1、 1 2016-2017 学年天津市静海高二（下） 3 月月考数学试卷（理科） 一、选择题：（每小题 5分，共 30 分） 1若 f （ x0） =2，则 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2函数 f（ x） =2x3 3x2+a的极大值为 6，那么 a的值是（ ） A 5 B 0 C 6 D 1 3点 P在曲线 y=x3 x+7上移动，过点 P的切线倾斜角的取值范围是（ ） A 0， B C D 4已知函数 f（ x）的定义域为 R， f（ 1） =2，对任意 x R， f （ x） 2，则 f（ x） 2x+4的 解集为（ ） A（ 1， 1） B（ 1， + ） C（ ， 1） D
2、（ ， + ） 5已知 f（ x） =2x3 6x2+m（ m 为常数）在 2， 2上有最大值 3，那么此函数在 2， 2上的最小值是（ ） A 37 B 29 C 5 D以上都不对 6设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ） A B C D 二、填空题：（每空 5 分，共 25分） 7曲线 S： y=3x x3的过点 A（ 2， 2）的切线的方程是 8如图是 y=f（ x）导数的图象，对于下列四个判断： f（ x）在 2， 1上是增函数； x= 1是 f（ x）的极小值点； f（ x）在 1， 2上是增函数，在 2， 4上是减函数； x=3是 f（ x）的
3、极小值点 其中正确的判断是 （填序号） 2 9函数 y=3x2 2lnx的单调减区间为 10设曲线 y=xn+1（ n N+）在点（ 1， 1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则log2015x1+log2015x2+? +log2015x2014的值为 11若函数 f（ x） = x3 x在（ a， 10 a2）上有最小值，则 a的取值范围为 三、解答题（本大题共 5题，共 95分） 12已知函数 f（ x） = （ x R），其中 a R （ 1）当 a=1时，求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （ 2）当 a 0时，求函数 f（ x）的单调区间与极值
4、13（ 1）若函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d的单调递减区间（ 1， 2）求 b， c的值； （ 2）设 ，若 f（ x）在 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围； （ 3）已知函数 f（ x） =alnx ax 3（ a R），若函数 y=f（ x）的图 象在点（ 2， f（ 2）处的切线的倾斜角为 45 ，对于任意 t 1， 2，函数 g（ x） =x3+x2f （ x） + 在区间（ t，3）上总不是单调函数，求 m的取值范围 14已知函数 f（ x） = +lnx （ 1）若函数 f（ x）在 1， + ）上为增函数，求正实数 a的取值范围； （ 2）当 a=1时，求 f（
5、 x）在 上的最大值和最小值 （ 3）求证：对于大于 1的正整数 n， ln 15已知函数 f（ x） =lnx （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） = x2+2bx 4，若对任意 x1 （ 0， 2）， x2 1， 2，不等式 f（ x1） g（ x2） 恒成立，求实数 b的取值范围 3 16已知函数 f（ x） =lnx+ax2， g（ x） = +x+b，且直线 y= 是函数 f（ x）的一条切线 （ ）求 a的值； （ ）对任意的 x1 1， ，都存在 x2 1， 4，使得 f（ x1） =g（ x2），求 b的取值范围 提高题（共 20分） 17设函数 f（
6、x） =（ 1+x） 2 2ln（ 1+x） （ ）求 f （ x）的单调区间； （ ）若当 时，不等式 f （ x） m恒成立，求实数 m的取值范围； （ ）若关于 x的方程 f（ x） =x2+x+a在区间 0， 2上恰好有两个相异的实根，求实数 a的取值范围 4 2016-2017学年天津市静海一中高二（下） 3月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（每小题 5分，共 30 分） 1若 f （ x0） =2，则 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 【考点】 6F：极限及其运算 【分析】 首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解 【解
7、答】 解析：因为 f （ x0） =2，由导数的定义 即 =2? = 1 所以答案选择 A 2函数 f（ x） =2x3 3x2+a的极大值为 6，那么 a的值是（ ） A 5 B 0 C 6 D 1 【考点】 6C：函数在某点取得极值的条件 【分析】 令 f （ x） =0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故 f（ 0）为极大值，从而得到 f（ 0） =a=6 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x3 3x2+a，导数 f （ x） =6x2 6x，令 f （ x） =0，可得 x=0 或 x=1， 导数在 x=0 的左侧大于 0，右侧小于 0，故 f
8、（ 0）为极大值 f（ 0） =a=6 导数在 x=1 的左侧小 于 0，右侧大于 0，故 f（ 1）为极小值 故选： C 3点 P在曲线 y=x3 x+7上移动，过点 P的切线倾斜角的取值范围是（ ） 5 A 0， B C D 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义，结合二次函数的性质和正切函数的图象和性质即可得到结论 【解答】 解： y=x3 x+7的导数为 y=3x 2 1， 设 P（ m， n），可得 P处切线的斜率为 k=3m2 1， 则 k 1， 由 k=tan ，（ 0 且 ） 即为 tan 1， 可 得过 P点的切线的倾斜角的
9、取值范围是 0， ） ， ）， 故选： B 4已知函数 f（ x）的定义域为 R， f（ 1） =2，对任意 x R， f （ x） 2，则 f（ x） 2x+4的解集为（ ） A（ 1， 1） B（ 1， + ） C（ ， 1） D（ ， + ） 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x） =f（ x） 2x 4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x） 2x 4， 则 g （ x） =f （ x） 2， 对任意 x R， f （ x） 2， 对任意 x R， g （ x） 0， 即函数 g（ x）单调递增， f（ 1）
10、=2， g（ 1） =f（ 1） +2 4=4 4=0， 则 函数 g（ x）单调递增， 由 g（ x） g（ 1） =0得 x 1， 即 f（ x） 2x+4的解集为（ 1， + ）， 6 故选： B 5已知 f（ x） =2x3 6x2+m（ m 为常数）在 2， 2上有最大值 3，那么此函数在 2， 2上的最小值是（ ） A 37 B 29 C 5 D以上都不对 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 先求导数，根据单调性研究 函数的极值点，在开区间（ 2， 2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出 m，通过比较两个端点 2 和 2 的函数值的大小从而确定出最小值，得到结
11、论 【解答】 解： f （ x） =6x2 12x=6x（ x 2）， f（ x）在（ 2， 0）上为增函数，在（ 0， 2）上为减函数， 当 x=0时， f（ x） =m最大， m=3，从而 f（ 2） = 37， f（ 2） = 5 最小值为 37 故选： A 6设底部为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为（ ） A B C D 【考点】 RI： 平均值不等式； LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积； LF：棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 设底边边长为 a，高为 h，利用体积公式 V=Sh= a2 h，得出 h= ，再根据表面积公式得 S= + a2，最后利用
12、基本不等式求出它的最大值及等号成立的条件即得 【解答】 解：设底边边长为 a，高为 h，则 V=Sh= a2 h， h= ， 表面积为 S=3ah+ a2 7 = + a2 = + + a2 3 =定值， 等号成立的条件 ，即 a= ， 故选 C 二、填空题：（每空 5 分，共 25分） 7曲线 S： y=3x x3的过点 A（ 2， 2）的切线的方程是 y= 2或 y= 9x+16 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程，代入 A，求出 k，即可求出切线方程 【解答】 解： f （
13、x） = 3x2+3设切线的斜率为 k，切点是（ x0， y0），则有 y0=3x0 x03， k=f （ x0） = 3x02+3， 切线方程是 y（ 3x0 x03） =（ 3x02+3）（ x x0）， A（ 2， 2）代入可得 2（ 3x0 x03） =（ 3x02+3）（ 2 x0）， x03 3x02+4=0 解得 x0= 1，或 x0=2， k=0，或 k= 9 所求曲线的切线方程为： y= 2或 y= 9x+16， 故答案为： y= 2或 y= 9x+16 8如图是 y=f（ x）导数的图象，对于下列四个判断： f（ x）在 2， 1上是增函数； x= 1是 f（ x）的极小值
14、点； f（ x）在 1， 2上是增函数，在 2， 4上是减函数； x=3是 f（ x）的极小值点 其中正确的判断是 （填序号） 8 【考点】 2K：命题的真假判断与应 用 【分析】 通过图象，结合导函数的符号，根据函数单调性，极值和导数之间的关系，逐一进行判断，即可得到结论 【解答】 解：由导函数的图象可得： x 2， 1） 1 （ 1， 2） 2 （ 2， 4） 4 （ 4， + ） f （ x） 0 + 0 0 + f（ x） 单减 极小 单增 极大 单减 极小 单增 由表格可知： f（ x）在区间 2， 1上是减函数，因此不正确； x= 1是 f（ x）的极小值点，正确； f（ x）在 1， 2上是增函数，在 2， 4上是减函 数，正确； 当 2 x 4时，函数 f（ x）为减函数，则 x=3不是函数 f（ x）的极小值，因此 不正确 综上可知： 正确 故答案为： 9函数 y=3x2 2lnx的单调减区间为 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 利用导数判断单调区间，导数大于 0的区间为增区间，导数小于 0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于 0即可 【解答】 解：函数 y=3x2 2lnx的定义域为（ 0， + ）， 求函数 y=3x2 2lnx的导数，得， y =6x ，令 y 0，解得， 0 x
