1、知识回顾知识回顾排列定义排列定义 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个素的一个排列排列排列数公式排列数公式)1()2)(1(mnnnnAmn!()!mnnAnm（n，mN*，mn）一般地说，从一般地说，从 n 个不同元素中，任取个不同元素中，任取 m(mn)个个元素并成一组，叫做从元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素个元素的一个的一个组合组合。组合数公式：组合数公式：mnn!n(n-1)(n-m+1)C=m!(n-m)!
2、m!组合数的两个性质组合数的两个性质:mn-mnnC=Cmmm-1n+1nnC=C+C组合定义组合定义 例例1 4名学生和名学生和4名教师站成一排，要求名教师站成一排，要求学生甲不在两端，共有多少种学生甲不在两端，共有多少种 不同的排法？不同的排法？解法一：（特殊位置法）先排两端，后排中间，共 有 种排法。267630240A A 解法二：（特殊元素法）甲只排在中间6个位置，其余7人无限制共 有 种排法。176730240A A 解法三：(排除法)先全排列，共有 种排法，甲在两端共有 种，所以共有40320-10080=30240种8840320A 77210080A 优先法优先法 对于对于“
3、在在”与与“不在不在”等类似等类似有有限制限制条件的排列问题条件的排列问题,常常使用常常使用“直接法直接法”(主要为主要为“特殊位置法特殊位置法”和和“特殊元素特殊元素法法”)或者或者“排除法排除法”,即即优先考虑限制条件优先考虑限制条件.这种方法就是这种方法就是优先法优先法.用0,1,2,9这10个数字，（1）可以组成多少个5位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的5位数？（3）可以组成多少个没有重复数字且能够被5整除的5位数？变式练习变式练习1 变式练习变式练习2 把英语单词success的各个字母作各种排列，共有多少种排法？例例2 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一七个家庭一起外出旅游
4、，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有：（种）。5353720A A 55A33A捆 绑 法捆 绑 法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：234234288A A A（种）说一说说一说捆绑法一般适用于捆绑法一般适
5、用于 问题的处理。问题的处理。相邻相邻例例2 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。捆绑法捆绑法 对于对于相邻相邻问题问题,常常先将要相邻的常常先将要相邻的元素元素捆绑捆绑在一起在一起,视作为一个元素视作为一个元素,与与其余元素全排列其余元素全排列,再再松绑松绑后它们之间进后它们之间进行全排列行全排列.这种方法就是这种方法就是捆绑法捆绑法.若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先
6、把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排种排法，在每一排列中有五个空格（包括两端），再把三个女孩插入列中有五个空格（包括两端），再把三个女孩插入空格中有空格中有 种方法，所以共有：种方法，所以共有：（种）（种）排法。排法。35A44A43451440A A 插 空 法插 空 法例例2 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有
7、 种排法，在每一排种排法，在每一排列中有三个空格（不包括两端），再把三个女孩插列中有三个空格（不包括两端），再把三个女孩插入空格中有入空格中有 种方法，所以共有：种方法，所以共有：（种）（种）排法。排法。33A44A4343144A A 插 空 法插 空 法例例2 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？同的排法？解：先把其余五人排成一排有 种排法，在每一排列中
8、有四个空格（不包括两端），再把甲、乙插入空格中有 种方法，所以共有：（种）排法。24A55A52541440A A 插 空 法插 空 法例例2 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。插空法插空法 对于对于不相邻不相邻问题问题,先将其余元素全先将其余元素全排列排列,再将这些不相邻的元素再将这些不相邻的元素插入空插入空格格中中,这种方法就是这种方法就是插空法插空法.例例3 有有6本不同的书按下列方式分配，问本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配
9、方式？共有多少种不同的分配方式？(1)分成分成1本、本、2本、本、3本三组；本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本、本、一个人一个人2本、一个人本、一个人3本；本；(3)分成每组都是分成每组都是2本的三个组；本的三个组；(4)分给甲、乙、丙三人分给甲、乙、丙三人,每个人每个人2本本.(1)分成分成1本、本、2本、本、3本三组；本三组；解 分三步：先选1本有 种选法，再从余下5本中选2本有 种选法，最后余下的3本全选有1种选法，由分步乘法计数原理知，分配 方式共有 种方法.25C126560CC 16C (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人分给甲、乙、丙三
10、人，其中一个人1本、一个本、一个人人2本、一个人本、一个人3本；本；解 由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有 种 123653360CCA (3)(3)分成每组都是分成每组都是2 2本的三个组；本的三个组；解 先分三步，则应是 种方法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,AB,第二步取了CD,CD,第三步取了EF,EF,记该种分法为(AB,CD,EF),(AB,CD,EF),则 种分法中还有(AB,EF,CD),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF
11、,AB,CD),(EF,CD,AB),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),共 种情况，而且这 种情况仅是AB,CD,EFAB,CD,EF的顺序不同，因此,只能作为一种分法.故分配方式有 种.33A33A222642CCC 2226423315CCCA 222642CCC (4)分给甲、乙、丙三人分给甲、乙、丙三人,每个人每个人2本本.解法一(先分组后分配)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方式：种.222364233390CCCAA 注释注释 均匀分组问题:一般来说,km 个不同的元素分成k组,每组m个，则不同的分法 有：种.(1)mm
12、mkmkmmkkCCCA 24C26C 解法二(乘法原理)先分给甲两本，有 种方法，再分给乙两本，有 种方法，剩余两本分给丙，有 种方法，共有 种方法.22C22264290CCC 课堂小结课堂小结基本的解题方法基本的解题方法 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；法（优先法）；某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内一个元素，与其他元素排列后，再
13、考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为部排列，这种方法称为“捆绑法捆绑法”；某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法插空法”；对于分组问题，要观察是否均匀分配，以及是否对于分组问题，要观察是否均匀分配，以及是否进行再分配进行再分配课堂练习：课堂练习：1、4个学生和个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端，个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（且老师必须排在一起的不同排法种数是（）A.B.C.D.77A3344AA223322AAA4
14、13433A A AD2、计划展出计划展出10幅不同的画，其中幅不同的画，其中1幅水彩画，幅水彩画，4幅油画，幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有（一起，那么不同的陈列方式有（）4545AA A345345BA A A145345CA A A245245DA A AB3、将将12个人分成个人分成2，2，2，3，3的的5个组，则分组个组，则分组的种数是多少？的种数是多少？2223312108633232CCCCCAA思考题思考题 1、在在7名运动员中选出名运动员中选出4名组成接力队，参加名组成接力队，参加4100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？法有多少种？2、将将5名志愿者分配到名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？种？
