1、 - 1 - 等腰三角形与直角三角形 课前热身课前热身 1.如图，等边ABC的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP1，D 为 AC 上一点，若APD 60，则 CD的长为（ ） A 3 2 B 2 3 C 1 2 D 3 4 2.如图，已知ABC中，AB17，AC10，BC 边上的高 AD8， 则边 BC 的长为（ ） A21 B15 C6 D以上答案都不对 3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30， 腰长为 4 cm， 则其腰上的高为 cm 4. .如图， 在边长为1的等边ABC中， 中线AD与中线BE相交于点O， 则OA长度为 【参考答案】【参考答案】 1.1. B B 2.2
2、. A A 3.3. 2 3 4.4. 3 3 A C D B 第 2 题图 A D C P B 第 1 题图 60 - 2 - 考点聚焦考点聚焦 等腰三角线等腰三角线 1等腰三角形的判定与性质 2等边三角形的判定与性质 3运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题 直角三角形直角三角形 1运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的 实际问题 2运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形 3折叠问题 4将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用 备考兵法备考兵法 等腰三角线等腰三角线 1运用三角形不等关
3、系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角 的计算问题，并要注意分类讨论 2要正确辨析等腰三角形的判定与性质 3能熟练运用等腰三角形、方程（组） 、函数等知识综合解决实际问题 直角三角形直角三角形 1正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数 2在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）来解决 问题，实现几何问题代数化 3 在解决直角三角形的相关问题时， 要注意题中是否含有特殊角 （30， 45， 60） 若 有，则应运用一些相关的特殊性质解题 4 在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时， 常常通过作高转化为直角三角形来 解决 5折叠问题是新中考热点之
4、一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥 空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路 考点链接考点链接 一等腰三角形的性质与判定：一等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角_； - 3 - 2. 等腰三角形底边上的_，底边上的_，顶角的_，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_ 二等边三角形的性质与判定：二等边三角形的性质与判定： 1. 等边三角形每个角都等于_，同样具有“三线合一”的性质； 2. 三个角相等的三角形是_，三边相等的三角形是_，一个角等于 60的 _三角形是等边三角形 三直角三角形的性质与判定：三直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角
5、形两锐角_ 2. 直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的_ 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的_ ； 4. 勾股定理：_ 5. 勾股定理的逆定理：_ 典例精析典例精析 例例 1 1 （湖北襄樊） 在ABC中，12cm6cmABACBCD，为BC的中点， 动点P 从B点出发，以每秒 1cm的速度沿BAC的方向运动设运动时间为t，那么当t 秒时，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的 2 倍 【答案】7 或 17 【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，当点 P 在 BA 上时，BPt，AP 12-t， 2 （t+3） 12-t+12+3， 解得
6、t7； 当点 P 在 AC 上时， PC24-t， t+32 （24-t+3） ， 解得 t17，故填 7 或 17. 例例 2 2（山东滨州）（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB 米，30BAC， 90C，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 【答案】 （2+23）米 【解析】掌握 30所对的直角边等于斜边的一半，即可求解. B C A 30 - 4 - 例例 3 3（四川乐山四川乐山）如图，ADCD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则 sinB 等于（ ） A 5 13 B12 13 C 3 5 D 4 5 【答案】 A 【解析】由 ADDC
7、，知ADC 为直角三角形 由勾股定理得：AC 2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5， 在ACB 中，AB 2=169，BC2+AC2=52+122=169， AB 2=BC2+AC2 由勾股定理的逆定理知：ABC 是直角三角形 sinB= AC AB = 5 13 例例 4 4（安徽安徽）已知点 O 到ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB=OC （1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证：AB=AC； （2）如图 2，若点 O 在ABC 的内部，求证：AB=AC； （3）若点 O 在ABC 的外部，AB=AC 成立吗？请画图表示 图 1 图 2 解析 （1）过点
8、O 作 OEAB，OFAC，E，F 分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又 OB=OC RtOEBRtOFC B=C AC=AB （2）过点 O 作 OEAB，OFAC，E，F 分别是垂足由题意知，OE=OF 在 RtOEB 和 RtOFC 中，OE=OF，OB=OC RtOEBRtOFE OBE=OCF 又 OB=OC OBC=OCB - 5 - ABC=ACB AC=AB （3）不一定成立 当A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB=AC，否则 ABAC，如示 例图 成立 不成立 【点拨】本例从 O 点的特殊位置（BC 边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点 探究一般
9、位置（点 O 在ABC 内，点 O 在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从 不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力 迎考精迎考精练练 一、选择题一、选择题 1.( (四川四川达州达州) )如图是一株美丽的勾股树，其中所有的 四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面 积是（ ） A13 B26 C47 D94 2.（甘肃甘肃白银）白银）如图，O的弦AB6，M是AB上任意一点， 且OM最小值为 4，则O的半径为（ ） A5 B4 C3 D2 3.（山东山东济宁）济宁） “赵爽弦图”是四个全
10、等的直角三角形与中间一个 小正方形拼成的大正方形如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是 2 和 4小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域（含边线）的概率是（ ） A 1 2 B 1 4 C 1 5 D 1 10 - 6 - 4.（浙江浙江嘉兴嘉兴）如图，等腰ABC中，底边aBC ，A36， ABC 的平分线交AC于D，BCD 的平分线交BD于E，设 2 15 k， 则DE（ ） Aak 2 Bak 3 C 2 k a D 3 k a 5.（湖北恩施湖北恩施）如图，长方体的长为 15，宽为 1
11、0，高为 20， 点B离点C的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A5 21 B25 C10 55 D35 6.（浙江浙江宁波）宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A30 B45 C60 D90 7.（山东山东威海）威海）如图，ABAC,BDBC，若A40，则ABD 的度数是（ ） A20 B30 C35 D40 8. （湖北湖北襄樊）襄樊） 如图， 已知直线110ABCDDCF ，且AEAF，则A等于 （ ） A30 B40 C50 D70 二、填空题二、填空题 1.（四川四川泸州）泸州）如图，已知 RtABC 中，AC3，BC
12、4，过直角顶点 C 作 CA1AB，垂足为 A1，再过 A1作 A1C1BC，垂足为 C1，过 C1作 C1A2AB，垂足为 A2，再过 A2 作 A2C2BC，垂足为 C2，这样一直做下去，得到了一组线段 CA1，A1C1， 12 C A，则 A F B C D E B A D C A D C E B 第 4 题图 5 20 15 10 C A B - 7 - CA1 ， 55 54 CA AC 2.( (四川内江四川内江) )已知 RtABC 的周长是344，斜边上的中线长是 2，则 SABC_. 3.3.（四川四川宜宾）宜宾）已知：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角
13、形若斜边 AB3,则图中阴影部分的面积为 A B C E F H 第12题图 4. （ 湖 南湖 南 长 沙 ）长 沙 ） 如 图 ， 等 腰ABC中 ，ABAC，AD是 底 边 上 的 高 ， 若 5cm6cmABBC，则AD cm 三、解答题三、解答题 1.（河南）（河南）如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试 判断OE和AB的位置关系,并给出证明 2.（浙江绍兴）（浙江绍兴）如图，在ABC中，40ABACBAC，分别以ABAC，为边作 A C D B - 8 - 两个等腰直角三角形ABD和ACE，使90BADCAE （1）求DBC的度数； （2）求证
14、：BDCE 3.（湖北湖北恩施）恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的 恩施大峡谷( )A和世界级自然保护区星斗山( )B位于笔直的沪渝高速公路X同侧， 50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一 服务区P， 向A、B两景区运送游客 小民设计了两种方案， 图 （1） 是方案一的示意图 （AP 与直线X垂直，垂足为P） ，P到A、B的距离之和 1 SPAPB，图（2）是方案二的 示意图（点A关于直线X的对称点是 A ，连接 BA 交直线X于点P） ，P到A、B的距 离之和 2 SPAPB （1）求 1 S、 2 S，并比较
15、它们的大小； （2）请你说明 2 SPAPB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标 系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、 B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值 - 9 - 4.（广东广东中山）中山）如图所示，ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E， 使CECD， （1）用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）求证：BMEM 【参考答案】【参考答案】 选择题选择题 B A P X 图（1） Y X B A Q P O 图（3） B
16、A P X A 图（2） - 10 - 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. B 8. B 【解析】 本题考查平行线的性质、 等腰三角形的性质等知识， 110ABCDDCF ， 所 以 110EFBDCF ， 70AFE ， AEAF，70EAFE ， 40A，故选 B 填空题填空题 1. 5 12 ， 4 5 2. 8 3. 2 9 4. 4 解答题解答题 1. OEAB 证明：在BAC和ABD中， ACBD BACABD ABBA BACABD OBA=OAB, OA=OB 又AE=BE, OEAB 2. 解： （1）ABD 是等腰直角三角形，90BAD， AB
17、D45,ABAC, ABC70, CBD70+45115 - 11 - 证明：(2)ABAC,90BADCAE,ADAE, BADCAE, BDCE 3. 解:图（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10, AC30 在 RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP240 22 BCCP S110240 图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50， 又 BC40 BA41105040 22 由轴对称知：PAPA S2BA4110 1 S 2 S (2)如 图 10（2） ，在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MAMA M
18、B+MAMB+MAAB S2BA为最小 （3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B， 连接 AB,交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求 过 A、 B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G, AB55050100 22 所求四边形的周长为55050 P X B A Q Y B A - 12 - 4. 解： （1）作图见下图， （2）ABC是等边三角形，D是AC的中点， BD平分ABC（三线合一） ， 2ABCDBE CECD， CEDCDE 又ACBCEDCDE， 2ACBE 又ABCACB， 22DBCE ， DBCE， BDDE 又DMBE， BMEM A C B D E M
