1、 1 黑龙江省哈尔滨市 2016-2017 学年高二数学 6 月月考试题 理 考试时间： 120分 钟 满分： 150分 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.函数 ? ?cos 2 1yx?的导数为（ ） .A ? ? 2sin 2 1? ? ? .B ? ? 2cos 2 1yx? ? ? C. ? ? sin 2 1yx? ? ? .D ? ? cos 2 1? ? ? 2.设随机变量?服从正态分布 ? ?0,1N，若 ( 1)Pp?，则 ( 1 0)P ? ? ? ?（ ） .A 12 p?.B 1p? .C 2p?.D
2、12p? 3.某公司共有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个不同部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为 .A 40 .B 60 .C 120 .D 240 4.2017 年 5 月 30 日是我国的传统节日端午节，这天小明的 妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个大枣馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A? “取到的两个为同一种馅”，事件 B? 取到的两个都是豆沙馅”，则 ()PBA =（ ） .A34.B14.C110.D3105.二项式2 nax x?的展开式中所有二项式系数和为 64，若展开式中的常数项为 60，则 a的值为 ( ) .A 2
3、.B 1 .C 1? .D 1? 6.离散型随机变量 X的分布列为 ? ? ? ?1 0 ,1 1kkP X k p q k p q? ? ? ? ?，则 ()EX 与 ()DX 依次为( ) 2 .A 0 和 1 .B p 和2p.C p 和 1p? .D p 和 ? ?1pp? 7. 设函数 ?fx在 R上可导，其导函数为 ?fx?，且函数 ?fx在 1x?处取得极小值，则函数? ?y xf x? ?的图象可能是 ( ) .A .B .C .D 8.某 研究性学习小组调查研究学生使用智 能手机对学习的影响部分统计数据如表： 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12 学
4、习成绩不优秀 16 2 18 总计 20 10 30 附表： ? ?2 0P K k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算 10k?，则下列 选项正确的是（ ） .A 有 99.5%的把握认为使 用智能手机对学习有影响 .B 有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 .C 有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 3 .D 有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 9. 已知曲线 421y x ax? ? ? 在点 ( 1, 2)P
5、a?处的切线斜率为 8， 则 a? （ ） .A 9? .B 6? .C 9 .D 6 10.已知函数 ? ? 321 53f x x x ax? ? ? ?在 ? ?1,2?上不单调，则实数 a的取值范围是（ ） .A ? ?3,1? .B ? ?3,0? .C ? ?3,1? .D ? ?3,1? 11.已知函数 ? ? ? ?2ln 2f x a x x a x? ? ? ?恰有两个零点，则实数 a的取值 范围是（ ） .A ? ?1,? ? .B ? ?2,0? .C ? ?1,0? .D ? ?2, 1? 12.设函数 ? ? ? ?21xf x e x ax a? ? ? ?，其中
6、 1a? ，若存在唯一的整数 0x 使得 ? ?0 0fx? ，则 a 的取值范围是 ( ) .A 3,12e? .B 33,24e? ? .C 33,24e? .D 3,12e? 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 1312x x?的展开式中， x的系数为 _ _； 14. 2 20xedx? = ; 15.若 ? ? 3 2 2 7f x x a x b x a a? ? ? ? ?在 1x? 处取得极大值 10，则 ab?_ _； 16.已知 ,ab为正实数，直线 y x a? 与曲线 ? ?lny x b?相切，则21a?的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 70 分，解答应
7、写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤 17.极坐标系中，点 p 的极坐标是3,2?，曲线 C的极坐标方程为 4cos 3?.以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1?的直线 l经过点 p .（ 10 分） （ 1）写出直线 l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程； 4 （ 2）若直线 l和曲线 C相交于两点 ,AB，求PA PBPB PA?的值 . 18 甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击 3次 时结束 .设甲每次射击命中的概率为23，乙每次射击命中的概率为25，且每次射击互不影响，约定由甲先射击 . （ 12分）
8、 （ 1）求甲获胜的概率； （ 2）求射击结束时甲的射击次数 x的分布列和数学期望 ()EX . 19. 已知函数 1( ) ln ( 0 )xf x x aax? ? ?（ 12分 ） （ 1）若函数 ()fx在 ? ?1,? 上为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 1a? 时，求 ()fx在 1,22?上的最大值和最小值 . 5 20. 如图，在四棱锥 P ABCD?中，底面 ABCD为矩 形，平面 PCD?平面 ABCD， 1BC?， 2AB?， 2PC PD?， E为 PA中点（ 12 分） （）求证： /PC平面 BED； （）求二 面角 A PC D?的余弦值； （）在棱
9、 PC上是否存在点 M，使得 BM AC?？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由 21.已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?过点 3( 3, )2A，且离心率 12e? （ 12分） （）求椭圆 的标准方程； （）过点 ? ?4,0M 的直线 l与椭圆 C交于两点 ,PQ，过 P作 PN x?轴且与椭圆 C交于另一点 N， 证明直线 NQ 过定点，并求出定点坐标。 6 22.已知函数 1( ) ln , ( ) , ( R )af x x a x g x ax? ? ? ? ?.（ 12分） （ 1）若 1a? ，求函数 ()fx的极小值； （ 2）设函数 (
10、) ( ) g( )h x f x x?，求函数 ()hx的单调区间； （ 3）若在区间 ? ?1,e 上存在一 点 0x ，使得 00( ) ( )f x g x? 成立，求 a 的取值范围，（ 2.718e? ） 7 ACBAD DCABC CD -40 22e? 3 ? ?0,1 17. 解： (1) 由曲线 C的极坐标方程 4cos 3?可得 2cos 2 3sin? ? ?，即2 2 c o s 2 3 sin? ? ? ? ?，因此曲线 C 的直角坐标方程为 22 2 2 3 0x y x y? ? ? ?，即? ? ? ?221 3 4xy? ? ? ?，点 P的直角坐标为 ?
11、?0, 3，直线 l的倾斜角为 135，所以直线 l的参数方程为22 (232xttyt?为参数） . (2)将22 (232xttyt?为参数）代入 ? ? ? ?221 3 4xy? ? ? ?，得 2 2 3 0tt? ? ?，设 ,AB对应参数分别为 12tt，有 1 2 1 22 , 3t t t t? ? ? ?， 根 据 直 线 参 数 方 程 t的 几 何 意 义 有 ， ? ? 222 22 1 2 1 2121 2 1 22 83t t t tP A P B P A P B ttP B P A P A P B t t t t? ? ? ? ? ?. 18. (1) 记甲第
12、i次射中获胜为 ? ?1,2,3iAi?，则 1 2 3,A A A彼此互斥，甲获胜的事件为 1 2 3A A A?. ? ? ? ?122 1 3 2 2,3 3 5 3 1 5P A P A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?223 1 2 3 1 2 31 3 2 2 ,3 5 3 7 5P A P A A A P A P A P A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 623 15 75 75? ? ? ?.即甲 获胜的概率为6275. (2) X 所 有 可 能 取 的 值 为 1,2,3. 则 ? ? 2 1 2
13、 41 3 3 5 5PX ? ? ? ? ?, ? ? 1 3 2 1 3 1 2 42 3 5 3 3 5 3 5 2 5PX ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? 221 3 1313 5 2 5PX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.得 X的概率分布为 X1 2 3 8 P 45 425 125 X?的数学期望 4 4 1 3 11 2 35 2 5 2 5 2 5EX ? ? ? ? ? ? ?. 19. ）证明：设 AC与 BD的交点为 F，连接 EF.因为 ABCD为矩形，所以 F为 AC的中点，在PAC?中，由已知 E为 PA中点，所以 /EF P
14、C，又 EF?平面 BED， PC?平面 BED，所以 /PC平面 BED. （）解：取 CD中点 O，连接 PO. 因为 PCD?是等腰三角形， O为 CD的 中点， 所以 PO CD?，又因为平面 PCD?平面 ABCD， 因为 PO?平面 PCD， PO CD?，所以 PO?平面 ABCD 取 AB中点 G，连接 OG，由题设知四边形 ABCD为矩形，所以 OF CD?，所以 PO OG? 如图建立空间直角坐标系 O xyz?，则 ? ?1, 1,0A ?， ? ?,1,0C， ? ?0,0,1P， ? ?0, 1,0D ?， ? ?1,1,0B， ? ?0,0,0O， ? ?1,0,0
15、G. ? ?1,2,0AC ?uuur ， ? ?0,1, 1PC ?uuur . 设平面 PAC的法向 量为 ? ?,n x y z?，则 0,0,n ACn PC? ?uuurruuurr 即 2 0,0.xyyz? ? 令 1z?，则 1y?， 2x?，所以 ? ?2,1,1n?r . 平面 PCD的法向量为 ? ?1,0,0OG?uuur ， 设 nr ， OGuur 的夹角为 ?，所以6cos 3?. 由图可知二面角 A PC D?为锐角， 所以二面角 A PC B的余弦值为63. （）设 M是棱 PC上一点，则存在 ? ?0,1?使得PM PC?uuur uuur 因此点 ? ?0
16、, ,1M ?， ? ?1, 1,1BM ? ? ? ?uuur ， ? ?1,2,0AC ?uuur 9 由 0BM AC?uuur uuur ，即12? 因为 ? ?1 0,12?，所以在棱 PC上存在点 M，使得 BM AC?， 此时12PMPC ? 20.（ 1） 由已知得 )0(1)(2 ? xaxaxxf， 依题意得 012 ?axax对任意 ),1 ?x 恒成立 即 xaax 101 ? 对任意 ),1 ?x 恒成立 ， 而 1)1(max ?x1?a 所以 a的取值范围为 ? ?1,+? （ 2） 当 1?a 时 ，21)( xxxf ?， 令 0)( ?xf ， 得 1?x
17、， 当 1,21?x 时，可得下表 ， 若 时， x 12 1,12? 1 ? ?1,2 2 ()fx? - 0 + ()fx 故 1?x 是函数在区间 2,21 上的唯一的极小值，也是最小值 ， 即 0)1()(min ? fxf ， 而 2ln21)2(,2ln1)21( ? ff ， 10分 由于 02 16lnln2ln223)2()21( 3 ? eff， 12分 则 2ln1)21()(m ax ? fxf14分 21. 椭圆 C的标准方程为22143xy?； （）由题知直线 l的斜率存在， 设 l的方程为 ? ?4y k x?，点 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1,
18、, , , ,P x y Q x y N x y?， 10 则? ?2243 4 12y k xxy?得 ? ?2223 4 4 12x k x? ? ?， 即 ? ?2 2 2 23 4 3 2 6 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 0?， 212 23234kxx k?， 212 264 1234kxx k? ?， 由题可得直线 QN方程为 ? ?211121yyy y x xxx? ? ?， 又 ? ?114y k x?， ? ?224y k x?， 直线 QN方程为 ? ? ? ? ? ? ? ?211121444 k x k xy k x x xxx? ? ? ? ? ?， 令 0y?，整理得 21 2 2 1 1 112448x x x x xxxxx? ? ? ? ?1 2 1
