1、 - 1 - 定远重点中学 2017-2018学年第二学期教学段考卷 高二（理科）数 学试题 注意事项： 1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将第 I 卷（选择题）答案用 2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I卷（选择题 60分） 一选择题 （本题有 12 小题，每小题 5分，共 60 分。） 1.若关于 x 的方程 ? ? 21ln 02a x x x? ? ?有唯一的实数解，则正数 a? （ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 19 2.设 ?/fx为函数 f（ x）的导数且 f（ x） =
2、2 2xx? ?/ 1f 则 ? ?1f ? =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.已知函数 ? ? ln 2xxeefx ? ，则 ?fx是（ ） A. 奇函数，且在 ? ?,? 上单调递增 B. 偶函数，且在 ? ?,0? 上单调递增 C. 奇函数，且在 ? ?,? 上单调递减 D. 偶函数，且在 ? ?0,? 上单调递增 4.由曲线 1xy? 与直线 yx? ， 3y? 所围成的封闭图形面积为（ ） A. 2 ln3? B. ln3 C. 2 D. 4 ln3? 5.已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3， 5，第三行为 7， 9，
3、11，第四行为 13， 15， 17， 19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行，第 j 列的数记为 ,ija ，比如 3 2 4 2 5 49 , 1 5 , 2 3a a a? ? ?， ， ，若 , 2017ij? ，则 ij?（ ） - 2 - A. 64 B. 65 C. 71 D. 72 6.已知 i 为虚数单位，若复数 ? ?13i z i? ? ? ，则 z? （ ） A. 1 B. 1? C. 5 D. 2 或 1 7.? ?713x? 的展开式的第 4项的系数为（ ） A. 3727C? B. 4781C? C. 3727C D. 4781C 8.由 1、 2、 3、
4、4、 5、 6、 7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且 6、 7均不得排在首位与个位 ， 1与 6必须相邻，则这样的七位数的个数是 （ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 9.已知随机变量 ? ? 7,4XN ，且 (5 9 ) , (3 1 1)P X a P X b? ? ? ? ? ?，则 3 9)PX? ? ?（ ） A. 2ba? B. 2ba? C. 22ba? D. 22ab? 10.函数 ? ? ? ?21, 2 ,1xf x x e x? ? ?的最大值为（ ） A. 14e? B. 1 C. 2e D. 23e 11.已知函数 ? ? 2 lnf
5、 x x x?，则 ?fx的大致图象为（ ） A. B. C. D. 12.下列说法中正确的是（ ） 相关系数 r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于 1，相关性越弱； 回归直线 y bx a?一定经过样本点的中心 ? ?,xy ； - 3 - 随机误差 e 满足 ? ? 0Ee? ，其方差 ?De的大小用来衡量预报的精确度； 相关指数 2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明 模型的拟合效果越好 . A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 90分 ） 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20分。） 13.已知函数 f(x) x2 2ax lnx，若
6、f(x)在区间 上是增函数，则实数 a的取值范围为 14.若函数 ?fx满足 a b R?、 都有 ? ? ? ?2323abf f a f b? ?，且 ?11f ? ， ? ?47f ? ，则 ? ?2017f ? _ 15.某射手在一次射击训练中，射击 10环、 9环、 8环、 7环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28，则这个射手在一次射击中射中 10 环或 7环的概率为 _ 16.已知随机变量 ? ? 2,X B p ， ? ?2 2,YN? ，若 ? ?1 0.64PX? ， (0 2)P Y p? ? ?，则 ( 4)PY?_ 三、解答题 （本题有 6 小题，共 7
7、0分。） 17. （本题共 10分） 一个口袋中有 2个白球和 n个红球（ n2 ，且 nN *），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖 （ 1）试用含 n的代数式表示一次摸球中奖的概率 P； （ 2）若 n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （ 3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f（ p），当 n为何值时 ， f（ p）最大 18. （本题共 12分） 已知 z 是虚数， 1z z? 是实数 （ 1）求 z 为何值时， 2zi? 有最小值，并求出 | 2zi? 的最小值； （ 2）设 11 zu z? ? ，求证： u 为纯虚数
8、 19. （本题共 12 分） 某中学将 100 名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个 “ 平行班 ”, 每班50人 .陈老师采用 A、 B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验 .为了解教学- 4 - 效果 ,期末考试后 ,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析 ,画出频率分布直方图（如下图） .记成绩不低于 90分者为 “ 成绩优秀 ” ? ?2P K k? 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (I)从乙班 随机抽取 2名学生的成绩 ,记 “ 成绩优秀 ” 的个数为 ? ，求 ? 的分布列和数学期望 ； (II)根据频率分布直方图填写下
9、面 2 x2列联表 ,并判断是否有 95的把握认为 :“ 成绩优秀 ”与教学方式有关 . 甲班 （ A 方式） 乙班 (B 方式） 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附： ? ? ? ? ? ? ? ? ?22K = .n a d b ca b c d a c b d? ? ? ?20. （本题共 12分） 数列 ?na 满足1 16a?，前 n项和 ? ?12nnnnSa? - 5 - （ 1）写出 234,a a a ； （ 2）猜出 na 的表达式，并用数学归纳法证明 21. （本题共 14分） 设 ? ? c o s2xf x ae x? ?，其中 0a? . （ 1）求证：曲线 ?
10、?y f x? 在点 ? ? ?0, 0f 处的切线过定点； （ 2）若函数 ?fx在 ? ?1,1? 上存在唯一极值，求正数 a 的取值范围 . 22. （本题共 10 分） 某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布 N（ ， 2），下表用茎叶图列举出来抽样出的 10 名学生的成绩 （ 1）计算这 10名学生的成绩的均值和方差； （ 2）给出正态分布的数据： P（ X + ） =0.6826， P（ 2 X +2 ） =0.9544 由（ 1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（ 76， 97）的概率 - 6 - 参 考 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11、 12 A B D D D C A D B C A D 1.A 【解析】 方法一：验证法。当 12a? 时，可得函数 2y x x?与函数 lnyx? 在 1x? 处 的切线是相同 的。故选 A。 方法二 ： 因为 0a? ， 由 ? ? 21ln 02a x x x? ? ?得 ln 11 2x xxa? 。 设 ? ? ? ?ln 11, 2xf x g x xxa? ? ?， 由题意得当且仅当函数 ?fx和 ?gx的图象相切时满足题意，设切点为 ? ?00,xy ， 则 0000002012ln 1 1 ln12yaxxyxxax?， 解得 12a? 。 选 A。 2.B 【解析】 ?
12、? ? ?2 2 , 1 0 ,f x x f? ? ?所以 ? ? ? ?2 2 , 1 3f x x x f? ? ? ?，选 B. 3.D 【解析】 函数 ? ? ln 2xxeefx ? 的定义域为 R， ? ? ln 2xxeefx ? ， ? ? ln 2xxeefx ? ? ，所以 ? ? ? ? f x f x?. 因此函数是偶函数； 令 ? ? ? ? 2 12 2 2x x x x xxe e e e eg x g x e? ? ? ? ?，当 ? ?0,x? ? 时， ? ? 0gx? ? ， ?gx在? ?0,? 上单调递增 。 根据复合函数的单调性的判定方法，可知：函
13、数 ? ? ln 2xxeefx ? 在? ?0,? 上单调递增。 故选 D. - 7 - 4.D 【解析】 根据题意作出所围成的图形，如图所示， 图 中 从 左 至 右 三 个 交 点 分 别 为 ? ? ? ?1 , 3 , 1,1 , 3, 33?， 所 以 题 中 所 求 面 积 为? ? ? ?13 1 2 3111 313113 3 3 l n | 3 | 4 l n 32S d x x d x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 D 5.D 【解析】 奇数数列 2 1 2 0 1 7 1 0 0 9na n n? ?
14、? ? ?， 即 2017 为底 1009个奇数 . 按照蛇形排列， 第 1行到第 i 行末共有 ? ?112 2iii ? ? ? ? 个奇数 ,则第 1行到第 44 行末共有 990 个奇数；第 1行到第 45 行末共有 1035个奇数；则 2017位于第 45 行；而第 45 行是从右到左依次递增，且共有 45 个奇数；故 2017 位于第 45 行，从右到左第 19 列，则4 5 , 2 7 7 2i j i j? ? ? ? ?，故选 D. 6.C 【解析】 ? ? ? ? ? ? ?313 4 2 21 1 1 2iiiizii i i? ? ? ? ? ? ?， 所以 222 1
15、 5z ? ? ?， 故选 C。 7.A 【解析】 7.由题意可得 ? ?713x? 的展开式的第 4项为 ? ? 33 7 3 3 33 1 7 71 3 2 7T C x C x? ? ? ? ? ? ?，选A. 8.D 【解析】 当 1 在首位时， 6 只有一种排法， 7 有四种排法，余下四数共有 44A 中排法，共有441 4 96A? ? ? 种； 当 1在个位时，同样共有 96种； - 8 - 当 1 即不再首位也不在个位时，先把 1 和 6 排好，有 224A? 种排法，再排 7 有 3 种排法，余下四数共有 44A 中排法，共有 244 A 3 576A? ? ? ?种 综上：
16、共有 192 576? =768 故选： D 9.B 【解析】 由正态分布的对称性知， ( 3 9 ) ( 3 7) + (7 9 ) 2 2 2b a a bP X P X P X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 B. 10.C 【解析】 ： f（ x） =x2?ex+1， x -2， 1， f （ x） =2x?ex+1+x2?ex+1=xex+1（ 2+x）， 当 x（ -2， 0）时， f （ x） 0 当 x（ 0， 1）时， f （ x） 0 当 x=0时，原函数有极小值为 f（ 0） =0； 而当 x=-2时， f（ x） =4e 当 x=1时， f（ x） =e2
17、 函数 f（ x） =x2?ex+1， x -2， 1的最大值为 e2 故选 C 11.A 【解析】 当 0x? 时 ， ? ? ? ?2 lnf x x x? ? ?， ? ? ? ?11 2 1 2 0fx xx? ? ? ? ? ? ? ， 所以 ?fx在 ? ?,0? 单调递增，则 B、 D错误； 当 0x? 时 ， ? ? 2 lnf x x x?， ? ? 1 2 12 xfx xx? ? ?， 则 ?fx在 10,2?单调递减， 1,2?单调递增 ， 所以 A正确，故选 A。 12.D 【解析】 线性相关关系 r 是衡量两个变量之间线性关系强弱的量 ， r 越接近于 1，这两个变量线性相关关系越 强 ， r 越接近于 0 ，线性相关关系越弱 ， 错误 ； 回归直线 ?y = ?bx +?a- 9 - 一定通过样本点的中心 ? ?,xy， 正确 ； 随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量，它满足? ? 0Ee? ， 正确 ； 用相关指数 2R 用来刻画回归的效果， 2R 越大，说明模型的拟合效果越好， 不正确，故选 D. 13. 【解析】由题意知 f
