1、 - 1 - 2 21 1.3 .3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程(3)(3) 教学内容教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题 教学目标教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题 重难点关键重难点关键 1重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解 决实际问题 2难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型 教具、学具准备教具、学具准备 小黑板 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 （口述）1直角
2、三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题 例例 1某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上 口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：分析：因为渠深最
3、小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，渠底为 x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模 解解： （1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得： 1 2 （x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1= 4 5 =0.8m，x2=-2（舍） - 2 - 上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m （2）1.6 750 48 =25 天 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道 学生活动：例学生活动：例 2如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一
4、个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四 分之一， 上、 下边衬等宽， 左、 右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度 （精确到 0.1cm） ？ 九 年 级 练 数 学 习 同 步 老师点评老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比9：7，由此可 以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm，则左、右 边衬的宽均为 7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 1 4 ，则中央矩形的面积是封面面积的 所以（27-18x） （21-14
5、x）= 3 4 2721 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x= 63 3 4 ， x12.8cm，x20.2 所以：9x1=25.2cm（舍去） ，9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm 三、巩固练习三、巩固练习 有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且 铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 01 尺） 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3如图（a） 、 （b）所示，在ABC 中B=90，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始
6、沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速 度运动 （1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 S PBQ=8cm2 （2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C后又继续在 CA 边上前进，经过几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6cm2 （友情提示：过 - 3 - 点 Q作 DQCB，垂足为 D，则： DQCQ ABAC ） (a) B A C Q P (b)B A C Q D P 分析：分析： （1）设经过 x 秒钟，使 S PBQ=8cm2，
7、那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式 便可得到一元二次方程的数学模型 （2）设经过 y 秒钟，这里的 y6 使PCQ 的面积等于 12.6cm2因为 AB=6，BC=8， 由勾股定理得：AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y） ，CQ=（2y-8） ，又由友情提示，便可得 到 DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模 解： （1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使PBQ 的面积为 8cm2 则： 1 2 （6-x） 2x=8 整理，得：x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 经过 2 秒，点 P 到离 A 点 12=2cm 处，点 Q 离
8、B 点 22=4cm 处，经过 4 秒，点 P 到离 A 点 14=4cm 处，点 Q 离 B 点 24=8cm 处，所以它们都符合要求 （2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使 CQ= （2y-8）cm，过点 Q 作 DQCB，垂足为 D，则有 DQCQ ABAC AB=6，BC=8 由勾股定理，得：AC= 22 68=10 DQ= 6(28)6(4) 105 yy 则： 1 2 （14-y） 6 (4 ) 5 y =12.6 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C
9、 点 7cm 处（CP=14-y=7） ，点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处 （CQ=2y-8=6） ，使PCD 的面积为 12.6cm2 经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm10， 点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在 - 4 - 本小题只有一解 y1=7 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握： 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问 题 六、布置作业六、布置作业 1教材综合运用 5、6 拓广探索全部 2选用作业设计: 一、选择题一、选择题 1直角三角形两条直角边的和为 7，面积
10、为 6，则斜边为（ ） A37 B5 C38 D7 2有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的 3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ） A第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m; B第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m; C第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m; D以上都不对 3从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁 片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm2 D64c
11、m2 二、填空题二、填空题 1矩形的周长为 82，面积为 1，则矩形的长和宽分别为_ 2长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为_ 3如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长 为 35m，所围的面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_ 三、综合提高题三、综合提高题 1如图所示的一防水坝的横截面（梯形） ，坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1： 1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背 水坡度 CF BF = 1 2 ，迎水坡度 1 1 DE AE ） （精确到 0.1m）
12、- 5 - BA C E D F 2在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台， 要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地 面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子 一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行 B A C E D HG F 答案答案: 一、1B 2B 3D 二、122+7 22-7 - 6 - 232cm 320m 和 7.5m
13、或 15m 和 10m 三、 1设坝的高是 x，则 AE=x，BF=2x，AB=3+3x， 依题意，得： 1 2 （3+3+3x）x30=4500 整理，得：x2+2x-100=0 解得 x 220.10 2 即 x9.05（m） 2设宽为 x，则 128-8=28x+2（12-2x）x 整理，得：x2-10 x+22=0 解得：x1=5+3（舍去） ，x2=5-3 3设道路的宽为 x，AB=a，AD=b 则（a-2x） （b-2x）= 1 2 ab 解得：x= 1 4 （a+b）- 22 ab 量法为： 用绳子量出 AB+AD （即 a+b） 之长， 从中减去 BD 之长 （对角线 BD= 22 ab） ， 得 L=AB+AD-BD， 再将 L 对折两次即得到道路的宽 4 ABADBD ， 即 22 4 abab - 7 -
