1、第二十一章一元二次方程复习课主题主题1 1 一元二次方程及根的有关概念一元二次方程及根的有关概念【主题训练【主题训练1 1】假设】假设(a-3)+4x+5=0(a-3)+4x+5=0是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程,那么那么a a的值为的值为()C.C.3 3D.D.无法确定无法确定【自主解答】选【自主解答】选B.B.因为方程是关于因为方程是关于x x的一元二次方程的一元二次方程,所以所以a2-a2-7=2,7=2,且且a-30,a-30,解得解得a=-3.a=-3.2a7x【主题升华主题升华】一元二次方程的有关定义及根一元二次方程的有关定义及根1.1.一元二次方程满足的四个条件
2、一元二次方程满足的四个条件.A A整式方程整式方程B B只含有一个未知数只含有一个未知数C C未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2D D二次项系数不为二次项系数不为0 02.2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一次项的系数一次项的系数和常数项可以为和常数项可以为0.0.3.3.根能使方程左右两边相等根能使方程左右两边相等,一个根一个根,可代入确定方程中的字母可代入确定方程中的字母系数系数.1.1.以下方程中以下方程中,一定是一元二次方程的是一定是一元二次方程的是()2+bx+c=02+bx+c=0B.x2=0B.x2=02+2y-=02+2y
3、-=02+-5=02+-5=0【解析】选中的二次项系数缺少不等于【解析】选中的二次项系数缺少不等于0 0的条件的条件,C,C中含有两个中含有两个未知数未知数,D,D中的方程不是整式方程中的方程不是整式方程.12124x2.2.假设关于假设关于x x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+5=0(a0)ax2+bx+5=0(a0)的解是的解是x=1,x=1,那那么么2021-a-b2021-a-b的值是的值是()A.2 018A.2 018B.2 008B.2 008C.2 014C.2 014D.2 012D.2 012【解析】选【解析】选A.x=1A.x=1是一元二次方程是一元二次方程ax
4、2+bx+5=0ax2+bx+5=0的一个根的一个根,a12+b1+5=0,a+b=-5,2021-a-b=2021-(a+b)=a12+b1+5=0,a+b=-5,2021-a-b=2021-(a+b)=2021-(-5)=2021.2021-(-5)=2021.3.3.一元二次方程一元二次方程2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0的二次项系数是的二次项系数是,一次项一次项系数是系数是,常数项是常数项是.【解析解析】项和系数都包括它前面的符号项和系数都包括它前面的符号,所以二次项系数是所以二次项系数是2,2,一次项系数是一次项系数是-3,-3,常数项是常数项是-2.-2.答案答案:2 2
5、-3-3-2-2主题主题2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法【主题训练主题训练2 2】解方程解方程x x2 2-2x-1=0.-2x-1=0.【自主解答自主解答】移项得移项得:x:x2 2-2x=1,-2x=1,配方得配方得:x:x2 2-2x+1=2,-2x+1=2,即即(x-1)(x-1)2 2=2,=2,开方得开方得:x-1=:x-1=,x=1x=1 ,所以所以x x1 1=1+,x=1+,x2 2=1-.=1-.2222【备选例题备选例题】方程方程a a2 2-4a-7=0-4a-7=0的解是的解是.【解析解析】a a2 2-4a-7=0,-4a-7=0,移项得移项得:a:a2
6、 2-4a=7,-4a=7,配方得配方得:a:a2 2-4a+4=7+4,-4a+4=7+4,(a-2)(a-2)2 2=11,=11,两边直接开平方得两边直接开平方得:a-2=:a-2=,a=2 ,a=2 .答案答案:a a1 1=2+,a=2+,a2 2=2-=2-11111111【主题升华】【主题升华】一元二次方程解法选择一元二次方程解法选择假设没有特别说明假设没有特别说明,解法选择的根本顺序是直接开平方法解法选择的根本顺序是直接开平方法因因式分解法式分解法公式法公式法.配方法使用较少配方法使用较少,除非题目有明确要求才使除非题目有明确要求才使用用.1.b0,1.b0,关于关于x x的一
7、元二次方程的一元二次方程(x-1)2=b(x-1)2=b的根的情况是的根的情况是()A.A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.没有实数根没有实数根D.D.有两个实数根有两个实数根【解析】选【解析】选C.(x-1)2=bC.(x-1)2=b中中b0,b0,没有实数根没有实数根.2 2假设将方程假设将方程x2+6x=7x2+6x=7化为化为(x+m)2=16,(x+m)2=16,那么那么m=m=.【解析】在方程【解析】在方程x2+6x=7x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的的两边同时加上一次项系数的一半的平方平方,得得x2+6x+
8、32=7+32,x2+6x+32=7+32,配方配方,得得(x+3)2=16.(x+3)2=16.所以所以,m=3.,m=3.答案答案:3:33.3.解方程解方程:(x-3):(x-3)2 2-9=0.-9=0.【解析解析】移项得移项得:(x-3):(x-3)2 2=9,=9,两边开平方得两边开平方得x-3=x-3=3,3,所以所以x=3x=33,3,解得解得:x:x1 1=6,x=6,x2 2=0.=0.主题主题3 3 根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系【主题训练【主题训练3 3】假设】假设5k+200,5k+200,那么关于那么关于x x的一元二次方程的一元二次方程x2+
9、4x-x2+4x-k=0k=0的根的情况是的根的情况是()A.A.没有实数根没有实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D.D.无法判断无法判断【自主解答自主解答】选选A.=16+4k=(5k+20),A.=16+4k=(5k+20),5k+200,0,5k+200,0-4ac0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根.(2)(2)当当=b=b2 2-4ac=0-4ac=0时时,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根.(3)(3)当当=b=b2 2-4ac0-4acx2).:x1-x2=(x1x2).12121 2x
10、x11xxxx；2121 2(xx)4xx1 1以下一元二次方程有两个相等实数根的以下一元二次方程有两个相等实数根的是是()2+3=02+3=02+2x=02+2x=0C.(x+1)2=0C.(x+1)2=0 D.(x+3)(x-1)=0D.(x+3)(x-1)=0【解析解析】选选C.C.选项选项一元二次方程的解一元二次方程的解A A项项方程可化为方程可化为x x2 2=-3,=-3,方程无解方程无解B B项项可化为可化为x(x+2)=0,x(x+2)=0,方程的解为方程的解为x x1 1=0,x=0,x2 2=-2=-2C C项项方程的解为方程的解为x x1 1=x=x2 2=-1=-1D
11、D项项方程的解为方程的解为x x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-32.2.一元二次方程一元二次方程:x2+2x+3=0,x2+2x+3=0,x2-2x-3=0,x2-2x-3=0,以下说法正确的选项是以下说法正确的选项是()A.A.都有实数解都有实数解B.B.无实数解无实数解,有实数解有实数解C.C.有实数解有实数解,无实数解无实数解D.D.都无实数解都无实数解【解析解析】选选B.B.一元二次方程的判别式的值为一元二次方程的判别式的值为=b=b2 2-4ac=4-4ac=4-12=-80,12=-80,-4ac=4+12=160,所以方程有两个不相等的实数根所以方程有两个不相等的实数根.
12、3.3.一元二次方程一元二次方程x2-6x+c=0 x2-6x+c=0有一个根为有一个根为2,2,那么另一根为那么另一根为()【解析】选【解析】选C.C.由题意由题意,把把2 2代入原方程得代入原方程得:22-6:22-62+c=0,2+c=0,解得解得c=8,c=8,把把c=8c=8代入方程得代入方程得x2-6x+8=0,x2-6x+8=0,解得解得x1=2,x2=4.x1=2,x2=4.4.4.假设假设x1,x2x1,x2是一元二次方程是一元二次方程x2-2x-3=0 x2-2x-3=0的两个根的两个根,那么那么x1x2x1x2的的值是值是()【解析】选【解析】选B.x1x2=,x1x2=
13、-3.B.x1x2=,x1x2=-3.ca5.5.关于关于x x的方程的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根x1,x2,x1,x2,且有且有x1-x1x2+x2=1-a,x1-x1x2+x2=1-a,那么那么a a的值是的值是()或或-1-1【解析解析】选选B.B.由题意由题意:x:x1 1+x+x2 2=,x=,x1 1x x2 2=,=,因为因为x x1 1-x x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,所以所以 -=1-a,-=1-a,即即 =1-a,=1-a,解得解得a a1 1=1,=1,
14、a a2 2=-1.=-1.当当a=1a=1时时,原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根,不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以a=-1.a=-1.3a 1a2a 2a3a 1a2a 2aa 1a主题主题4 4 一元二次方程的应用一元二次方程的应用【主题训练【主题训练4 4】某校为】某校为培养青少年科技创新能力培养青少年科技创新能力,举办了动漫制举办了动漫制作活动作活动,小明设计了点做圆周运动的一个小明设计了点做圆周运动的一个雏型雏型.如下图如下图,甲、乙两点分别从直径的两端点甲、乙两点分别从直径的两端点A,BA,B以顺时以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动针、逆时针的方向同时沿圆周运
15、动.甲运动的路程甲运动的路程l(cm)l(cm)与时间与时间t(s)t(s)满足关系满足关系:l=t2+t(t0),:l=t2+t(t0),乙以乙以4cm/s4cm/s的速度匀速运动的速度匀速运动,半圆的长度为半圆的长度为21cm.21cm.1232(1)(1)甲运动甲运动4s4s后的路程是多少后的路程是多少?(2)(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间它们运动了多少时间?(3)(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间它们运动了多少时间?【自主解答自主解答】(1)(1)当当t=4t=4时时,l=4 4
16、2 2+4=14(cm).4=14(cm).答答:甲运动甲运动4s4s后的路程是后的路程是14cm.14cm.(2)(2)设它们运动了设它们运动了msms后第一次相遇后第一次相遇,根据题意根据题意,得得:+4m=21,+4m=21,解得解得m m1 1=3,m=3,m2 2=-14(=-14(不合题意不合题意,舍去舍去).).答答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了它们运动了3s.3s.1232213(mm)22(3)(3)设它们运动了设它们运动了nsns后第二次相遇后第二次相遇,根据题意根据题意,得得:+4n=21+4n=213,3,解得解得n n1 1
17、=7,n=7,n2 2=-18(=-18(不合题意不合题意,舍去舍去).).答答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了它们运动了7s.7s.213(nn)22【主题升华主题升华】一元二次方程解应用题的六个步骤一元二次方程解应用题的六个步骤1.1.审审审清题意审清题意,找出等量关系找出等量关系.2.2.设设直接设未知数或间接设未知数直接设未知数或间接设未知数.3.3.列列根据等量关系列出一元二次方程根据等量关系列出一元二次方程.4.4.解解解方程解方程,得出未知数的值得出未知数的值.5.5.验验既要检验是否是所列方程的解既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否
18、符合实又要检验是否符合实际情况际情况.6.6.答答完整地写出答案完整地写出答案,注意单位注意单位.1.1.从一块正方形的木板上锯掉从一块正方形的木板上锯掉2m2m宽的长方形木条宽的长方形木条,剩下的面积剩下的面积是是48m2,48m2,那么原来这块木板的面积是那么原来这块木板的面积是()A.100 m2A.100 m2B.64 m2B.64 m2C.121 m2C.121 m2D.144 m2D.144 m2【解析】选【解析】选B.B.设正方形原边长是设正方形原边长是x,x,根据题意可得根据题意可得:(x-2)x=48,:(x-2)x=48,解得解得x1=8,x2=-6(x1=8,x2=-6(
19、不合题意不合题意,舍去舍去),),所以原边长是所以原边长是8,8,面积是面积是64m2.64m2.2.2.我国政府为解决老百姓看病难问题我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格决定下调药品的价格.某某种药经过两次降价种药经过两次降价,由每盒由每盒6060元调至元元调至元,那么每次降价的百分率那么每次降价的百分率为为.【解析】【解析】设每次降价的百分率为设每次降价的百分率为x,x,那么根据题意那么根据题意,得得60(1-60(1-x)2=48.6,x)2=48.6,解得解得x1=1.9(x1=1.9(不合题意不合题意,舍去舍去),x2=0.1=10%.),x2=0.1=10%.答案答案
20、:10%:10%3.3.为响应为响应“美丽广西清洁乡村的号召美丽广西清洁乡村的号召,某校开展某校开展“美丽广西美丽广西清洁校园的活动清洁校园的活动,该校经过精心设计该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积计算出需要绿化的面积为为498m2,498m2,绿化绿化150m2150m2后后,为了更快地完成该项绿化工作为了更快地完成该项绿化工作,将每天将每天的工作量提高为原来的倍的工作量提高为原来的倍.结果一共用结果一共用2020天完成了该项绿化工天完成了该项绿化工作作.(1)(1)该项绿化工作原方案每天完成多少该项绿化工作原方案每天完成多少m2?m2?(2)(2)在绿化工作中有一块面积为在绿化工作中有
21、一块面积为170m2170m2的矩形场地的矩形场地,矩形的长比矩形的长比宽的宽的2 2倍少倍少3m,3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?【解析】【解析】(1)(1)设该项绿化工作原方案每天完成设该项绿化工作原方案每天完成xm2,xm2,那么提高工作那么提高工作量后每天完成量后每天完成2,2,根据题意根据题意,得得 =20,=20,解得解得x=22.x=22.经检验经检验,x=22,x=22是原方程的根是原方程的根.答答:该项绿化工作原方案每天完成该项绿化工作原方案每天完成22m2.22m2.(2)(2)设矩形宽为设矩形宽为ym,ym,那么长为那么长为(2
22、y-3)m,(2y-3)m,根据题意根据题意,得得y(2y-3)=170,y(2y-3)=170,解得解得y=10y=10或或y=-8.5(y=-8.5(不合题意不合题意,舍去舍去).).2y-3=17.2y-3=17.答答:这块矩形场地的长为这块矩形场地的长为17m,17m,宽为宽为10m.10m.150 498 150 x1.2x 轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的
23、感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案折如图，把一张纸对折，剪出一个图案折痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直
24、 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线成轴对称直线成轴对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2 2观察下面每对图形如图，你能类比前观察下面每对图形如图，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与
25、另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个
26、你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题
27、问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2 2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC ABC 和和ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN MN 垂直垂直线段线段AAAA，BBBB和和CCCC，并且直线，并且直线MN MN 还平分线段还平分线段AAAA，BBBB和和CCCC如如果将其中的果将其中的“三角形改为三角形改为“四边形四边形“五边形五边形其其他条
28、件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如
29、果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l l 垂直线段垂直线段AAAA，BBBB，直线直线l l平分线段平分线段AAAA，BBBB或直或直线线l l 是线段是线段AAAA，BBBB的垂直平分的垂直平分线线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理
30、由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如下图的每个图形是轴对称图
31、形吗？如如下图的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2 2如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 1 1本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？2 2轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？3 3成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
