1、 1 高二普通班开学考试数学试题（文） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1若数列的前 4 项分别是 51,41,31,21 ? ，则此 数列的一个通项公式为（ ） A 1)1( 1? ?n n B 1)1(?n n C nn)1(? D nn1)1( ? 2如果 ba? ，那么下列不等式一定成立的是（ ） A cbca ? B bcac ? C ba 22 ? D 22 ba? 3九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有 如下问题：今有女子善织，日增等尺 ，七日织 2
2、8 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 4 已知等比数列 na 的公比 31?q ，则86427531 aaaa aaaa ? ? 等于 （ ） A 31? B 3? C 31 D 3 5.如图，面ACD?,B为 AC的中点， 2 , 60 ,AC C BD P ? ? ? 为 内 的 动 点，且 P到直线 BD 的距离为 则APC?的最大值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 2 6.如图，在长方体AB CD A B C D? ? ? ?中，点,PQ分别是棱,BCD上的动点， 4 , 3 , 2
3、3BC C D C C? ? ?,直线CC?与平面C所成的角为030，则PQ? ?的面积的最小值是（ ） A. 1855B. 8C. 1633D. 107.如图， 60的二面角的棱上有,AB两点，直线,ACBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB已知4, 6, 8AB AC BD? ? ?，则CD的长为（ ） A. 17B. 7 C. 217D. 9 8.已知, , ,ABCD是同一球面上的四个点，其中ABC?是正三角形， AD?平面 ， 26AD AB?，则该球的表面积为（ ） A. 48?B. 323?C. 24?D. 169.已知12,FF是两个定点，点 P是以1F和2为公共
4、焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且3 12PF PF?，记1e和2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. 222ee?B. 4C. 114?D. 222ee10.对于每个自然数 n，抛物线? ? ? ?21 2 1 1y n n x n x? ? ? ? ?与 x轴交于 An， Bn两点，以 |AnBn|表示该两点间的距离，则 |A1B1| |A2B2|? |A2 017B2 017|的值是 A. 20162017B. 20182017C. 20172016D. 2017201811.已知点是抛物线 （ ）上一点，为其焦点，以为圆心，以 为半径的圆交准线于， 两点， 为正三角形，且 的面积是
5、 ，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知, , ,abcd为实数，且cd?，则“ab?”是“a c b d? ? ?”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13.函数12lo g co s 34xy ? ? ?的单调递增区间为 . 14.已知 ?fx为偶函数，当 0x? 时， ( ) ln( ) 3f x x x? ? ?，则曲线 ? ?y f x? 在点(1, 3)? 处的切线方程是 _ 15.若点 (,0)? 是函数 ( ) sin 3 cosf x x x?的一个对
6、称中心，则cos 2 sin cos? ? ?_ 16.设 f(x)是定义在 R 且周期为 1的函数，在区间 ?0,1? 上， ? ? 2,x x Dfx x x D? ? ? ?其中集合D= 1 ,nx x n Nn ?，则方程 f(x)-lgx=0的解的个数是 . 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 4 17.（本大题满分 10分） 已知复数 z 3 bi(b R)，且 (1 3i) z为纯虚数 (1)求复数 z及 z ； (2)若 iz?2 ，求复数 的模 | |. 18（本试题满分 12分） 已知数列na满足递推式)2(12 1
7、 ? ? naa nn，其中.154?a（ 1）求321 , aa； （ 2）求证：数列 1n?为 等比数列 . 19.（本试题满分 12分）已知过点 ? ?4,0A? 的动直线 l 与抛物线 G ： ? ?2 20x py p?相交于 B ， C 两点 .当直线 l 的斜率是 12 时， 4AC AB? . （ 1）求抛物线 G 的方程； （ 2）设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ，求 b 的取值范围 . 20.（本试题满分 12分）已知数列 ?na ， ?nb ， nS 为数列 ?na 的前 n 项和， 214ab? ，22nnSa?， ? ? 21 1nnnb x b n
8、n? ? ? ? ? ?*nN? . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）证明 nbn?为等差数列 . （ 3）若数列 ?nc 的通项公式为,2,4nnnnnab nc abn? ?为 奇 数为 偶 数，令 2 1 2n n nP c c?.nT 为 ?nP 的前n 项的和，求 nT . 21.（本试题满分 12分）已知点 M 到点 (1,0)F 的距离比到 y 轴的距离大 1. （ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）设直 线 l ： 2 4 0xy? ? ? ，交轨迹 C 于 A 、 B 两点， O 为坐标原点，试在轨迹 C 的 AOB部分上求一点 P ，使得 ABP?
9、的面积最大，并求其最大值 . 5 22.（本试题满分 12分）已知函数 2( ) 4 ln 1( )f x x m x m R? ? ? ?. （ 1）讨论函数 ()fx的单调性； （ 2）若对任意 1, xe? ，都有 ( ) 0fx? 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 6 参考答案 1-5： AABBB 6-10.BCADD 11-12.CC 13. ? ?336 , 644k k k z? ? ? ? ? ? ?14. 21yx? ? 15. 1110? 16. 8 17解析： (1)(1 3i) (3 bi) (3 3b) (9 b)i (1 3i) z是纯虚数， 3 3b 0，且
10、9 b 0， b 1， z 3 i. (2) 3 i2 i 3 i 2 i2 i 2 i 7 i5 75 15i | | ? ?75 2 ? ? 15 2 2. 18.解：（ 1）由1512 41 ? ? aaa nn 及知,12 34 ? aa解得,73?a同理得.1,3 12 ?a（ 2）由2 1 ? ?nn a知221 1? ?nn a)1( 1 ? ?nn a? ?1? na是以211 ?a为首项以 2为 公比的等比数列 19.解：（ 1）设 ? ?12,B x y ， ? ?22,C x y ，当直线 l 的斜率是 12 时， l 的方程为 ? ?1 42yx?， 即 24xy?，由
11、 2 224x pyxy? ? ?得： ? ?22 8 8 0y p y? ? ? ? ? ?28 64p? ? ? ? ? ?16 0pp? ? ? ， 124yy? ， 128 2 pyy ? ， 又 4AC AB? ， 214yy? ， 由及 0p? 得： 2P? ，得抛物线 G 的方程为 2 4xy? . （ 2）设 l ： ? ?4y k x?， BC 的中点坐标为 ? ?00,xy ， 由 ? ?2 44xyy k x? ? ?得 2 4 16 0x kx k? ? ? 7 0 22CBxxxk? ? ?， ? ? 200 4 2 4y k x k k? ? ? ?. ?线段 BC
12、 的中垂线方程为 ? ?2 12 4 2y k k x kk? ? ? ? ?， ?线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为： ? ?222 4 2 2 1b k k k? ? ? ? ? 对于方 程，由 216 64 0kk? ? ? ?得 k? 或 4k? ， ? ?2,b? ? ? . 20.解（ 1）当 1n? 时，1122nnSa? 122n n na a a ? ? ? 12nnaa?当 1n? 时， 1122Sa? 1 2a?， 综上， ?na 是公比为 2 ，首项为 2 的等比数列， 2nna? . （ 2） 214ab? ， 1 1b?， ? ? 21 1nnnb n b n
13、 n? ? ? ? ?， 1 11nnbb? ? ? 综上， nbn?是公差为 1，首项为 1的等差数列 . （ 3）由（ 2）知 ： 11nb nn ? ? ? 2nbn? 2 1 2n n nP c c? ? ? ? ? ? ?222 1 22 1 2 2 224nnnn? ? ? ? ? ? ? ?2 2 14 1 2 4 1 4nnnn? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 13 4 + 7 4 + 1 1 4 + 4 1 4 nnTn ? ? ? ? ? ? ? 1 2 34 3 4 7 4 1 1 4nT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?14 5 4 4 1 4nnn
14、n? ? ? ? ? 两式相减得： 0 1 23 3 4 4 4 4 4nT? ? ? ? ? ? ? ? ? ?14 4 4 1 4nnn? ? ? ? ? ? ? ?14 1 43 3 4 4 1 414 n nnTn? ? ? ? ? ? ? ? 7 12 7 499 nn nT ? ? ? ?. 21. 解：（ 1）因为点 M到点 F(1,0) 的距离比到 y轴的距离大 1，所以点 M到点 F(1,0)的距离等于它到直线 m:x 1的距离 由抛物线定义知 道，点 M的轨迹是以 F为焦点， m 为准线的抛物线或 x轴负半轴 8 设轨迹 C的方程为： 2 2y px? ， 12p? 轨迹
15、C方程为： 2 4yx? . 或 0( 0)yx? （ 2）设 A（ x1,y1） ,B（ x2,y2） , P（ x0,y0） 直线 l化成斜截式为 1 22yx? ? 当直线 l的平行线与抛物线相切时 ABP的面积最大 由图知 P点在第四象限 .抛物线在 x轴下方的图象解 析式： ( ) 2y f x x? ? ? ，所以 1()fx x? 0011() 2fx x? ? ? ?，解得 0 4x? ， 0 4y? 所以 P点坐标 (4, 4)? P点到 l的距离 844 855d ? ? ?A， B两点满足方程组 2 41 22yxyx? ? ? ?化简得 2 24 16 0xx? ? ?
16、. x1,x2 为该方程的根 . 所以 1 2 1 224, 16x x x x? ? ? 2 2 21 2 1 2 1(1 ) ( ) 4 (1 ) ( 2 4 4 1 6 ) 8 1 04A B k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 88 1 0 3 2 222 5ABPS A B d? ? ? ? ? ? 22. 解：（ 1）由题知： 24 4 2( ) 2 ( 0 )mxf x m x xxx? ? ? ? ? 9 当 m 0时， ()fx? 0 在 x (0， )时恒成立 f(x)在 (0， )上是增函数 . 当 m0时 , 2222 ( ) ( )4 4 2
17、( ) 2 ( 0 )m x xmx mmf x m x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? 令 f (x)0，则 20 xm?；令 f (x)0，则 411 ex? ；令 g (x)0时 , 若 em?2 即220 m e?时， f(x)在 1， e上单调递增， 所以 2m a x( ) ( ) 4 1 0f x f e m e? ? ? ? ?，即25em?， 这与220 m e?矛盾，此时不成立 . 10 若 1 em?2即 222 ?me时， f(x)在 2,1m上单调递增，在 ,2 em上单调递减 . 所以 012ln4)2()(m a x ? mmfxf即 412 em?解得 eem 2? ，又因为 222 ?me，所以 2 2e me ? 2 1m?即 m? 2时， f(x)在 ? ?1,e 递减，则 m ax( ) (1) 1 0f x f m? ? ? ? ? 1m? 又因为 2m? ，所以 m? 2 综上 eem 2? -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
