1、 - 1 - “皖南八校皖南八校“2020 届高三第二次联考数学（理科）届高三第二次联考数学（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的）中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 2Ax x，03Bxx，则() R AC B （ ） A. 2,) B. (3,) C. 0,3 D. (,2)2,) 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出B的补集，再求交集。 【详解】由题意 |03 R C Bx xx或，() |3 R AC Bx x。 故选：B。
2、【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。 2.已知 1 2 i z i ，则z （ ） A. 13 55 i B. 13 55 i C. 13 55 i D. 13 55 i 【答案】B 【解析】 分析】 由复数除法计算出z，再由共轭复数定义求出z。 【详解】 1(1)(2)22113 2(2)(2)555 iiiii zi iii ， 13 55 zi。 故选：B。 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。属于基础题。 3.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016年高考考生人数的 1.2倍，为了更好地对比该 校考生的升学情况，统计了该校 2016年和 2019 年的高
3、考升学情况，得到如图所示：则下列结 论正确的（ ） - 2 - A. 与 2016 年相比，2019年一本达线人数有所减少 B. 与 2016 年相比，2019年二本达线人数增加了 1倍 C. 与 2016 年相比，2019年艺体达线人数相同 D. 与 2016 年相比，2019年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2016年参考人数为a，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、 不上线的人数，然后比较得出结论。 【详解】设 2016年参考人数为a，则 2016年一本达线人数0.28a，2019 年一本达线人数0.24 1.20.288aa0.28a，
4、A 错； 2016年二本达线人数0.32a，2019 年二本达线人数0.4 1.20.48aa，增加了0.16a，不是 一倍，B 错； - 3 - 2016 年艺体达线人数0.08a，2019 年艺体达线人数0.08 1.20.096aa，C 错； 2016 年不上线的人数0.32a，20196 年不上线的人数0.28 1.20.3360.32aaa，D 正确。 故选：D。 【点睛】本题考查统计表格的应用，解题关键是读懂表格给出的数据，并能加以应用。 4.已知两个单位向量 12 ,e e满足 12 |2|7ee，则 12 ,e e的夹角为（ ） A. 2 3 B. 3 4 C. 3 D. 4
5、【答案】A 【解析】 【分析】 由已知模求出 12 e e ，再利用向量夹角公式计算。 【详解】 12 ,e e是单位向量， 2 22 12112212 2441 447eeee eee e ， 12 1 2 u r ur e e， 12 12 12 1 , 2 cos e e e e e e ， 12 2 , 3 e e 。 故选：A。 【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦， 而求向量的数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即 2 2 aa。 5.函数 2 2 sin ( ) cos xx f x xx 在 2 ,2 上的图象大致为（ ）
6、 A. B. - 4 - C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先分析奇偶性，可排除两个选项 A、C，然后从特殊值角度研究，计算() 2 f 和 3 () 2 f ，比较 它们绝对值的大小，可得正确选项。 【详解】 22 sin()sin ()( ) ()cos()cos xxxx fxf x xxxx ， ( )f x是偶函数，排除 A、C， 4 () 2 f ， 34 () 23 f ，易知 3 ()() 22 ff ，B 不符，只有 D满足。 故选：D。 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可先研究函数的性质，如奇偶性、单 调性、对称性、周期性等，排除一些选项，然后研究
7、函数特殊值、特殊点再排除一些选项， 最后只剩一个正确选项为止。 6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从 内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花 3朵，花瓣总数为 99，假设这种“ 雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ） 层. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 - 5 - 每朵玫瑰花的花瓣总数为 33，计算斐波那契数列的前n项和，比较即得。 【详解】由题意每朵玫瑰花的花瓣总数为 33，而斐波那契数列的前n项和依次为 1,2,4,7,12,20,33
8、,，因此一朵该种玫瑰花最可能有 7 层。 故选：C。 【点睛】本题考查数列的前n项和的概念。属于数列应用的基础题。 7.如图， 正方体 1111 ABCDABC D中， 点 E， F 分别是,AB AD的中点，O为正方形ABCD的 中心，则（ ） A. 直线 EF，AO是异面直线 B. 直线 EF， 1 BB是相交直线 C. 直线 EF与 1 BC所成的角为30 D. 直线EF， 1 BB所成角的余弦值为 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】 按共面不共面判断A、B，由异面直线所成角定义计算角判断C、D。 【详解】O为正方形ABCD的中心，F是 11 AD中点， 11 /OFABAB，即OF
9、，AE 共线，从而,EF AO共线，A 错； F平面 1 BEB， 1 BB 平面 1 BEB， 1 EBB，E平面 1 BEB， 1 ,EF BB是异面直线，B 错； 又E是AB中点， 可得/FOEB且FOEB，EFBO是平行四边形， 则/EFBO， 1 OBC 是异面直线EF与 1 BC所成的角，设正方体棱长为 1， 1 BC O中， 1 2BC ， 1 2 2 OC ， - 6 - 222 116 ( )1( ) 222 BOEF， 222 11 1 1 3 cos 22 OBBCOC OBC OB BC ， 1 30OBC。C正确， 同理得 1 OBB是EF， 1 BB所成的角，在 1
10、 OBB中求得 1 6 cos 3 OBB。D 错。 故选：C。 【点睛】本题考查异面直线的判断，考查求异面直线所成的角，解题方法可根据异面直线的 判断定理证明，求异面直线所成的角可根据定义作出这个角，然后解三角形得结论。 8.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 模拟程序运行，寻找规律，得出结论 【详解】程序运行时，变量,S i的值依次为：4,1Si；2,2Si；4,3Si； 2,4Si；，i是奇数时，4S ，i是偶数时 2S ，输出时2020i ，2S 故选：B - 7 - 【点睛】本题考查程序框图，解题时模拟
11、程序运行，观察变量的变化规律，就可得出结论 9.已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x满足(2)( )f xf x ，且在区间1，2上是减函数，令 ln2a ， 1 2 1 ( ) 4 b ， 1 2 log 2c ，则 ( ), ( ), ( )f af bf c的大小关系为（ ） A. ( )( )( )f bf cf a B. ( )( )( )f af cf b C. ( )( )( )f cf bf a D. ( )( )( )f cf af b 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ( )f x满足(2)( )f xf x ，且在区间1，2上是减函数，确定 ( )f x在 1,0
12、上是增函数， 再由奇函数性质得 ( )f x在0,1上递增，在 1,1 上单调递增然后把自变量的值都转化到 1,1上，比较大小 【 详 解 】 设 12 10xx ， 则 12 1222xx， 又( )f x在1,2上 递 减 ， 12 (2)(2)f xf x， 而 11 (2)()f xf x ， 22 (2)()f xf x ， 12 ()()f xf x ， 即 12 ()()f xf x，( )f x在 1,0是递增， ( )f x是奇函数，( )f x在0,1上递增，从而在 1,1 上单调递增，(0)0f， ln2(0,1)a ， 1 2 1 ( )2 4 b ， 1 2 log
13、21c ，( )(2)(0)0(0)f bfff ， 由10ln2 得( 1)(0)(ln2)fff，即( )( )( )f cf bf a 故选：C 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性 解题关键是确定函数的单调性， 难点在于由 ( )f x满 足(2)( )f xf x ，且在区间1，2上是减函数，确定 ( )f x在 1,0 上是增函数，然后就 是这类问题的常规解法，确定出 1,1上单调性，转化比较大小 10.已知 2 F是双曲线 22 :1 93 xy C的右焦点，动点A在双曲线左支上，点B为圆 - 8 - 22 :(2)1E xy上一点，则 2 ABAF的最小值为（ ） A. 9
14、B. 8 C. 5 3 D. 6 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由 21 2AFAFa，AB的最小值是AEr，转化为求 1 AFAE的最小值即为 1 EF 【详解】 双曲线 22 1 93 xy 中3a ，3b ，932 3c ， 1( 2 3,0) F ，圆E半径为1r ， (0, 2)E， 211 26AFAFaAF，1ABAEBEAE（当且仅当,A E B共线且B在 ,A E间时取等号 2 ABAF 11 615AFAEAFAE 22 1 5(2 3)259EF ， 当 且仅当A是线段 1 EF与双曲线的交点时取等号 2 ABAF的最小值是 9 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的标
15、准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义 联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的 距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径 11.关于函数( )cos sinf xxx有下述四个结论：( )f x的最小值为 2 ； ( )f x在 ,2 上单调递增； 函数( ) 1yf x在, 上有 3个零点； 曲线( )yf x关于直线 x 对称.其中所有正确结论的编号为（ ） - 9 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等 【详解】( )c
16、ossin1f xxx ，错；当 ,2 x时， ()cossin2cos() 4 fxxxx ，在 ,2 上不是单调函数，实际上它在 7 , 4 上递 减，在 7 ,2 4 递增，错；当cos0x 时，( )cossin1f xxx，函数( ) 1yf x无 零点，当cos0x ，即, 2 2 x 时，注意到( )f x是偶函数，研究0, 2 x 时， ( )cossin2 sin() 4 f xxxx ， 只 有( 0 )()1 2 ff ， 因 此 在, 2 2 x 时 (0)( )()1 22 fff ， 函 数()1yfx有 三 个 零 点 ， 正 确 ； (2)cos(2)sin(2
17、)cossincossin( )fxxxxxxxf x ， 曲 线 ( )yf x关于直线x对称，正确 正确结论有， 故选：D 【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因 此我们可以通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如 cossin ,2,2) ( ), cossin ,2,2) xx xkk f xkZ xx xkk ，然后分段研究 12.已知三棱锥PABC满足PA 底面ABC， 在ABC 中，6AB ，8AC ，ABAC， D是线段AC上一点，且3ADDC，球O为三棱锥PABC的外接球，过点D作球O的 截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大
18、值之和为40，则球O的表面积为（ ） A. 72 B. 86 C. 112 D. 128 【答案】C 【解析】 - 10 - 【分析】 先找到外接球球心，过BC的中点M作/ /OMPA，则OM 平面ABC，取 1 2 OMPA， 则O为PABC外接球球心， 过点D作球O的截面， 最大的截面过球心， 最小的截面是过D 且与OD垂直的截面，由此可用PA表示出两截面圆半径 【详解】 如图M是BC边中点，E是AC边中点，ABAC，M是ABC外心，作 / /OMPA，PA 平面ABC，OM 平面ABC， ,OMAM OMMD， 取 1 2 OMPA，易得OAOP，O是三棱锥PABC的外接球的球心。E是A
19、C中点， 则/MEAB， 1 3 2 MEAB，MEAC，3ADDC， 1 2 4 EDAC， 2222 3213MDMEED ，设2PAa，则OMa， 2222 13ODOMMDa，又 22 11 685 22 AMBC， 2222 25OAOMAMa， 过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则 22 2 3rOAOD ，这是最小的截面圆半径， 最大的截面圆半径等于球半径OA， 222 (25)1240OAra， 2 3a ， 22 2528OAa， 2 4428112SOA 球 。 故选：C。 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心。结论：多面体外接球球 心一定在过各面外心
20、与此面垂直的直线上。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知曲线( ) (1)lnf xaxx在点(1,0)处的切线方程为1yx， 则实数a的值为_. - 11 - 【答案】2 【解析】 【分析】 求导函数。由(1)1 f 可求得a。 【详解】由题意 1 ( )ln ax fxax x ，(1)1fa，由 1 1a 得2a 。 故答案为：2。 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。 14.已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S，若 2 2S ， 4 10S ，则 5 a
21、_. 【答案】 32 3 【解析】 【分析】 用基本量法，求出首项 1 a和公比q，再求 5 a。 【详解】设首项 1 a，公比q，易知1q ， 21 4 1 4 4 (1)2 (1) 10 1 Saq aq S q ，由于 n a均为正， 1 2 3 2 a q ， 44 51 232 2 33 aa q。 故答案： 32 3 。 【点睛】本题考查等比数列的前n项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求 出首项 1 a和公比q，然后再求通项公式和前n项和公式。 15.易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、 兑八卦） ，每一卦由三根线组成（“表示一
22、根阳线，“表示一根阴线） ，从八卦中任 取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_. - 12 - 【答案】 3 14 【解析】 【分析】 观察八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线或全为阴线各一个，还有 6 个是 1 阴 2 阳和 1 阳 2 阴各 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，或 两卦全是 1 阳 2 阴。 【详解】 八卦中阴线和阳线的情况为 3 线全为阳线的一个， 全为阴线的一个， 1 阴 2 阳的 3 个， 1 阳 2 阴的 3 个。抽取的两卦中共 2 阳 4 阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦 2 阳 1 阴，
23、或 两卦全是 1 阳 2 阴。 从 8 个卦中任取 2卦，共有 2 8 28C 种可能，两卦中共 2 阳 4 阴的情况有 12 33 6CC，所 求概率为 63 2814 P 。 故答案为： 3 14 。 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们 关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。 16.点,A B是抛物线 2 :2(0)C ypx p上的两点，F是抛物线C的焦点， 若120AFB ， AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则 | d AB 的最大值为_. 【答案】 3 3 【解析】 分析】 过, ,A B D作准线的垂线
24、，垂足分别为, ,N P M，则 - 13 - 11 ()() 22 dMDANBPAFBF，在ABF中寻找它们的关系，求出比值的最 大值。 【详解】 如图，过, ,A B D作准线的垂线，垂足分别为, ,N P M，则 11 ()() 22 dMDANBPAFBF， ABF中， 222 2cos120ABAFBFAF BF 22 AFBFAF BF 2222 3 ()()()() 24 AFBF AFBFAF BFAFBFAFBF ，当且仅当 AFBF时取等号。 42 3 33 AFBF AB ， | d AB 13 23 AFBF AB ，即 d AB 的最大值为 3 3 。 故答案为：
25、3 3 。 【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到 准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距 离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。 三、解答题（共解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC中， , ,a b c分别为角, ,A B C所对的边， - 14 - cos2cos22sin(CBA sin Asin )C. （1）求角B的大小； （2）若1c ，ABC的面积为 3 3 2 ，求b. 【答案
26、】 （1） 3 ； （2）31. 【解析】 【分析】 （1） 应用二倍角公式化cos2 ,cos2CB为sin,sinCB的形式， 然后正弦定理转化为边的关系， 最后由余弦定理求得B； （2）由面积公式求得a，再由余弦定理求得b。 【详解】 （1） 22 cos2cos21 2sin(1 2sin)2sin(CBCBA sin Asin)C. 222 sinsinsinsinsinBCAAC， 由正弦定理得 222 bcabc ， 222 acbbc ， 222 1 cos 22 acb B ac ， 3 B 。 （2） 113 3 sin1 sin 2232 ABC SacBa ，6a ，
27、22222 2cos612 6 1 cos31 3 bacacB ， 31b 。 【点睛】本题考查二倍角公式，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式。在解三角 形问题中应用正弦定理、余弦定理时行边角转换，是常用方法。 18.如图 （1） ， 在平面四边形ABCD中， AC是BD的垂直平分线， 垂足为E， AB中点为F，3AC ， 2BD ，90BCD ，沿 BD将BCD折起，使 C至 C 位置，如图（2）. - 15 - （1）求证：ACBD ； （2）当平面BCD平面 ABD时，求直线 AC 与平面CDF所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 4 85 85 . 【解析】
28、 【分析】 （1）折叠过程中，,BDCE BDAE保持不变，又由线面垂直，从而得证线线垂直。 （2）由两平面垂直可得,EA EB EC两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出 各点坐标，求出平面CDF的法向量，由线面角的向量法求解。 【详解】 （1）,BDC E BDAE ， BD 平面 ACE ，而AC平面 ACE ， BD AC 。 （2）由（1）知CEA是二面角CBDA 平面角， 又平面BCD平面 ABD，90CEA，即ECEA ， 分别以,EA ED EC为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图， 在四边形ABCD中，,CEBD BEDE，CBCD， 1 1 2 CEBD
29、，2AE ， (0,0,0), (2,0,0), (0,1,0),(0, 1,0),(0,0,1)EABD C ，F是AB中点， 1 (1,0) 2 F ( 2,0,1)AC ， 3 (1,0) 2 DF ，(0,1,1)DC， 设平面 DCF 的法向量为( , , )nx y z，则 - 16 - 3 0 2 0 n DFxy n DCyz ，即2y ，则3,2xz ，( 3,2, 2)n ， 22222 3 ( 2)2 0( 2) 1 cos, ( 3)2( 2)( 2)0 1 n AC n AC n AC 4 85 85 ， 直线 AC 与平面CDF所成角的正弦值为 4 85 85 。
30、【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求直线与平面所成的角，证明线线垂直，要先证线 面垂直；而求直线与平面所成角可建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，这样可以只要 计算，不需要作图与证明。 19.设椭图 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 1 F， 右焦点为 2 F， 上顶点为 B， 离心率为 3 3 ， O是坐标原点，且 1 6.OBFB （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知过点 1 F的直线l与椭圆 C 的两交点为 M，N，若 22 MFNF，求直线l的方程. 【答案】 （1） 22 1 32 xy ； （2）210xy 或210xy . 【解析】 【分析】 （1）椭
31、圆中 1 FBa，由已知就有 3 3 6 c a ba ，解得, a b，得椭圆方程； （2）设出M坐标，由 21 MFNF，得OMc，再由M在椭圆上，联立后可解得M点坐 标，从而求得直线方程。 【详解】 （1）由题意 1 3 3 6 c e a OB FBba ，又 222 abc， 3 2 1 a b c ， 椭圆方程为 22 1 32 xy ； - 17 - （2）由（1） 12 ( 1,0),(1,0)FF， 直线l斜率不存在时不合题意，设l方程为(1)yk x， 1122 (,),(,)M x yN xy， 由 22 (1) 1 32 yk x xy 得 2222 (32)6360k
32、xk xk， 22 1212 22 636 , 3232 kk xxx x kk ， 22 MFNF， 22 0F M F N，即 1212 (1)(1)0xxy y， 2 1212 (1)(1)(1)(1)0xxkxx， 222 1212 (1)(1)()10kx xkxxk ， 22 222 22 366 (1)(1) ()10 3232 kk kkk kk ，整理得 2 84k ， 2 2 k ， 直线l的方程为 2 (1) 2 yx ，即210xy 或210xy 。 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题。考查运算求解能力。在直线与椭 圆相交问题中常常采用“设而不求”思想方
33、法，即设直线方程，设交点坐标为 1122 ( ,),(,)x yxy，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后可得 121 2 ,xx x x，然后把 121 2 ,xx x x代入题中的条件（如本题中 22 MFNF） ，求得参数值或证明出相应的结论。 20.已知函数 1 ( )4cos() 23 x f xxe ，( )fx 为 ( )f x的导函数，证明： （1）( )fx 在区间,0上存在唯一极大值点； （2） ( )f x在区间,0 上有且仅有一个零点. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出导函数( )fx，设( )( )g xfx，再求(
34、)g x，由( )g x的单调性及零点存在定理 说明( )g x在,0上有唯一零点，这就是( )g x的唯一极大值点 （2）由（1）( )fx在,0上有唯一极大值点，又计算()f和(0)f，说明( )0fx 在 - 18 - ,0上恒成立，即( )f x是,0上的增函数，结合零点存在定理可得结论 【详解】 （1） 1 ( )2sin() 23 x fxxe ，设 1 ( )2sin() 23 x g xxe ， 则 1 ( )cos() 23 x g xxe ， 当,0x 时， 51 6233 x ， 1 cos() 23 yx 递增，又 x ye是增函数， 1 ( )cos() 23 x g
35、 xxe 在,0是单调递减 31 ()0 2 g e ， 3 (0)0 2 g ， 存在唯一的 0 (,0)x ，使得 0 ()0g x，且当 0 ,)xx 时，( )0g x ，( )g x递增， 0 (,0xx时，)(0g x ，( )g x递减， 0 x是( )g x的极大值点，也是唯一极大值点 即 0 x是,0上的( )fx的唯一极大值点 （2）由（1） 1 ()10f e ，(0)3 10f ，,0x 时，( )0fx ， ( )f x在,0 上单调递增 1 ()2 30f e ，(0)10 f， ( )f x在,0 上存在零点也是唯一零点 【点睛】本题考查导数与极值，考查零点存在定
36、理解题时导数说明函数的单调性，由零点 存在定理说明零点存在，这样就是唯一的零点 21.11 月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两 人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮） ，在相同的条件下，每轮甲乙两人在同 一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得-1 分；两人都 命中或都未命中， 两人均得 0分， 设甲每次投球命中的概率为 1 2 ， 乙每次投球命中的概率为 2 3 ， 且各次投球互不影响. - 19 - （1）经过 1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列； （2）若经过n轮投球，用 i p表示经过第
37、i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. 求,p pp ； 规定 0 0p ，经过计算机计算可估计得 11( 1) iiii papbpcpb ，请根据中 ,p pp 的值分别写出 a，c关于 b的表达式，并由此求出数列 n p的通项公式. 【答案】 （1）分布列见解析； （2） 123 1743 , 636216 ppp； 11 61 77 iii ppp ， 11 1 56 n n p . 【解析】 【分析】 （1）经过 1 轮投球，甲的得分X的取值为1,0,1，记一轮投球，甲投中为事件A，乙投中 为事件B，,A B相互独立，计算概率后可得分布列； （2）由（1）得 1 p，由两轮
38、的得分可计算出 2 p，计算 3 p时可先计算出经过 2 轮后甲的得分Y 的分布列（Y的取值为2, 1,0,1,2） ，然后结合X的分布列和Y的分布可计算 3 p， 由 0 0p ， 代入 11( 1) iiii papbpcpb ， 得两个方程， 解得 , a c， 从而得到数列 n p的 递推式，变形后得 1 nn pp 是等比数列，由等比数列通项公式得 1nn pp ，然后用累加法 可求得 n p 【详解】 （1）记一轮投球，甲命中为事件A，乙命中为事件B，,A B相互独立，由题意 1 ( ) 2 P A ， 2 ( ) 3 P B ，甲的得分X的取值为1,0,1， (1)()P XP
39、AB 121 ( ) ( )(1) 233 P A P B， (0)()()( ) ( )( ) ( )P XP ABP ABP A P BP A P B 12121 (1) (1) 23232 ， 121 (1)()( ) ( )(1) 236 P XP ABP A P B， - 20 - X的分布列为： X 1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 （2）由（1） 1 1 6 p ， 2 (0)(1)(1)( (0)(1)pP XP XP XP XP X 111117 () 2662636 ， 同理，经过 2轮投球，甲的得分Y取值2, 1,0,1,2： 记(1)P Xx ，(0)P Xy，(
40、1)P Xz，则 2 (2)P Yx ，(1)P Yxyyx ， 2 (0)P Yxzzxy，(1)P Yyzzy， 2 (2)P Yz 由此得甲的得分Y的分布列为： Y 2 1 0 1 2 P 1 9 1 3 13 36 1 6 1 36 3 111111131143 ()() 3362636636636216 p ， 11( 1) iiii papbpcpb ， 0 0p ， 121 2321 papbp papbpcp ， 711 3666 43717 21636636 ab abc ， 6(1) 7 1 7 b a b c ， 代入 11( 1) iiii papbpcpb 得： 11
41、 61 77 iii ppp ， 11 1 () 6 iiii pppp ， - 21 - 数列 1 nn pp 是等比数列，公比为 1 6 q ，首项为 10 1 6 pp， 1 1 ( ) 6 n nn pp 11210 ()()() nnnnn ppppppp 1 11111 ( )( )(1) 66656 nn n 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列 的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经 过 2轮投球后甲的得分的概率分布列， 这里可用列举法写出各种可能， 然后由独立事件的概率 公式计算出概率 请考
42、生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，两题中任选一题作答，并用并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的铅笔在答题卡上把所选题目的 题号涂黑题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指 定位置答题定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos sin x y （为参数） ，以O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()1 4 . （1）
43、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）设直线l与x轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，P是曲线 C 上一点，求PAB面积的最 大值. 【答案】 （1） 2 2 21xy，2xy； （2） 2. 【解析】 【分析】 （1）用消参数法可得曲线C的普通方程，由公式 cos sin x y 可化极坐标方程为直角坐标方 程； （2）求出,A B两点坐标，得AB，P到直线l的距离的最大值等于圆心到直线l的距离加上 圆的半径，由此可得ABP面积最大值 - 22 - 【详解】 （1）由 2cos sin x y 得 22 (2)1xy，这是曲线C的普通方程， 由cos()1 4 得 22 cossin1 22 ， 22 1 22 xy，即2xy （2）由（1）知直线l与坐标轴的交点为( 2,0)A，(0, 2)B， 圆C方程为 22 (2)1xy，圆心为(2,0)C，半径为1r ，点P在圆C上， 圆心C到直线l的距离为 202 21 2 d ， P到直线AB的距离的最大值为 2hdr ，又2AB ， max 1 ()222 2 ABP S 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参 数方程用消参数法可化为普通方程， 利用公式 cos sin x y 可进行极坐标方程与直角坐标方程 的互化 选修选修 4-
