1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 02 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1将lnyx?的图象绕坐标原点 O逆时针旋转角?后第一次与 y轴相切，则角?满足的条件是 ( ) A esin?= cos B sin?= ecos C esin =l D ecos =1 【答案】 B 2下列求导运算正确的是 ( ) A / 211( ) 1x xx? ? ?B /2 1(log ) ln 2x x?C / 5(5 ) 5 logxxe?
2、D 2/( cos ) si nx x x x?【答案】 B 3由直线1x?， x=2，曲线sin?及 x轴所围图形的面积为 ( ) A?Bsin2 sin1?Csin1(2cos1 1)?D2cos 2 cos 1?【答案】 D 4设函数() xf x xe?，则 ( ) A1x?为fx的极大值点 B1x?为fx的极小值点 C?为 的极大值点 D1?为 的极小值点 学 【答案】 D 5下列求导运算正确的是 ( ) A 12)2( ? xx xB 11)( ? ? xx eeC 22 12) xxxx ?D 2)(cos sincos)cos( x xxxxx ?【答案】 B 6已知一组曲线1
3、31 3 ? bxaxy，其中a为 2， 4， 6， 8中的任意一个，b为 1， 3， 5， 7中的任意一个。现从这些曲线中任取两条，它们在1?x处的切线相互平行的组数为 ( ) A 9 B 10 C 12 D 14 【答案】 D - 2 - 7曲线2 11yx?在点 P（ 1， 12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( ) A -9 B -3 C 9 D 15 【答案】 C 8设函数 f（ x） ax2 b（ a 0），若30?f（ x） dx 3f（ x0），则 x0 ( ) A 1 B 2 C 3 D 2 【答案】 C 9已知( ) lnf x x?，则?)2(/ ?f( ) Aln(
4、)?B2?C2D -1 【答案】 B 10曲线xye?在点2(2,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积 ( ) Ae4B22aC2D2e2【答案】 D 11若曲线3xy?在点 P处的切线的斜率等于 3，则点 P的坐标为 ( ) A)1,1(或)1,1?B)1,( ?或)1(?C)1,( ?或,D(或,【答案】 C 12由曲线xy?，直线,3y x y?所围成的平面图形的面积为 ( ) A329B2 ln3?C4 ln3?D4 ln3?【答案】 C 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 13已知函数() xf
5、 x xe?，则fx=_;函数 图象在点(0, (0)f处的切线方程为_ 【答案】1 ) xxe?,yx?14已知函数()的图像在点(1, (1)Mf处的切 线方程是2 3 1 0xy? ? ?,则 (1) (1)ff?. 【答案】5315函数 f(x)=(ln2)log2x 5xlog5e(其中 e为自然对数的底数 )的导函数为 _ 【答案】1 5x 16若函数axxxf ? 3)( 3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 . - 3 - 【答案】( 2,2)?三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17水库的蓄水量随时间而变化，现用 t表
6、示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为 V（ t） = (）该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期 .以 i-1 t t表示第 1月份（ i=1,2,? ,12） ,同一年内哪几个月份是枯水期？ (）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7计算） 【答案】（ 1）当时 ， 化简得 ， 解得 . 当 时， , 化简得， 解得 . 综上得， ,或 . 故知枯水期为 1月， 2月， 3月， 4月， 11 月， 12月共 6个月。 (2）由（ 1）知， 的最大值只能在 (4,10)内内达到。 由 , 令 ，解得 （ 舍去）。 当
7、 变化时， 与 的变化情况如下表： 由上表， 在 时取得最大值 （亿立方米）。 - 4 - 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32亿立方米。 18已知函数2( ) ( 0)22mx mf x mx? ? ? (1）若( ) ln 1f x x m? ? ?在 )?，上恒成立，求 m取值范围； (2）证明： 2 ln2 + 3 ln3+? + n lnn322 3 512n n n?（*n?N） 【答案】令2( ) ln 1 022m x mg x x mx? ? ? ? ? ?在1, )x ?上恒成立 221 2 ( 1 ) ( 2)() 2 2 2m m x m x mgx x x x
8、? ? ? ? ? ? ? ?(1) 当21 1 1m? ? ? ?时，即1m?时 ( ) 0gx?在1,?恒成立()gx?在其上递减 max (1) 0gg?原式成立 当2 11m?即 0m1时 m a x 2(1 ) 0 , ( 1 ) (1 ) 0g g g gm? ? ? ? ?不能恒成立 综上：1?(2) 由 (1) 取 m=1有 lnx2 x x?2 1ln 2xxx ?令 x=n nnn2 2 212 l n 2 3 l n 3 . l n 2 3 . 1 2n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 ( 1 )( 2 1 )1 2 . 6n n nn ? ? ?
9、 ?化简证得原不等式成立 19已知函数3211( ) ( , )32af x x x bx a a b? ? ? ? ? R，且其导函数()fx?的 图像过原点 . (1）当1a?时，求函数()fx的图像在3x?处的切线方程 ; (2）若存在0x?，使得( ) 9? ?，求a的最大值； (3）当?时，求函数 的零点个数 【答案】11() 32af x x x bx a? ? ? ?,2( ) ( 1)f x x a x b? ? ? ? ?- 5 - 由(0) 0f? ?得 0b?,( ) ( 1)f x x x a? ? ? ?. (1) 当1a时 , 321( ) 13f x x x? ?
10、 ?,) ( 2)f x x?，(3) 1?,(3) 3f ?所以函数()fx的图像在3x处的切线方程为1 3( 3)yx? ? ?,即8 0xy? ? ?(2) 存在0x?,使得( ) ( 1) 9f x x x a? ? ? ? ? ?, 9 9 91 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 6a x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，7a?， 当且仅当3x?时，7.a所以 的最大值为7?. (3) 当0a?时，, ( ), ( )x f x f x?的变化情况如下表： ()fx的极大值(0) 0fa?， 的极小值3 3 21 1 1 1( 1 ) ( 1
11、 ) 3 ( ) 06 6 2 4a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又14( 2) 0,3? ? ? ? ?213( ) ( 1 )32f x x x a a? ? ? ?，3( ( 1) 02f a a? ? ?. 所以函数()在区间? ? 32 , 0 , ( 0 , 1 ) , ( 1 , ( 1 ) )2a a a? ? ? ?内各有一个零点， 故函数fx共有三个零点 20甲、乙两个工厂，甲厂位于一 直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km的 B处，乙厂到河岸的垂足 D与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水
12、站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5 元，问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 【答案】 解法一：根据题意知，只有点 C在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距 D点 x km, 则 BD=40,AC=50x, BC=2222 40? xCDBD- 6 - 又设总的水管费用为 y 元，依题意有：y=3a(50 x)+5a 22 40?x(0 50)x?y = 3a+22 405?ax,令 y =0,解得x=30 在 (0,50)上， y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x=30(km)处取得最小值，此时 AC=50 =20(km) 供水站建在
13、A、 D之间距甲厂 20 km处，可使水管费用最省 . 解法二：设 BCD=?,则 BC=?sin40,CD=)20(,cot40 ? ?, ?cot4050 ?AC设总的水管费用为 f( ),依题意，有 f( )=3a(50 40 cot )+540sin?=150a+40 ?sincos35?f?( )=4022( 5 3 c os ) si n ( 5 3 c os ) ( si n ) 3 5 c os40si n si na? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令f?( )=0,得 cos =3根据问题的实际意义，当 cos =5时，函数取得最小值，此时 sin =54, c
14、ot =43, AC=50 40cot =20(km),即供水站建在 A、 D之间距甲厂 20 km处，可使水管费用最省 . 21 如图所示，将边长为 2的正三角形铁皮的三个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱容器，要求正三棱柱容器的高 x与底面边长之比不超过正常数 t 把正三棱柱容器的容积 V表示为 x的函数，并写出函数的定义域； x为何值时，容积 V最大？并求最大值 【答案】 设平均数为m，7050 672157110701569568 ?m即测量 50次的平均值为 70米 515010?P 每一次测得数据为 71米的概率为10350151 ?P故所求概率5002
15、71031035132 ?22请你设计一个包装盒 如图所示， ABCD是边长为 60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A,B,C,D四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E、 F在 AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设()AE FB x cm? - 7 - (1)某广告商要求包装盒侧面积 S（ cm2）最大，试问 x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒容积 V（ cm3）最大，试问 x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 【答案】 (1)根据题意有 2 2 2 260 4 ( 60 2 ) 240 8
16、x x x x? ? ? ? ? ?28 ( 15 ) 1800 ( 0 30)xx? ? ? ? ? ?所以 x=15cm时包装盒侧面积 S最大 . (2)根据题意有222( 2 ) ( 60 2 ) 2 2 ( 30 ) ( 0 30)2x x x x x? ? ? ? ? ?， 所 以，6 2 (20 )V x x?；当0 20x?时，0V?，当20 30x?时，0V?所以， 当 x=20时， V取极大值也是最大值 . 此时，包装盒的高与底面边长的比值为2 (60 2 ) 12 22 x? ?答 :当 x=20(cm)时包装盒容积 V（ cm3）最大 ,此时包装盒的高与底面边长的比值为12. -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： - 8 - 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
