1、 - 1 - 广东省江门市普通高中 2017-2018学年高二数学下学期 4 月月考试题 总分 ： 150分 考试时间： 120分钟 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 5分，共 50 分 .每小题只有一项是符合题目要求的 ). 1若 0ab? ，则下列不等式中一定成立的是 ( ) A 11abba? ? ? B 11bbaa? ? C 11abba? ? ? D 2 2a b aa b b? ? 2.已知直线 1l 的一个方向向量为 (1, 2)? ,直线 2l 的方程为 20ax y?,若 12ll? ,则 a? ( ) A. 1 B. 1? C. 4? D. 4 3.用反证法证明命
2、题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步 骤： 0 0 09 0 9 0 1 8 0A B C C? ? ? ? ? ?， 这与三角形内角和为 0180 相矛盾， 090AB? 不成立 ；所以一个三角形中不能有两个直角； 假设三角形的三个内角 A ， B ， C 中有两个直角，不妨设 090AB? . 正确的顺序的序号为（ ） A B. C. D. 4.从集合 ? ?1 2 ,1 2 , 1 , 1 , 1i i i? ? ? ? ? ?中取出两个元素，它们是共轭复数的概率是（ ） A 120 B. 110 C. 310 D. 35 5. 已知数列 naaaa nnn ? ?1
3、1 ,1, 中 ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10项，则判断框内的条件是（ ） 7. 对具有线性相关关系的变量 x与 y， 测得一组数据如表 1， x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它们的回归直线方程的斜率为 6.5，则这条回归直线方程为 （ ） A 6.5 17.5yx? B. 17.5 6.5yx? C. 6.5 17.5yx? D. 6.5 17.5yx? ? 8. 从抛物线 2 4yx? 上一点 P 引其准线的垂线 ,垂足为 M,设抛物线的焦点为 F,且 5PF? ,则 MPF? 的面积为（ ） A ?8?n B. ?9?n C. ?10?n
4、 D. ?11?n 6.已知实数 m ,n 满足 11m nii ? (i 是虚数单位 ), 则双曲线 221mx ny?的离心率为 ( ) A. 12 B. 22 C. 3 D. 2 - 2 - A 56 B. 2534 C.20 D.10 9. 从 1， 2， 3， 4， 5中任取 2个不同的数，事件 A=“取到的 2个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2个数均为偶数”，则 P（ B A） =( ) A.18 B.14 C.25 D.12 10.直线 3yx? 与椭圆 22:1xyC ab?（ 0ab? ）交于 AB、 两点，以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离
5、心率为 ( ) A 32 B 312? C 31? D 4 2 3? 二、填空题 (本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 .) 11. 设 ,xy满足约束条件 0, , 2 3 0,yyxxy? ? ?使 2z x y?取得最大值时的点 (, )xy 的坐标是 . 12已知 222233?， 333388?， 444415 15?， ，若 66aatt?( ,at均为正实数 )，则 观察 以上等式，可推测 ,at的值， at? _. 13.设直线 10x my? ? ? 与圆 22( 1) ( 2 ) 4xy? ? ? ?相交于 A ， B 两点，且弦 AB 的长为23，则实数 m 的值
6、是 . 14.若三角形内切圆的半径为 r ,三边长为 ,abc,则三角形的面积 1 ()2S r a b c? ? ?,根据类比思想 ,若四面体的内切球的半径为 R ,四个面的面积为 1 2 3 4, , ,S S S S ,则四面体的体积V? . 15下列四个命题中： 不等式 3 2 4x?的解集是 ? ?2, 2,3? ? ? ?； 224sin 4sinx x?； 设 ,xy都是正数，若 191xy?，则 xy? 的最小值是 12； 若 2 , 2 ,xy? ? ? ?，则 2xy? . 其中所有真 命题的序号是 _. 三、解答题（本大题共 6小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明
7、过程或演算步骤） 16. (本小题满分 12分 )已知复数 ,z a bi a b R? ? ? (1)若 2 4z bz? 是实数 ,且 0b? ,求 ab 的值 . - 3 - (2)若复数 z 满足条件 21z z i? ? ? ,则求复数 z 在复平面上对应点 ? ?,ab 的轨迹方程 , 并指出其轨迹是什么 ? 17. (12分 )对于任意的实数 a ，不等式 11a a M? ? ? ?恒成立，记实数 M 的最大值是 m . (1)求 m 的值； (2)解不等式 1 2 3x x m? ? ? ? 18.(12分 )某学生在上学的路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互
8、独立的，遇到红灯的概 率都是 13 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. （ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2 min的概率 . 19.(12 分 )设 ?na 是集合 ? ?2 2 0 , ,ts s t s t Z? ? ? ?且中所有的数依小到大的顺序排成的数列，即 1 2 33, 5, 6a a a? ? ?， 4 5 69 , 1 0 , 1 2 ,a a a? ? ?现将数列 ?na 中的各项排成如图所示的三角数表，观察排列规律，回答下列问题： （ 1）请写出第 4 行的所有数 . (2)求
9、此数表第 n 行的所有数字之和 . 20.(13分 )(1)已知 1 2 3,a a a R? ,求证 : 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3a a a a a a a a a? ? ? ? ?; (2)由 (1)知三个数的 平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和 .把上述结论类比推广为关于四个数的平方和的类似不等式 , 即若 1 2 3 4, , ,a a a a R? ,则 2 2 2 21 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4()a a a a k a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?, 试利用 (1)的证明方
10、法确定常数 k 的值 . (3)进一步推广关于 n 个数的平方和的类似不等式 (不须证明 ). 3 5 6 9 10 12 - 4 - 21 (14分 )已知椭圆 ,22)0(1:2222 ? ebabyaxC 的离心率左、右焦点分别为 F1、 F2，点 )3,2(P ，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）设直线 mkxyl ?: 与椭圆 C交于 M、 N两点，直线 F2M与 F2N的倾斜角分别为 ?, ，且 ? ? ，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标 答案 一、选择题 1 5A B D B B 6-10C A D B C 二、填空题 11 3,02?
11、12 41 13 33m? 141 2 3 41 ()3 R S S S S? ? ?15 三、解答题 16 (12分 )解 (1) 2 2 24 ( 4 ) 2 ( 2 )z b z a b a b b a b i? ? ? ? ? ?为实数 , ? 2 ( 2 )ba b? =0 又 0b? 则 20ab? 2ab? (2) 21z z i? ? ? ( 2 1 ) 2 ( 1 )a b i a b i? ? ? ? ? ? 2 2 2 2( 2 1 ) 4 ( 1 )a b a b? ? ? ? ? ? 223 4 3 2 0a a b b? ? ? ? ? 222 1 5( ) ( )
12、3 3 9ab? ? ? ? ? 即其轨迹是以 21,33?为圆心 , 53 为半径的圆 . 17 (12分 )解： (1)由绝对值不等式，有 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 2a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 那么对于 11a a M? ? ? ?，只需 m in11a a M? ? ? ? 即 2M? 则 2m? ? 4分 (2) 1 2 3 2xx? ? ? ? 当 1x? 时： 1 2 3 2xx? ? ? ?，即 23x? ，则 2 13 x? 当 31 2x? 时： 1 2 3 2xx? ? ? ?，即 0x? ，则 31 2x? 当32x?时： 1 2 3 2xx?
13、? ? ?，即 2x? ，则 3 22 x? 10分 - 5 - 那么不等式的解集为2,23? 12 分 18 (12分 )解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A.则 ? ? 1 1 1 4(1 ) (1 )3 3 3 2 7pA ? ? ? ? ? ? (2).设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 2 min 为事件 B, 这名学生在上学路上遇到 k 次红灯的事件 ( 0,1)kBk? . 则 401 2 1 2 2 2 1 6 3 2 1 6( ) ( ) ( ) ( ) 43 3 3 3 3 8 1 8 1 2 7p B p B P B? ? ?
14、? ? ? ? ? ? ? ?19(12分 )(1) 2 2 , 0 ,tsna s t? ? ? ?且 ,st Z? 所第 4行为 4 0 4 1 4 2 4 32 2 1 7 , 2 2 1 8 , 2 2 2 0 , 2 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? 即第 4行所有数为 17,18,20,24. (2)第 n 行的 n 个数依次为 : 0 1 2 3 12 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , , 2 2 .n n n n n n ? ? ? ? ? 212 (1 2 2 2 )nnnSn ? ? ? ? ? ? ? ?1 (1 2 )2 ( 1 ) 2 112 nnn
15、nn? ? ? ? ? ? 20 (13分 )证明 :( 1) 221 2 1 22a a a a? , 2223aa? ? 232aa , 21a? 23a ? 132aa ,将三式相加得 : 2 2 21 2 32( )a a a? 1 2 2 3 1 32( )a a a a a a?,? 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3a a a a a a a a a? ? ? ? ? (2) 221 2 1 22a a a a? , 21a? 23a ? 132aa , 21a? 24a ? 142aa , 2223aa? 232aa? , 22a? 24a 242aa? , 2234
16、aa? 342aa? , 将六式相加得 : 2 2 2 21 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 43 ( ) 2 ( )a a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 , 2 2 2 21 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 42 ()3a a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 , 23k? . (3) 12, na a a R?2 2 21 2 1 2 1 3 1 2 3 2 12 ()1n n n n na a a a a a a
17、a a a a a a a an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21(14分 )解 (1)由椭圆 C的离心率 22?e 得 22?ac ，其中 22 bac ? ， 椭圆 C的左、右焦点分别为 )0,(),0,( 21 cFcF ? 又点 F2在线段 PF1的中垂线上 222221 )2()3()2(|,| ccPFFF ? 解得 ,1,2,1 2 ? bac .12 22 ? yx椭圆的方程为 5分 （ 2）由题意，知直线 MN存在斜率，设其方程为 .mkxy ? 由?mkxyyx ,12 22 消去 .0224)12(, 222 ? mk m xxky 得 设 ),(),
18、( 2211 yxNyxM 则 ,12 22,12 42221221 ? kmxxk kmxx且1,1 2211 22 ? x mkxkx mkxk NFMF由已知 ? ? ， 得 .011,0 221122 ? x mkxx mkxkk NFMF 即- 6 - 化简，得 02)(2 2121 ? mxxkmxkx 0212 )(412 222222 ? mk kmkmkmk 整理得 .2km ? ? 直线 MN 的方程为 )2( ? xky ， 因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为（ 2， 0） -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
