1、 1 22.22.2 2 用函数的观点看一元二次方程（用函数的观点看一元二次方程（1 1） 教学目标：教学目标： 1通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 之间的联系。 2使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生 用数学的意识。 3进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 重点难点：重点难点： 重点：重点： 使学生理解二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系， 能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。 难点：难点： 进一步培养学生综合解题能力， 渗透数形结合的思想是教学的难点 教学过程：教学过程： 一、引言 在现实生活中，
2、我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如 拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题， 具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。 二、探索问题 问题问题 1 1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖 一根柱子， 上面的 A 处安装一个喷头向外喷水。 连喷头在内， 柱高为 0.8m。 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m) 与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 yx 22x4 5。 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （最大
3、值） (2)如果不计其他的因素， 那么水池至少为多少时， 才能使喷出的水流都落 在水池内? （就是求如图(2)B 点的横坐标） 问题问题 2 2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水 面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。 这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少?是否会超 过 1m? 教学要点 1教师分析：根据已知条件，要求 ED 的宽，只要求 出 FD 的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求 出 D 点的横坐标。因为点 D 在涵洞所成的抛物线上， 2 又由已知条件可得到点 D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进 一步算出点 D
4、 的横坐标。 解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立 直角坐标系。 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下， 所以可设它的 函数关系式为：yax 2 (a0) (1) 因为 AB 与 y 轴相交于 C 点，所以 CBAB 2 0.8(m)，又 OC2.4m，所以点 B 的坐标是(0.8，2.4)。 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 2.4a0.82 所以：a15 4 因此，函数关系式是 y15 4 x 2 (2) 因为 OF1.5m，设 FDx1m(x10)，则点 D 坐标为(x1，1.5)。因为点 D
5、的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)， 得 1.515 4 x12 x122 5 x1 10 5 x1 10 5 不符合假设，舍去，所以 x1 10 5 。 ED2FD2x12 10 5 2 5 102 53.1621.26(m) 所以涵洞 ED 是2 5 10m，会超过 1m。 问题问题 3 3：画出函数 yx 2x3/4 的图象，根据图象回答下列问题。 (1)图象与 x 轴交点的坐标是什么； (2)当 x 取何值时，y0?这里 x 的取值与方程 x 2x3 40 有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 教学要点 1先让学生回顾函数 yax 2bxc 图象的画法，按列表、描点、连线等
6、步骤画出函数 yx 2x3 4的图象。 2教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问 题，得到图象与 x 轴交点的坐标分别是(1 2，0)和 (3 2，0)。 6对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流， 3 达成共识：从“形”的方面看，函数从“形”的方面看，函数 y yx x 2 2 x x3 3 4 4的图象与 的图象与 x x 轴交点的横轴交点的横 坐标，即为方程坐标，即为方程 x x 2 2 x x3 3 4 4 0 0 的解；从“数”的方面看，当二次函数的解；从“数”的方面看，当二次函数 y y x x 2 2 x x3 3 4 4的函数值为 的函数值为 0 0 时，相应的自变量
7、的值即为方程时，相应的自变量的值即为方程 x x 2 2 x x3 3 4 4 0 0 的解。的解。 更一般地，函数更一般地，函数 y ya ax x 2 2 bxbxc c 的图象与的图象与 x x 轴交点的横坐标即为方程轴交点的横坐标即为方程 a ax x 2 2 bxbxc c0 0 的解；当二次函数的解；当二次函数 y ya ax x 2 2 bxbxc c 的函数值为的函数值为 0 0 时，相应的自时，相应的自 变量的值即为方程变量的值即为方程 a ax x 2 2 bxbxc c0 0 的解，这一结论反映了二次函数与一元的解，这一结论反映了二次函数与一元 二次方程的关系。二次方程的
8、关系。 三、试一试 根据问题 3 的图象回答下列问题。 (1)当 x 取何值时，y0?当 x 取何值时，y0? (当1 2x 3 2时，y0；当 x 1 2或 x 3 2时，y0) (2)能否用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有 x 的不 等式采描述(1)中的问题， 即 x 2x3 40 的解集是什么?x 2x3 40 的解 集是什么?) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系? ? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达 成共识： (1)(1)从“形”的方面看，二次函数从“形”的方面看，二次函数 y ya
9、ax x 2 2 bJbJc c 在在 x x 轴上方的图象上轴上方的图象上 的点的横坐标，即为一元二次不等式的点的横坐标，即为一元二次不等式 a ax x 2 2 bxbxc c0 0 的解；在的解；在 x x 轴下方的轴下方的 图象上的点的横坐标即为一元二次不等式图象上的点的横坐标即为一元二次不等式 a ax x 2 2 bxbxc c0 0 的解。的解。 (2)(2)从“数”的方面看，当二次函数从“数”的方面看，当二次函数 y ya ax x 2 2 bxbxc c 的函数值大于的函数值大于 0 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 a ax
10、x 2 2 bxbxc c0 0 的解；当二次的解；当二次 函数函数 y ya ax x 2 2 bxbxc c 的函数值小于的函数值小于 0 0 时，相应的自变量的值即为一元二次时，相应的自变量的值即为一元二次 不等式不等式 a ax x 2 2 bcbcc c0 0 的解。这一结论反映了二次函数与一元二的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式次不等式 的关系。的关系。 四、课堂练习： 练习 1、2。 五、小结： 1通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑? 2若二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴无交点，试说明，元二 次方程 ax 2bxc0 和一元二次不等式 ax2bxc0
11、、ax2bxc0 的解的情况。 六、作业： 1. 二次函数 yx 23x18 的图象与 x 轴有两交点，求两交点间的距离。 4 2已知函数 yx 2x2。 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定：x 取什么值时，y0，y0；y0。 3学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA。O 恰好在水面中心，布置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向上沿形状相同的抛物线路径落下， 且在过 OA 任意平面上的抛物线如 图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6)，水流喷出的高度 y(m)与水面距离 x(m)之间的函数关系式是 yx 25 2x 3 2，请回答下列问题： (1)花形柱子 OA 的高度； (2)若不计其他因素， 水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水不至 于落在池外? 4如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y1 5x 23.5 运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为 3.05 米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25 米，请问他距 离篮框中心的水平距离是多少? 教后反思：教后反思：
