1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 04 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1若函数()y f x?是奇函数 ,则?11 )( dxxf=( ) A 0 B 20C 2?10D 2 【答案】 A 2如图，设 D是图中边长为 4的正方形区域， E是 内函数2yx?图象下方的点构成的区域向 中随机投一点，则该点落入 中的概率为 ( ) A5B14C13D2【答案】 C 3设 f0(x) sinx， f1(x) f0 (x)， f2(x
2、) f1 (x)，?， fn 1(x) fn (x)， n N，则 f2006(x) ( ) A sinx B sinx C cosx D cosx 【答案】 B 4某物体的运动方程为tt ? 23，那么，此物体在1t时的瞬时速度为 ( ) A 4 ； B 5 ； C 6 ； D 7 【答案】 D 5? ?22 si n cosx x dx? ?的值为 ( ) A 0 B4?C 2 D 4 【答案】 C 632( ) 3 2f x ax x? ? ?,若1) 4?,则a的值等于 ( ) A319B316C313D310【答案】 D - 2 - 7dxee xx? ?10 )(=( ) Aee?
3、B 2e C2Dee 1?【答案】 D 8若函数? ? )1,0(1)( ? ? aaaakxf xx在 R上既是奇函数，也是减函数，则? ?kxxg a ? log)(的图像是 ( ) 【答案】 A 9222 4 x dx?的值是 ( ) A2?B?C2?D4?【答案】 C 10已知自由落体运动的速率gtv?，则落体运动从0t到0tt?所走的路程为 ( ) A320gtB0gtC220gtD620gt【答案】 C 11设0( ) sinxf x tdt?，则 ( )2ff?的值等于 ( ) A 1? B Ccos1?D1 cos1?【答案】 D 12若2( ) 2 (1)f x x xf?，
4、则(0)等于 ( ) A 2 B 0 C 2 D 4 【答案】 D - 3 - 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 13若曲线32: 2 2C y x ax ax? ? ?上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a的值为 【答案】 1 141 20 ()x x dx?= 。 【答案】1315设0a?.若曲线yx?与直线,0x a y?所围成封闭图形的面积为2a，则?_. 【答案】916曲线si n , c os , 0 , 2y x y x x x ? ? ? ?所围成的平面图形的面积为 . 【答案】2
5、22 ?三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 ) 17已知函数2( ) ln ( )f x x a x x? ? ?(1）若1a?，求证()fx有且仅有一个零点； (2）若对于? ?,2x?，函数 图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于4?，求实数a的取值范围； (3）若 存在单调递减区间，求实数a的取值范围 【答案】 (1) )0(ln)( 2 ? xxxxxf，1 ( 1 ) ( 2 1 )21() xxxxxfx ? ? ? ? ? ?令( ) 0,? ?得1?x，上单调递减上单调递增，在在 ),1()1,0()( ?xf. 0)1()(
6、 ? fxf 最大值，()fx?有且仅有一个零点，该零点即为 . (2) 221() ax axx? ?，由已知，0 ( ) 1fx?在? ?2,1?x上恒成立 . 由( ) 1fx? ?在? ?2,1?x上恒成立，可得)2 1( mi n2 ? xxxa由0?在 上恒成立，可得61)2 ma x2 ? xx061 ? a(3）()存在单调递减区间221( ) 0ax axfx x? ? ?在),0( ?上有解 - 4 - 22 1 0ax ax? ? ? ?在),0( ?上有解 记?)xg 221ax ?，),0( ?x当0?a时，1)( ?x，不满足条件； 当?时，)(x为开口向下的二次函
7、数，22 1 0ax ax? ? ?在),0( ?上恒有解； 当?时，g为开口向上的二次函数，对称轴为41，22 1 0ax ax? ? ?在),0( ?上有解只需0)( min ?x，即041( ?g，解得8?a综上所述，a的取值范围为),8()0,( ?18已知函数)(ln)( Rax axxf ?. (1）求)(xf的极值； (2）若函数 的图象与函数1)( ?xg的图象在区间,0( 2e上有公共点，求实数 a的取值范围 . 【答案】（ 1）)(xf的定义域为),0?,2 )(ln1)( x axxf ?，令0)( ?x得aex ? 1， 当),0( 1 ae ?时，,0)( ?xf )
8、x是增函数； 当),( 1 ?ae时，?是减函数， )(xf在a?1处取得极大值，11 )()( ? ? aa eefxf 极大值， 无极小值 . (2）当21 ee a ?时，即1?a时， 由（ 1）知)(f在),0( 1e上是增函数，在,( 21 ea?上是减函数， 11ma x )()( ? ? aa eefxf, 又当ax?时，0)( ?xf， 当,0( ae?时，)( ?f；当,( 2eex a?时，0)( ?xf； ?)(xf与图象1)g的图象在,0( 2e上有公共点， 11?ae，解得1?a，又?，所以1?a. 当21 ee a ?时，即?时，(xf在, 2上是增函数， )(xf
9、在,0( 2上的最大值为22)( e aef ?， 所以原问题等价于2?e a，解得22 ?a. 又1?a,无解 . 综上，实数 a的取值范围是),1?. - 5 - 19已知22( ) ( )2xaf x x Rx ?(1）当1a?时，求曲线()y f x?在点(2 (2)f，处的切线方程； (2）若()fx在区间 ,1?上是增函数，求实数a的取值范围 A； (3）在（ 2）的条件下，设关于x的方程1()fxx?的两个根为1x、2，若对任意 a?， 1,1t?，不等式2 121m tm x x? ? ? ?恒成立，求 的取值范围 . 【答案】 (1)a=1时，2/222( 2)( 2)? ?
10、 ? ?xxx， /(2) 0?f，过点(2 (2)f，的切线方程为 y=1(2） 22/2 2 2 24 2 2 2( 2)() ( 2) ( 2)ax x x axxx? ? ? ? ?， ()fx在区间1,1?上是增函数， /( ) 0?对 1,1x?恒成立， 即2 20ax? ? ?对 恒成立 设2( ) 2x x ax? ? ? ?，则问题等价于 (1 ) 1 2 0 11( 1 ) 1 2 0a aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1,1A?(3）由2212xaxx? ?，得2x ax? ? ?， 2 8 0,a? ? ?12,是方程2的两非零实根， 1
11、2 1 2,2x x a x x? ? ? ?，从而1 2 1 2 1 2( ) 4 8x x x x x x a? ? ? ? ? ?， 11a? ? ?，212 83x x a? ? ?. 不等式2 121m tm x x? ? ? ?对任意xA?及 1,1t?恒成立 2 13m tm? ? ? ?对任意 1,1t恒成立2 20m tm? ? ? ?对任意 ,1t恒成立 设( ) 2 ( 2)g t m tm m t m? ? ? ? ? ?，则问题又等价于 - 6 - 22( 1 ) 2 0 2 , 2(1 ) 2 0g m m mmg m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、? ? ?即 m的取值范围是( , 2 2, )? ? ?20已知函数32( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e? ? ? ?，tR? (1）若函数()y f x?依次在, , ( )x a x b x c a b c? ? ? ? ?处取到极值 求t的取值范围； 若22a c b?，求t的值 (2）若存在实数? ?0,2，使对任意的? ?1,xm，不等式 ()f x x?恒成立求正整数m的最大值 【答案】（ 1）2 3 2 3 2( ) ( 3 12 3 ) ( 6 3 ) ( 3 9 3 )x x xf x x x e x x x t e x x x t e? ? ? ? ?
13、 ? ? ? ? ? ? ? ?32( ) 3 , 3 9 3 0 3 , , .f x x x x t a b c? ? ? ? ? ?有 个 极 值 点 有 个 根3 2 2( ) 3 9 3 , ( ) 3 6 9 3 ( 1 ) ( 3 )g x x x x t g x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令( ) ( - ,- 1) ,( 3,+ ) ( - 1,3)gx ?在 上 递 增 , 上 递 减 .( ) 3 8 24.( 3 ) 0g tg? ? ? ? ? ? g(-1)0有 个 零 点, , ( )a b c f x是 的 三 个 极 值 点3 2
14、 3 23 9 3 ( x- a ) ( x- b) ( x- c ) =x ( ) ( )x x x t a b c x ab bc ac x abc? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?393abcab ac bct abc? ? ? ? ? ? ? ? ? 31 ( b (-1,3) )2b ? ? ?或 舍1 2 3182 3abtc? ? ? ? ? ?(2）不等式 ()f x x?，即32( 6 3 ) xx x x t e x? ? ? ?，即3263xt xe x x x? ? ? ? 转化为存在实数? ?0,2t?，使对任意的? ?1,xm?，不等式 恒成立 即不
15、等式0 6 3xxe x x x? ?在 上恒成立 即不等式2 6 3xe x x? ? ?在? ?1,上恒成立 设2( ) 6 3xx e x x? ? ? ? ?，则( ) 2 6x e x? ? ? ? ? ? 设) ( ) 2 6xr x e x? ? ? ? ? ?，则) 2xr x e? ?，因为1 xm?，有( ) 0rx? ? - 7 - 故()rx在区间? ?1,m上是减函数 又1 2 3(1 ) 4 0 , ( 2) 2 0 , ( 3 ) 0r e r e r e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故存在0 (2,3)x ?，使得00( ( ) 0x x? 当01
16、xx?时，有( )x? ?，当0xx?时，有( ) 0? ? 从而()yx?在区间? ?01,x上递增，在区间? ?0,?上递减 又1 2 3(1 ) 4 0 , ( 2) 5 0 , ( 3 ) 6 0,e e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 5 64) 5 0, ( 5 ) 2 0, ( 6) 3 0.e e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以当15x?时，恒有( ) 0?；当6x?时，恒有( ) 0x? ?； 故使命题成立的正整数m的最大值为 5 21已知函数3211) ( , )32 af x x x bx a a b? ? ? ? R，其导函数()fx?
17、的图像过原点 (I ）当1a?时，求 函数()fx的图像在3x?处的切线方程； (II）若存在0x?，使得( ) 9?，求a的最大值； (III）当?时，求函数 的零点个数 . 【答案】() af x x x bx a? ? ? ?,2( ) ( 1)f x x a x b? ? ? ?由(0) 0f ?得 0b?,( ) ( 1)f x x x a? ?.（ I）当1a?时，321( ) 13f x x x? ? ?，( ) ( 2)f x x?，3) 1?，(3) 3f ?所以函数()fx的图像在x处的切线方程为3( 3)? ? ?即3 8 0xy? ? ?(II）存在0x?,使得( )
18、( 1) 9f x x x a? ? ? ?， 91axx? ? ? ?99( ) ( ) 2 ( ) ( ) 6xxxx? ? ? ? ? ? ? ? ?，7a?， 当且仅当9x x? ?即3x?时，等号成立 的最大值为7?. (III）当0a?时，, ( ), ( )f x f x?的变化情况如下表： - 8 - ()fx的极大值(0) 0fa?， 的极小值3 3 21 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 3 ( ) 06 6 2 4f a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又14( 2) 0,3? ? ? ? ?213( ) ( 1)32f x x x a a? ? ?
19、?，3( ( 1) 02f a a? ? ?. 所以函数()在区间? ? 3, 0 , ( 0 , 1 ) , ( 1 , ( 1 ) )2a a a? ? ? ?内各有一个零点， 故函数fx共有三个零点 . 22已知函数22( ) ln ( )af x x a x a Rx? ? ? ?(1）讨论函数()y f x?的单调区间； (2）设2( ) 2 4 ln 2g x bx? ? ? ?，当1a时，若对任意的? ?12, 1,x x e?（e为自然对数的底数），( ) ( )f x g x?，求实数b的取值范围 【答案】（ 1）因为? ? 22 ln ( 0)af x x a x xx? ? ? ?， 所以? ? ? ?2 2 22 2 2 222( ) 1 x a x aa a x ax afx x x x x? ? ? ? ? 若0?a，? ? xxf ?，?x在? ?,上单调递增 若?，当?
