1、 1 定远育才学校 2017-2018 学年下学期开学调研考试 高二数学（文科）试题 考生注意： 1.本卷分第 I 卷和第 II 卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。 3.非选择题的作答 :用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。 第 I 卷（选择题） 一、选择题 1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 533 B. 433 C. 536 D. 3 2.如图， OAB? ? ? 是 OAB 用斜二测画法画出的直观图，其中
2、， 4OB? ， 6AC? ， AC y? ? ? 轴，则 OAB 的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 3.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， P 在线段 1BD上运动且不与 D ， 1B 重合，给出下列结论： AC BP? ； 1AB? 平面 PDA ； 二面角 A PD C?的大小随 P 点的运动而变化； 三棱锥 P ABC? 在平面 11BCCB 上的投影的面积与在平面 11CDDC 上的投影的面积之比随 P 点的运动而变化； 其中正确的是（ ） A. B. 2 C. D. 4.等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等 ，它们的表面
3、积的大小关系是 A. B. C. D. 5.如图，将无盖正方体纸盒展开，线段 AB ， CD 所在直线在原正方体中的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面 D. 相交成 60? 6. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD? 中， PA? 平面 ABCD ， 底 面 是 梯 形 ABCD ， / / ,AD BC AC BD?,且 PA AD? ，则下列判断错误的是（ ） A. /BC 平面 PAD B. PD 与平面 ABCD 所成的角为 045 C. AC PD? D. 平面 PAC? 平面 PBD 7.如 图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A BC
4、 D- 中， O 是底面 ABCD 的中心， E、 F 分别是 1CC 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 1FD 所成角的余弦值等于 （ A） 105 （ B） 155 （ C） 45 （ D） 23 8.直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 内接于半径为 3 的半球 SO ，四边形 ABCD 为正方形，则该四棱3 柱的体积最大时， AB 的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 9.如图所示， 正四棱锥 P ABCD? 的底面面积为 3 ，体 积为 22 ， E 为侧棱 PC 的中点，则 PA与 BE 所成的角为（ ） A. 30? B. 45? C. 60?
5、 D. 90? 10.若正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底边长为 2， 1AC 与地面底面 ABCD 成 45 角，则三棱锥1B ACC? 的表面积为（ ） A. 6 2 2 2 3? B. 4 3 2 3 3? C. 8 2 2 3? D. 10 2 3? 11.如图，三棱柱 A1B1C1 - ABC 中，侧棱 AA1丄底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角形， E 是 BC中点，则下列叙述正确的是 A. CC1与 B1E 是异面直线 B. AC 丄平面 ABB1A1 C. A1C1 平面 AB1E D. AE 与 B1C1为异面直线，且 AE 丄 B1C
6、1 12.如 图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1，中心为 O ， 12BF BC? ， 1114AE AA?， 则四面体 OEBF 的体积为（ ） A. 112 B. 124 C. 148 D. 196 第 II 卷（非选择题） 4 二、填空题 13.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 _ 14.如图所示，四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 为矩形， 3AB? ， 1CB CP?，且PC PA? ，记二面角 P AC B?的平面角为 ? ，若 41cos ,92? ?，则 PB 的取值范围是 _ 15.如图所示的多面体，它的正
7、视图是斜边长为 的直角三角形，左视图为边长是 的正方形，俯视图为有一个内 角为 的直角梯形，则该多面体的体积为 _ 16.如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1， P 为 BC 的中点， Q 为线段 1CC 上的动点，过点 A ， P ， Q 的平面截该正方体所得的截面为 S ，则下列命题正确的是 _（写出所有正确命题的编号） . 5 当 10 2CQ?时， S 为四边形； 当 12CQ? 时， S 为等腰梯形； 当 34CQ? 时， S 与 11CD的交点 R 满足1 14CR?； 当 3 14 CQ?时， S 为五边形； 当 1CQ? 时， S 的面积为 6
8、. 三、解答题 17.已知四棱锥 P ABCD? ，底面 ABCD 是菱形， M 是 AD 的中点， 3DAB ?，点 P 在底面的射影 H 恰好在 MB 上，且 2MH HB? （ ） 求证：平面 PAD? 平面 PBM ； （ ）如果二面角 P AD B?的大小为 3? ，求直线 PC 与平面 ABCD 所成二面角的正切值。 18.如图 1，在直角梯形 ABCD 中， / / ,AB CD AB AD?，且 1 12AB AD CD? ? ?现以 AD为一边向形外作正方形 ADEF ，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使 ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为 ED 的中点，
9、如图 2 （ 1）求证： /AM 平面 BEC ； （ 2）求证： BC? 平面 BDE ； （ 3）求点 D 到平面 BEC 的距离 . 6 19. 如 图 ， 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC? 中 ， 底 面 ABC 为 正 三 角 形 ， 1AA? 底面 ABC ， 且1 3AA AB?， D 是 BC 的中点 . （ 1）求证： 1 /AB 平面 1ADC ； （ 2）求证：平面 1ADC? 平面 1DCC ； （ 3）在侧棱 1CC 上是否存在一点 E ， 使得三棱锥 C ADE? 的体积是 98 ？ 若存在，求出 CE 的长；若不存在，说明理由 . 20.如图， 11AABB
10、 为圆柱的轴截面，底面圆圆心为 ,OCD 是底面圆周上的两个点， ACD? 为等边三角形， 1 6 4 6AA AB?， . (1)求三棱锥 1O ACD? 的体积； (2)求证： 1OB? 平面 1ACD . 21.如图，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，底面四边形 ABCD 为菱形， 1 2AA AB?， 60ABC? ? ? ， E 是 BC 的中点 . 7 （ 1）图 1 中，点 F 是 1AC 的中点，求异面直线 ,EFAD 所成角的余弦值； （ 2）图 2 中，点 HN、 分别是 11AD AD、 的中点，点 M 在线段 1AD上， 1123AMAD? ，求
11、证：平面 AEH 平面 CNM . 22.如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD 底面 ABCD ， PD DC? ， 4, 3,AB BC E?是 PC 的中点， F 为 PB 的中点 . （ 1）证明： /PA 平面 ;EDB （ 2）若 Q 为直线 AP 上任意一点，求几何体 Q BDE? 的体积； 8 参 考 答案 1.A2.C3.D4.B5.D6.C7.B8.D9.C10.A11.D12.D 13.33? 14. 3 10,110?15. 16. 17. （） ABD? 为等边三角形， M 是 AD 的中点， AD MB? 又 PH? 底面 ABD ，
12、 AD PH AD? ? ?平面 ABM AD? 平面 PAD ， 平面 PAD? 平面 PBM （） 点 P 在底面 A.BCD 上的射影是 H， PH?底面 ABCD ,又 底面 ABCD 是菱形，且M 为 AD 的中点， BM AD?,连 PM ,则 PM AD? ( 由三垂线定理可知 )，故 PMH?为二面角 P AD B?的平面角 ,即 60PMH?。不妨设 22MH HB a?，则 23PH a? ， 23AB a BC?,又 90MBC?， ? ? 22 2 3 1 3C H a a a? ? ? ?，故直线 PC 与底面A.BCD 所成的角为 PCH? ,在 PCH? 中， 2
13、 3 2 3 9ta n1313P H aP C H HC a? ? ? ?。 18. (1)证明：取 EC 中点 N ，连结 ,MNBN . 在 EDC? 中， ,MN分别为 ,ECED 的中点， 所以 /MN CD ,且 12MN CD? . 由已知 1/ / , 2AB CD AB CD?, 9 所以四边形 ABNM 为平行四边形 . 所以 /BN AM . 又因为 BN? 平面 BEC ,且 AM? 平面 BEC ， 所以 /AM 平面 BEC . (2)证明：在正方形 ADEF 中， ED AD? , 又因为平面 ADEF? 平面 ABCD ，且平面 ADEFI 平面 ABCD AD
14、? , 所以 ED? 平面 ABCD . 所以 ED BC? 在直角梯形 ABCD 中， 12AB AD CD? ? ?， ,可得 2BC? . 在 BCD? 中， 2 2 222B D B C C D B D B C C D? ? ? ? ?， ，. 所以 BC BD? . 所以 BC? 平面 BDE . (3)由 (2)知， ,BC BE BC BD? 所以 11 2 2 122B C DS B D B C? ? ? ? ? ? ?,又因为 ED? 平面 ABCD 又 1133E B C D D B C E B C DV V S D E? ? ? ? ? ?. 所以， D 到面 BEC 的
15、距离为 63 19. （ 1） 如图 ,连接 1AC 交 1AC 于点 O ，连 OD 。 由题意知 ,在三棱柱 中 , 平面 , 四边形 为矩形 , 点 为 的中点 . 为 的中 点 , 10 . 平面 , 平面 . 平面 . （ 2） 底面 为正三角形 , 是 的中点 , AD CD? , 平面 , 平面 , . , 平面 , 平面 , 平面 平面 . （ 3） 假设在侧棱 上存在一点 ,使三棱锥 的 体积是 . 设 。 , , , 即 , 解得 , 即 . , 在侧棱 上存在一点 ,使得三棱锥 的体积是 ,此时 . 20. （ 1）根据图形的位置关系得到 62AC? ， 6OE? ， 63OCDS? ? ，等体积转化为11 113O A C D A O C D O C DV V S A A? ? ? ? ? ?，代入求值即可；（ 2） 证线面垂直，直接找线线垂直，由几何关系得到 11,OF EF OB A E?， 又知 CD? 平面 11ABBA ,所以 1CD OB? ， 这样就证得了 1OB 垂直于两条相交直线。得到线面垂直。
