1、 - 1 - 福建省永春县 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 理 考试时间： 120 分钟 试卷总分： 150 分 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分 第 I 卷（选择题） 一、 选择题：本大 题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后， 请把答案填写在答题卡相应位 置上 。 1 复数 4312ii? 的实部是（ ） A 2 B 2 C 3 D 4 2 复数 12,zz分别对应复平面内的点 12,MM，且 1 2 1 2z z z z? ? ? ，线段 12MM 的中点 M 对应的复数为 43i? ，
2、则 2212zz? 等于（ ） A 10 B 25 C 100 D 200 3 函数 ? ?xxy 2ln? 单调 递增区间是（ ） A（ 0， 2） B（ 1， 2e ） C ),2( ? D ),( 2?e 4 已知函数 3)( xtxxf ? ，当 ? ?1,0?x 时， )(xf 有最大值，则实数 t 的取值范围是（ ） A 10 ?t B 30 ?t C 3?t D 3?t 5 曲线 xey 2? 在点 ? ?4,2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A 429e B 49e C 449e D 443e 6 )(220 2 xdxx? ?等于 ( ) A 2? B 4? C
3、 ? D ?2 7 已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ，当 0?x 时 )()( xfxfx ? ，且 0)3( ?f ，则不等式0)( ?xf 的解集为（ ） A ? ? ? ,33,( B ? ?3,3? C ? ? ?3,03,( ? D ? ? ? ? ,30,3 8 若函数 13)( 223 ? abxaxxxf 在 1?x 处取得极值 1，则 ?ba （ ） - 2 - A 7 B 2 或 7 C 4 或 11 D 11 9 曲线 1)( 3 ? xxf 与直线 9,2,0 ? yyx 围成的图形的面积为（ ） A 415 B 419 C 437 D 454 10 已知函数 3
4、21( ) ( 2 ) 13f x a x b x b x? ? ? ? ?在 1xx? 处取得极大值，在 2xx? 处取得极小值，且 120 1 2xx? ? ? ?则 baz 2? 的最小值为（ ） A 516 B 34 C 716 D 6 11 若存在过点 (1,0)的直线 3yx? 与曲线和 94152 ? xaxy 都相切 ， 则 a 等于 ( ) A 1? B 421 C 47? D 7 12 给定区间 D，对于函数 ()fx与 ()gx 及任意 12,x x D? （其中 12xx? ），若不等式1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x? ? ?
5、恒成立，则称函数 ()fx相对于函数 ()gx 在区间 D 上是 “ 渐先函数 ” 。已知函数 xxf ln)( ? 相对于函数 xaxxg ? 221)( 在区间 ? ?,1 是 渐先函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A 210 ?a B 41?a C 041 ? a D 21?a 第 II 卷 二、填空题 ：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分， 请把答案填在答题卡的横线上 。 13 曲线 xxy ln2 ? 上的点到直线 2?xy 的距离的最小值为 14 已知 ?00 ,2)(),2,2(,s in1 c o s)( xxfxxxxf 且? 15 一物体在力 1 0 ,
6、0 2()3 4, 2xFx xx? ? ?（单位： N）的作用下沿与力 F 相同的方向， 从 x? 0 处运动到 x? 4（单位： m）处，则力 ()Fx所做的功为 _ _ 16 已知函数 ( ) ( )xxf x e x ae?恰有两个极值点，则 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在 答题卡各自题目的答题区域内作答 。 - 3 - 17（本小题满分 12 分） 已知函数 32( ) 1f x x ax? ? ?图象在点 (1, )Bb处的切线的斜率为 -3。 （ 1）求 ,ab的值； （ 2）若函 数 kxfxg ?
7、 )()( 有且仅有两个零点，求实数 k 的值。 18（本小题满分 12 分） 已知椭圆 :C 22 1( 0)xy abab? ? ? ?,点 P（ a36 错误 !未找到引用源。 , a66 错误 !未找到引用源。 ）在椭圆上。 （ I）求椭圆 C 的离心率。 （ II）若 6?a ， 问 是否存在直线 l 与直线 OP 平行且与直线 OP 的距离为 5 ，使得直线 l 与椭圆有公共点？若存在，求出直线 l 的方程 ；若不存在，说 明理由。 19（本小题满分 12 分） 利用导函数在研究函数中的应用，证明下列不等式： （ 1）当 Rx? 时， 011 ? ?xex ； （ 2）当 0 2x
8、 ? 时， 3tan 3xxx? 。 20（本小题满分 12 分） 有甲、乙两个工厂，甲位于一直线河岸的岸边 A 处，乙位于离甲所在河 岸的 km40 的 B 处，乙到河岸的垂足 D 与 A 相距 km50 ，两厂要在此岸边合建一个供水站 C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 a3 元和 a5 元，问供水站 C 应建 在何处才能使水管费用最省？ 21 已知函数 ()fx满足 满足 121( ) (1) (0 ) 2xf x f e f x x? ? ?； - 4 - （ 1）求 ()fx的解析式及单调区间； （ 2）若 21() 2f x x ax b? ? ?对 Rx? 恒成立，
9、 求 ( 1)ab? 的最大 值。 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写 清题号 22 （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直角坐标系的坐标原点与极坐标系的极点重合，直角坐标系的 x 轴正半轴与极坐标系的极轴重合，设曲线 C： 12cos2 ? 上某一点 P ， 21,FF 为曲线 C 的两个焦点， （ 1）若 21 2PFPF ? ，求 21cos PFF? （ 2）过点 P（ 3， 0）且倾斜角为 30 的直线和曲线 C 相交于 A、 B 两点 求线段 AB 的长 23 （本小题满分 10 分） 选修 4 5：
10、不等式选讲 已知 )(,1)( Raaxxf ? ，不等式 3)( ?xf 的解集为 ? ?12 ? xx （ 1） 求 a 的值； （ 2） 若 kxfxf ? )2(2)(恒成立，求 k 的取值范围 - 5 - 永春一中高二年月考数学（理）科试卷 （ 2017.03） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B C A D D D C A B 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 2 14 6? 15 46 16 1(0 )2， 三、解答题：本大题共
11、6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目的答题区域内作答 。 17 （ 1）由已知得 323)1( ? af ，且 baf ? 11)1( 解得 1,3 ? ba （ 2） )2(363)( 2 ? xxxxxf ， 令 0)( ? xf 得 2,0 ? xx ，在 2,0 ? xx 附近左右 )(xf? 及 )(xf 的性质如下表： x )0,(? 0?x )2,0( 2?x ),2( ? )(xf? + 0 - 0 + )(xf 递增 极大值 1 递减 极 小值 -3 递增 结合图象可知当 31 ? kk 或 时，函数 )(xg 有且仅有两个零点
12、。 18 （ 1）由已知得 163222 ? ba ， )(22 2222 caba ? ， 22 2a ? 故 22?e （ 2）由已知得椭圆 136: 22 ? yxC ， 且 )1,2(P ，直线 02: ? yxOP 设存在满足题意的直线 02: ? tyxl 由与 l 与 OP 距离为 5 得 5,55 ? tt- 6 - 把 tyx ?2 代入 136 22 ? yx 得 ? ? ,622 22 ? yty 即 0646 22 ? ttyy ， 由直线 l 与椭圆 有公共点，令 0? 得 182?t ，但 1852? 所以椭圆 C 上不存在满足题意的直线 l 。 19 （ 1）令
13、1)( 1 ? ?xexxf ，则 111 )1()( ? ? xxx exeexxf 当 1?x 时 0)( ? xf ，当 1?x 时 0)( ? xf ，当 1?x 时 0)( ? xf 当 1?x 时 ? ? 0)1()( min ? fxf ， 当 Rx? 时， 011 ? ?xex （ 2）令 3tan)( 3xxxxf ? （ 0 2x ? ） 则 0t a n1c o s1)( 2222 ? xxxxxf故 函数 )(xf 在 )2,0( ? 单调递增 从而 0)0()( ? fxf ，即当 0 2x ? 时， 3tan 3xxx? 20 设供水站 C 建 在 D 与 A 之间
14、距离 D xkm 处，水管总费用 y 元 则 500,405)50(3 22 ? xxaxay ? ?222 160016003516002 253 x axxxxaay ? ? 令 0?y 得 30?x 且当 30?x 时 0?y ；当 30?x 时 0?y 当 30?x 时， ay 2560min ? 答： 供水站 C 应建 在 D 与 A 之间距离 D km30 处，水管总费用最省。 21 （ 1） xfefxf x ? ? )0()1()( 1， 1)0()1()1( 0 ? feff - 7 - 即 1)0( ?f ， 21 21)1()( xxefxf x ? ?， 1)1()0(
15、 ? eff ， ef ? )1( 221)( xxexf x ? （ 2）由已知得 0)1( ? bxae x 对 Rx? 恒成立 令 bxaexg x ? )1()( ，则 )1()( aexg x ? 若 01 ?a ，即 1?a 时， 0)( ?xg 恒成立， )(xg 在 R 上单调递增 这显然不合题意； 若 01 ?a ，即 1?a 时，令 0)( ?xg 得 )1ln( ax ? 且当 )1ln( ax ? 时 0)( ?xg ，当 )1ln( ax ? 时 0)( ?xg ? ? baaaxg ? )1ln ()1()1()( m in 由已知得 )1ln ()1()1( aa
16、ab ? ，又 01 ?a ? ?)1ln (1)1()1( 2 aaba ? 令 ua?1 ，则 ? ?uuba ln1)1( 2 ? ， 0?u ? ? )ln21()ln1(2 uuuuy ? 令 0?y 得 21eu? ，当 21eu? 时 0?y ；当 21eu? 时 0?y 当 21eu? 时 ba)1( ? 取得最大值 2e 22 （ 1）由 12cos2 ? 得 ? ? 1sincos 222 ? ? ，即 122 ?yx 由 P 在双曲线 122 ?yx 上得 221 ? PFPF , 2221 ?FF 又 21 2PFPF ? ，故 2,4 21 ? PFPF 在三角形 2
17、1PFF 中，由余弦定理得 432c o s 21221222121 ? PFPF FFPFPFPFF (2)设直线的参数方程为 为参数）ttytx(21233?，把上式代入 122 ?yx 得 - 8 - 016362 ? tt ，设 BA, 对应 21,tt ，则 16,36 2121 ? tttt ? ? 1124 2122121 ? ttttttAB 23 （ 1） 由 |ax 1|3 得 4 ax2. 又 f(x)3 的解集为 x| 2 x1 ，所以 当 a0 时，不合题意 当 a 0 时， 4a x 2a，得 a 2. （ 2） 记 h(x) f(x) 2f? ?x2 ， 则 h(x)? 1， x 1， 4x 3， 1 x
