1、 1 江苏省兴化市 2017-2018学年高二数学期初考试试题 （ 全卷满分 160分，考试时间 120分钟 ） 2017.9 卷面分值： 160分 考试时间： 120分钟 一 、 填空题（ 每小题 5 分，共计 70分 .请将答案写在答题纸指定区域 ） 1.已知全集 U=a， b， c， d，集合 A=a， b， B=b， c，则 CU（ A B） 等于 解： A=a， b， B=b， c， A B=a， b， c，则 ?U（ A B） =d， 2 不等式 x2 4x+3 0的解集为 解：（ 1）原不等式等价于（ x 1）（ x 3） 0， 所以不等式的解为 1 x 3， 即不等式 x2 4
2、x+3 0 的解集为 x|1 x 3 ? （ 5分） 3 已知角 A为三角形的一个内角，且 ，则 tanA= 【考点】 两角和与差的正切函数； GG：同角三角函数间的基本关系 解：已知角 A为三角形的一个内角，且 ，则 sinA= ， tanA= = 【点评】 本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题 4 在 ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=60 求 BC的长为 解：由余弦定理可得： BC2=AB2+AC2 2AB?ACcosA=4+9 2 2 3 =7， 所以 BC= 【点评】 本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围
3、的解题的关键 5 已知数列 an成等比数列 ， 若 a2=4， a5= ，则数列 an的通项公式为 解：（ 1）设等比数列 an的公比为 q， a2=4， a5= ， ，解得 a1=8， q= an= =2n+2 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6 直线 3x+4y=b与圆 x2+y2 2x 2y 2=0相切，则 b= 解：圆 x2+y2 2x 2y 2=0的圆心（ 1， 1），半径 r= =2， 2 直线 3x+4y=b与圆 x2+y2 2x 2y 2=0相切， 圆心（ 1， 1）到直线 3x+4y=b的距离 d= =2，解得 b= 3
4、或 b=17 7 若直线 =1（ a 0， b 0）过点（ 1， 1），则 a+b的最小值等于 解： 直线 =1（ a 0， b 0）过点（ 1， 1）， + =1（ a 0， b 0）， 所以 a+b=（ + ）（ a+b） =2+ + 2+2 =4， 当且仅当 = 即 a=b=2时取等号， a+b最小值是 4， 8 若直线 3x 4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（ r 0）相交于 A、 B 两点，且 AOB=120 （ O 为坐标原点），则圆的面积为 4 解：若直线 3x 4y+5=0与圆 x2+y2=r2（ r 0）交于 A、 B两点， O为坐标原点， 且 AOB=120 ，则圆心（
5、 0， 0）到直线 3x 4y+5=0的距离 d=rcos60= r， 即 = r，解得 r=2， 圆的面积为 4 9.如图，在长 方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=AD=3cm， AA1=2cm，则四棱 锥 A BB1D1D 的体积为 6 cm3 解：过 A作 AO BD于 O， AO是棱锥的高，所以 AO= = ， 所以四棱锥 A BB1D1D 的体积为 V= =6 10.若变量 x， y满足约束条件 ，则 z=2x+3y的最大值为 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由 z=2x+3y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B 时，直线 y= 的
6、截距最大，此时 z最大由 ，解得 ， 即 B（ 4， 1）此时 z的最 大值为 z=2 4+3 （ 1） =8 3=5， 3 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 11.数列 ， ， ， ? 的前 n项和为 解： 由 ， ， ， ? ，而 1， 4， 7， 10， ? ，是公差为 3 的等差数列 an，可得通项公式 an=1+3（ n 1） =3n 2 数列 ， ， ， ? 的第 n项为： ，可化为： ， 数列 ， ， ， ? 的前 n 项和= + +? + = = 12 在直角三角形 ABC 中， C=90 ， AB=2， AC=1，若 ，则 ? =
7、 解：如图所示， A（ 1， 0）， B（ 0， ）， C（ 0， 0）， ， D = ， =（ 0， ）， ? =0+ = 故答案为： 【点评】 本题考查了数量积的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4 13 已知函数 f（ x） = 是（ ， + ）上的减函数，那么 a的取值范围是 解：函数 f（ x） = 是（ ， + ）上的减函数， 则有 即有 ，解得 a 1 【点评】 本题考查函数的单调性的运用，注意分段函数的分界点，考查运算能力，属于中档题 14.在平面直角坐标系 xOy中，设 A是半圆 O： x2 y2 2(x0) 上一点，直线 OA 的倾斜角为45 ，过点 A作
8、 x轴的垂线，垂足为 H，过 H作 OA的平行线交半圆于点 B，则直线 AB的方程是 _ 解析 直线 OA的方程为 y x，代入半圆方程得 A(1,1)， H(1,0)，直线 HB的方程为 y x 1，代入半圆方程得 B? ?1 32 ， 1 32 . 所以直线 AB 的方程为 y 1 1 32 1 x 11 32 1，即 3x y 3 1 0. 兴化市第一中学 2017学期高 二期初考试 试卷 数 学 答 题 纸 命题人： 张宇辉 成绩 一、填空题：（本大题有 14 小题，每小题 5分，共 70 分。） 1、 _； 2、 _ ； 3、 _； 4、 _ ； 5、 _ ； 6、 _； 7、 _
9、； 8、 _ ； 9、 _； 10、 _； 11、 _ ； 12、 _； 5 13、 _ ； 14、 _ 二、解答题（本大题共 6小题，共 90分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 如图，在四面体 ABCD 中， CB=CD， AD BD，点 E， F 分别是 AB， BD 的中点求证：（ 1）直线 EF 面 ACD（ 2）平面 EFC 面 BCD 证明：（ 1） E， F分别是 AB， BD 的中点 EF 是 ABD的中位线， EF AD， EF?面 ACD， AD?面 ACD， 直线 EF 面 ACD； （ 2） AD BD， EF AD， EF BD， CB=CD， F是
10、 BD的中点， CF BD 又 EF CF=F， BD 面 EFC， BD?面 BCD， 面 EFC 面 BCD 【点评】 本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力 16 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2，四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位： cm），能使矩形广告面积最小？ 解：设矩形栏目的高为 acm，宽为 bcm，则 ab=9000 广告的高为 a+20，宽 为 2b+25，其中
11、a 0， b 0 广告的面积 S=（ a+20）（ 2b+25） =2ab+40b+25a+500 =18500+25a+40b 18500+2 =18500+2 当且仅当 25a=40b时等号成立，此时 b= ，代入 式得 a=120，从而 b=75 6 即当 a=120， b=75时， S取得最小值 24500 故广告的高为 140cm，宽为 175cm时，可使广告的面积最小 【点评】 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训 练 17在 ABC中，内角 A， B， C对边的边长分别是 a， b， c，已知
12、c=2， （ 1）若 ABC的面积等于 ，求 a， b（ 2）若 sinB=2sinA，求 ABC的面积 解：（ 1） c=2， cosC= ， 由余弦定理 c2=a2+b2 2abcosC得： a2+b2 ab=4， 又 ABC的面积等于 ， sinC= ， ， 整理得： ab=4，（ 4分）联立方程组 ，解得 a=2， b=2；（ 6分） （ 2）由正弦定理，把 sinB=2sinA化为 b=2a，（ 8分） 联立方程组 ，解得： ， ， 又 sinC= ，则 ABC的 面积 （ 10分） 【点评】 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函
13、数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18已知圆 C的一般方程为： x2+y2 2x+2y 2=0（ 1）过点 P（ 3， 4）作圆 C的切线，求切线方程（ 2）直线 l 在 x， y 轴上的截距相等，且 l 与圆 C 交于 A， B 两点，弦长 |AB|= ，求直线 l的方程 解：（ 1）圆 C的一般方程为： x2+y2 2x+2y 2=0化成标准方程为： （ x 1） 2+（ y+1） 2=4当斜率 k不存在时，圆的切线的方程为 x=3 当 斜率 k存在时，设切线的方程为： y 4=k（ x 3），化成一般式为 kx y+4 3k=0， 圆心（ 1， 1）到直线 kx y+4 3k=0的
14、距离为 d= =r=2，解得， 所以直线 l的方程为： 21x 20y+17=0 综上得：直线 l的方程为： x=3或 21x 20y+17=0 （ 2）当直线过原点时，设直线的方程为： y=kx，化成一般式为： kx y=0 7 弦长 |AB|= ，所以圆心（ 1， 1）到 kx y=0的距离 d=1，则 ， 解得 k=0，所以直线方程为： y=0（舍去） 当直线不过原点时，设直线的方程为： ，化成一般式为： x+y a=0， 所以， ，解得： ，所以直线 l 方程为： 综上得：直线 l的方程为： 19已知 an是递增的等差数列， a2， a4是方程 x2 5x 6 0的根 (1)求 an的
15、通项公式 (2)求数列 ? ?an2n 的前 n项和 解 (1)方程 x2 5x 6 0的两根为 2,3，由题意得 a2 2， a4 3. 设数列 an的公差为 d，则 a4 a2 2d，故 d 12，从而 a1 32. 所以 an的通项公式为 an 12n 1. (2)设 ? ?an2n 的前 n项和为 Sn，由 (1)知 an2n n 22n 1 ， 则 Sn 322 423 ? n 12n n 22n 1 ， 12Sn323424 ? n 12n 1 n 22n 2 . 两式相减得12Sn34 ?123 ? 12n 1 n 22n 2 3414?1 12n 1 n 22n 2 .所以 Sn 2n 42n 1 . 20如图，在平 面直角坐标系 xOy 中，点 )3,0(A ，直线 42: ? xyl 设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上 （ 1）若圆心
