的运用 等差数列求前 n项和时 ， 要注意 “ 下标和 ” 性质的运用，借助整体代换可简化计算过程，提高解题的效率 11. 已知椭圆 与抛物线 的交点为 ， 连线经过抛物线的焦点 ，且线段 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答 案】
10、B 【解析】分析：由题意求得点 A,B的坐标后代入椭圆的方程 ， 可得 间的关系式，于是可得椭圆的离心率 详解 ： 由题意得抛物线 的焦点为 ， 连线经过抛物线的焦点 ，且 ， 点 的坐标分别为 ，不妨设点 B坐标为 由点 B在抛物线上可得 ， ， 故点 B坐标为 ， 又点 B在椭圆 上， ，整理得 ， 故选 A 点睛：求离心率的常用方法有以下两种： （ 1）求得 的值，直接代入公式 求解； （ 2） 列出关于 的齐次方程 (或不等式 )，然后根据 ，消去 后转化成关于 的方程 (或- 7 - 不等式 )求解 12. 已知函数 是函数 的导函数， （其中 为自然对数的底数），对任意实数 ，都有
11、 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】分析：由题意构造函数 ，则可得 单调递减 又由 可得 ，即 ， 于是可得不等式的解集 详解 ： 由题意构造函数 ，则 ， 函数 在 R上单调递减 又 ， ， 而 ， ， ， 故不等式的解集为 故选 B 点睛 ： 解抽象不等式的常用方法是构造函数后利用函数的单调性求解 ， 其中如何构造函数是解题的难点，在本题中根据含 有 的不等式 ， 并结合导数的求导法则构造出函数 是关键 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 设复数 满足 ，则 _ 【答案】 【解析】分析：由题意
12、先求出复数 ，然后再求 详解： ， ， 点睛：对于复数的运算一是要注意运算的顺序，另外要注意 在运算中的应用，即遇到 时- 8 - 要写成 求复数的模时，首项将复数化为代数形式后再根据公式求解 14. 计算 _ 【答案】 【解析】分析 ： 根据定积分的几何意义，将定积 分化为两个区域的面积求解 详解 ： 令 ，可得 ， 表示以原点为圆心，半径为 2的圆的上半部分 结合图形可得所求定积分为 和扇形 的面积之和（如图），且 中 ， 扇形 中 ， 故 点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化
13、为图形的面积求解 15. 已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为双曲线 上一点，且 ，若 的面积为 ，则 _ 【答案】 3 【解析】分析 ： 由题意得焦点三角 形 为直角三角形 ， 根据双曲线的定义和三角形的面积为 9求解可得结论 详解 ： 设 ， 分别为左右焦点，点 P在双曲线的右支上， 则有 ， ， 又 为直角三角形 ， - 9 - ， ， 又 的面积为 9， ， ， ， 点睛：凡涉及双曲线（椭圆）焦点三角形的问题，解题时要注意曲线的定义的应用，运用定义进行整体代换，同时在该三角形内要合理运用余（正）弦定理 ， 同时在解题中要曲线的基本量 间的关系的利用 16. 若 为 的各位数字之和，如 ， ，则 .记， ， ， ? ， ， ，则 _ 【答案】 11 【解析】分析：根据所给出的定义逐个求出 ， 归纳得到一般性的规律后可得所求 详解 ： 由题意得 ，故 ； ，故 ； ， 故 ； ，故 ； ，故 ； ，故 ； ? 当 时 ， 点睛：数的归纳时归纳推理中的常见题型，它包括数字归纳和式子归纳解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等 三、解答题
